概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中有關(guān)正態(tài)分布性質(zhì)的課堂講授

徐晨

摘 要：正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的分布，正態(tài)分布有很多經(jīng)典性質(zhì)和較強(qiáng)的實際應(yīng)用價值，本文主要介紹在概率論和數(shù)理統(tǒng)計課程中有關(guān)正態(tài)分布性質(zhì)的課堂講授方法。

關(guān)鍵詞：概率論，數(shù)理統(tǒng)計，正態(tài)分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程是理工學(xué)科本科生非常重要的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，學(xué)生只要有了微積分和線性代數(shù)的基礎(chǔ)就可以學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計。正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中非常重要的一個分布，有關(guān)正態(tài)分布的定義、性質(zhì)及應(yīng)用貫徹這門課的始終，因此在課堂上關(guān)于正態(tài)分布由來、定義、性質(zhì)及應(yīng)用等內(nèi)容的透徹講解是非常重要的。

正態(tài)分布（Normal distribution），也稱高斯分布（Gaussian distribution），最早在1733年由棣莫弗在求二項分布B（N，p）在N為取值較大并且為偶數(shù)，p=1/2時概率分布的漸近公式中得到，1809年高斯在研究測量誤差時從誤差的最大似然估計角度導(dǎo)出了正態(tài)分布的密度函數(shù)。與此同時拉普拉斯將誤差的正態(tài)分布理論和中心極限定理聯(lián)系起來，指出如果誤差可以看成許多微小量的疊加而成，則根據(jù)他給出中心極限定理，隨機(jī)誤差應(yīng)該服從正態(tài)分布。

如果一個連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f（x）為：

那么就稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N（？滋，？滓2）正態(tài)分布的密度曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，又常稱之為鐘形曲線。參數(shù)？滋為正態(tài)分布的期望，也是正態(tài)分布的一階半不變量，并且參數(shù)？滋決定了密度曲線對稱軸，因此也稱為位置參數(shù);參數(shù)？滓2為正態(tài)分布的方差，也是正態(tài)分布的二階半不變量，正態(tài)分布的三階及以上半不變量均為0，并且參數(shù)？滓2決定了密度曲線的幅度，因此也稱為尺度參數(shù)。當(dāng)？滋=0，？滓2=1時的正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

一、正態(tài)分布密度函數(shù)的難點

如果一個連續(xù)型隨機(jī)變量X～N（？滋，？滓2）其密度函數(shù)f（x）的核為：f（x）∝e-x2而函數(shù)g（x）=e-x2即為一個鐘型曲線，由微積分的性質(zhì)可知對于不定積分■e-x2dx是沒有顯示原函數(shù)的，因此在求解定積分■e-x2dx時，就不可以應(yīng)用著名的牛頓-萊布尼茨定理：如果函數(shù)f（x）區(qū)間[a，b]上有定義，并且滿足以下條件，（1）在區(qū)間[a，b]上可積，（2）在區(qū)間[a，b]上存在原函數(shù)F（x），則.■f（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）|ba因此不同于均勻分布、指數(shù)分布的情況，正態(tài)分布在計算隨機(jī)變量取值在區(qū)間[a，b]上的概率時，無法給出精確解，需要查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)值表來得到近似解，并且任意一個服從正態(tài)分布N（？滋，？滓2）的隨機(jī)變量X需要通過中心標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布■～N（0，1）。綜上，在課堂講授時需向同學(xué)解釋清楚正態(tài)密度曲線的特點，并且解釋清楚正態(tài)分布的概率計算為什么需要查表得近似值。

二、正態(tài)分布密度函數(shù)必然事件的概率

如果連續(xù)型隨機(jī)變量X～N（？滋，？滓2），其密度函數(shù)為f（x），則肯定有■f（x）dx=1，當(dāng)然這個結(jié)論也不是通過牛頓-萊布尼茨定理得到，而且利用了定積分中的坐標(biāo)變換得到的。不妨以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來舉例，連續(xù)型隨機(jī)變量X～N（0，1），其密度函數(shù)為？漬（x），記I=■？漬（x）dx>0，則I2=■？漬（x）dx■？漬（y）dx，此時，利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，記r2=x2+y2，tan？茲=y/x則有I2=■■■e■dxdy=■■■e■rdrd？茲=1，因此可以得到I=■？漬（x）dx=1. 綜上，正態(tài)分布密度曲線下方面積為1是利用了一定的數(shù)學(xué)技巧得到的，需給同學(xué)解釋清楚。

三、常見的正態(tài)分布性質(zhì)

正態(tài)分布作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的分布，它有很多經(jīng)典性質(zhì)，了解這些性質(zhì)可以加深對正態(tài)分布的理解與掌握，下面列舉一些常見的正態(tài)分布的性質(zhì)。

兩個獨立的正態(tài)分布的乘積還是正態(tài)分布;

兩個獨立正態(tài)分布的卷積還是正態(tài)分布，也就是兩個正態(tài)分布的和還是正態(tài)分布;

正態(tài)分布N（0，？滓2）的傅立葉變換還是正態(tài)分布;

中心極限定理保證了多個隨機(jī)變量的求和效應(yīng)將導(dǎo)致正態(tài)分布;

正態(tài)分布和其它具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵;

Cramer分解定理：如果X，Y是獨立的隨機(jī)變量，且S=X+Y是正態(tài)分布，那么X，Y也是正態(tài)分布;

如果X，Y獨立且均服從正態(tài)分布N（？滋，？滓2），那么X+Y，X-Y獨立且同分布，而正態(tài)分布是唯一滿足這一性質(zhì)的概率分布;

對于兩個正態(tài)分布X，Y，如果X，Y不相關(guān)則意味著X，Y獨立，而正態(tài)分布是唯一滿足這一性質(zhì)的概率分布。

總之，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程上介紹正態(tài)分布時，需介紹正態(tài)分布的產(chǎn)生歷史、密度函數(shù)特點、常見的性質(zhì)，加深同學(xué)對正態(tài)分布的理解，更好的掌握有關(guān)正態(tài)分布的內(nèi)容。

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