對高中數(shù)學(xué)概念生成教學(xué)的思考
——以聽“反正弦函數(shù)”一課為例

陸燕鳳

（上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)，上海）

最近，在某中學(xué)聽A老師上了一節(jié)別開生面的數(shù)學(xué)概念課“反正弦函數(shù)”，我被深深觸動了。A老師整節(jié)課引領(lǐng)學(xué)生一起探討反正弦函數(shù)的來源，讓學(xué)生在課堂活動中自行獲得反正弦函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從具體到抽象的過程，逐步理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。與其他老師相比，A老師完成的教學(xué)內(nèi)容很少，但是，他在概念生成的環(huán)節(jié)上不惜時不惜力，給學(xué)生創(chuàng)造了充分的思考空間。三角函數(shù)對學(xué)生來說是高中階段的一個難點，全新的數(shù)學(xué)概念和抽象的數(shù)學(xué)符號，同時反正弦函數(shù)又涉及反函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，A教師把教學(xué)重點放在數(shù)學(xué)概念生成過程，不僅可使學(xué)生加深對反函數(shù)概念的理解，而且能為其他反三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做充分準(zhǔn)備，起到承上啟下的重要作用。

以下是筆者結(jié)合A老師的“反正弦函數(shù)”一課，對數(shù)學(xué)概念生成教學(xué)的思考，筆者認(rèn)為開展概念生成教學(xué)需做到以下幾個步驟。

一、了解背景，聯(lián)系實際

“反正弦函數(shù)”這節(jié)課中，教師是這樣引入的：三角學(xué)起源于測量，天文測量、航海測量等都是利用三角形之間的邊角關(guān)系來實現(xiàn)的。教師介紹三角學(xué)起源的背景，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于實際應(yīng)用，那么數(shù)學(xué)在學(xué)生的頭腦中便鮮活起來。這樣的引入簡單直接，更貼近學(xué)生的生活實際，更能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。數(shù)學(xué)概念一般來源于實際問題的解決或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。在概念生成過程中，介紹概念的發(fā)生、發(fā)展過程，介紹概念的來龍去脈，能幫助學(xué)生更精準(zhǔn)地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

二、設(shè)計問題，引發(fā)沖突

“反正弦函數(shù)”這節(jié)課中，教師是這樣拋出問題的：在解決測量問題的計算過程中，我們總是會遇到這樣兩大類問題：一類是已知角的值，求三角比的值。然后教師以問題串的形式提出兩個問題。問題（1）已知那么角x如何表示呢？問題（2）已知那么角x如何表示呢？對于問題（2），無法用特殊角表示，但從問題（1）的解決過程中知道，可以利用三角函數(shù)圖象或者三角函數(shù)的周期性來理解方程的解，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從特殊到一般的過程。概念教學(xué)中，將概念生成過程問題化，以問題串的形式層層遞進(jìn)，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。在教學(xué)過程中設(shè)計一些能引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的問題，讓學(xué)生帶著問題去思考，才能有新的發(fā)現(xiàn)。

三、自主探究，合作交流

在“反正弦函數(shù)”一課中，教師讓學(xué)生討論以下問題：正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)？選取怎樣的區(qū)間，正弦函數(shù)才能存在反函數(shù)？如果請你定義反正弦函數(shù)，你會選取哪個區(qū)間？學(xué)生在探究的過程中體會到雖然正弦函數(shù)不存在反函數(shù)，但只要選取某一區(qū)間使得y=sinx在該區(qū)間上存在反函數(shù)，那么用正弦值表示相應(yīng)角的問題就迎刃而解了，而反正弦函數(shù)研究的意義就在于此。數(shù)學(xué)概念呼之欲出了，而教師卻并不急于給出反正弦函數(shù)的定義，而是讓學(xué)生交流為什么選取這樣的區(qū)間的理由，讓學(xué)生在問答過程中慢慢靠近反正弦函數(shù)的定義，讓學(xué)生真正參與數(shù)學(xué)概念生成的過程。概念教學(xué)中，教師要尊重學(xué)生的主體性，提供充分的思考空間，讓學(xué)生在探究問題中表達(dá)自己的想法，修正自己的發(fā)現(xiàn)，完善自己的知識結(jié)構(gòu)。

四、歸納總結(jié)，形成概念

在“反正弦函數(shù)”一課中，學(xué)生在給反正弦函數(shù)下定義的過程中，由于沒有現(xiàn)成的符號，學(xué)生難以表達(dá)時，教師幫助學(xué)生一起回顧：反函數(shù)與原函數(shù)對應(yīng)法則的寫法和在研究指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)時如何引進(jìn)新的對數(shù)符號。于是，學(xué)生在教師的點撥和鼓勵下，根據(jù)自己的經(jīng)驗，大膽給出反正弦符號x=sin-1y。教師及時肯定學(xué)生的表述，讓學(xué)生真正體會到知識收獲的快樂。最后，教師修正符號，引入新的符號arcsin，并且解釋arcsin的意義。從概念形成過程來看，學(xué)生進(jìn)行了充分的自主活動，經(jīng)歷了概念發(fā)生的全部過程，這對學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)具有重要的意義。

五、吸收精華，感悟思想

“反正弦函數(shù)”一課，教師把教學(xué)重點放在概念生成的過程中。教師從具體實例著手，讓學(xué)生經(jīng)歷“從簡單到復(fù)雜”“從特殊到一般”“從局部到整體”的思維過程，幫助學(xué)生逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生通過智力參與、主體體驗、合作交流等方式，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的過程，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義所在。利用本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想和研究方法，同樣也可以研究其余的反三角函數(shù)，于是后續(xù)的學(xué)習(xí)將更加自然順利。波利亞指出：“與其給人以死板的知識，不如給人以生動活潑的方法，點石成金的策略和手段?！苯處煈?yīng)引導(dǎo)學(xué)生感悟隱含于概念形成過程中的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系的基石，是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)理論和方法的關(guān)鍵，因此，教師在概念教學(xué)過程中必須注重概念生成的過程，幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。