有限視野下漸開線齒廓測量的坐標系校準*

楊葉茜，王建華，商執(zhí)億

(西安工業(yè)大學 機電工程學院，西安 710021)

采用光學法測量齒輪齒廓，由于測量范圍和測量精度的矛盾，在有限視野下可獲得高精度的齒廓數(shù)據(jù)點，但因測量視野限制導致無法準確地獲得被測齒輪回轉(zhuǎn)中心的位置。采用旁置式測量機測量大齒輪的齒廓，同樣可獲得高精度的齒廓數(shù)據(jù)點，但仍無法準確地將獲得的數(shù)據(jù)點轉(zhuǎn)換到以被測齒輪回轉(zhuǎn)中心為原點的工件坐標系上。

由于坐標系建立不準確，直接影響齒廓測量結(jié)果的準確性，準確地將測量機的坐標原點建立在被測齒輪回轉(zhuǎn)軸線上，是高精度齒廓測量的必要條件。為準確地建立測量坐標系，諸多學者開展相關研究。文獻[1]提取齒輪內(nèi)孔亞像素邊緣輪廓的坐標點，利用最小二乘原理，給出齒輪中心坐標作為測量基準。文獻[2-3]提出一種用三個已知直徑的圓環(huán)獲取齒輪中心孔端面圓心的方法，將此圓心作為測量漸開線齒廓和徑向圓跳動的基準。文獻[1-3]均能給出準確的坐標系，但獲得坐標系的過程需要測得整個齒輪端面數(shù)據(jù)，位于被測齒廓上的測量點僅是整個端面測量點的一小部分，被測齒輪的直徑如不是足夠小，則無法獲得高精度的齒廓數(shù)據(jù)。文獻[4-5]根據(jù)標定圓盤上提取的一段短圓弧的坐標點，采用半徑約束最小二乘圓，求解圓弧中心坐標建立坐標系。該方法雖能有效提高坐標系建立精度，但總是存在一定量的坐標系建立誤差。文獻[6-9]利用激光跟蹤儀，通過建立被測齒輪的端平面、基準軸線以及旁置式測量機的坐標系，確定被測齒輪和旁置式測量機的位置，建立坐標轉(zhuǎn)換關系。文獻[10]提出將標準量塊放置于被測齒輪上部空間適當位置，得到標準量塊的一個測量面中心點位置后，調(diào)整回轉(zhuǎn)平臺180°，得到另一個測量面中心點位置，通過兩個中心點位置計算齒輪回轉(zhuǎn)中心位置，以此位置作為原點建立坐標系。然而，文獻[6-10]所述方法均存在不同程度的坐標系建立誤差。文獻[11-12]建立在已知基圓半徑條件下的非線性最小二乘方程，通過多條齒廓測量坐標數(shù)據(jù)求解基圓圓心坐標。該方法同樣存在與文獻[4-5]類似的問題。

為有效減小或消除坐標系建立誤差對齒廓測量精度的影響，文中通過測量漸開線樣板驗證坐標系建立的準確性。如存在坐標系建立誤差，可根據(jù)漸開線樣板的測量數(shù)據(jù)，求出漸開線參數(shù)，得到坐標系建立誤差，進而實現(xiàn)測量坐標系的校準。

1 漸開線參數(shù)的求解模型與算法

1.1 漸開線參數(shù)的分析

如圖1所示，在所建立的測量坐標系中，測取漸開線樣板坐標(xi,yi)。對應齒廓總偏差Fα的計算為

(1)

式中：Ei為齒廓在每個測量點的偏差；rb為漸開線樣板基圓半徑的檢定值；中間變量λi是展開角;ψ為漸開線在測量坐標系中的起始角。

圖1 漸開線樣板坐標

如評定結(jié)果大于樣板檢定值，說明含有坐標系建立誤差，需要對測量坐標系進行修正。假設在X軸方向上的坐標系建立誤差為A，在Y軸方向上的坐標系建立誤差為B，齒廓偏差Ei的計算發(fā)生變化為

(2)

基圓圓心坐標(A,B)是待求解的漸開線參數(shù)。分析式(1)和式(2)可知起始角ψ若不準確，雖不影響齒廓偏差Ei的評定結(jié)果，但會影響采用最小二乘法求解基圓圓心坐標(A,B)的求解結(jié)果，起始角ψ需作為待求解的漸開線參數(shù)。

1.2 求解模型與算法

文中提出基于齒廓偏差Ei平方和最小的原則，建立求解基圓圓心坐標(A,B)和起始角ψ的最小二乘模型，可得最小二乘模型的目標函數(shù)為

(3)

對函數(shù)最小值求解，一般令被求函數(shù)偏導數(shù)為零，求出未知參數(shù)帶回被求函數(shù)，得到被求函數(shù)最小值。令P的各個偏導數(shù)為0，可得方程組，如式(4)，對此方程組求解，可獲得漸開線參數(shù)的最優(yōu)解Xk，最優(yōu)解Xk就是坐標系建立誤差為

Fm(Xk)=0,(m=1,2,3)。

(4)

目標函數(shù)是無約束非線性優(yōu)化函數(shù)，所得到的式(4)是非線性的方程組，一般是將其線性化再求解。將齒廓偏差Ei線性化，線性化后的齒廓偏差Ei為

Ei=fA·A+fB·B+fψ·ψ+f0，

(5)

f0=Ei|X0-A0·fA-B0·fB-ψ0·fψ；

X0=(A0,B0,ψ0)T。

其中fA、fB、fψ分別為齒廓偏差Ei的3個偏導數(shù)在X0處的值;f0為齒廓偏差Ei線性化后的所有常數(shù)項；X0為迭代初值。假設坐標系建立誤差屬于小誤差，在小誤差條件下，可取漸開線參數(shù)的初值為零。

齒廓偏差Ei線性化后，非線性式(4)則轉(zhuǎn)換為式(6)所示的線性方程組。

M·Xk=b，

(6)

式中：

一般情況下，該式(6)是病態(tài)的。其病態(tài)程度用系數(shù)矩陣M的條件數(shù)cond(M)∞來表示，條件數(shù)cond(M)∞愈大，方程組的病態(tài)程度愈嚴重。對系數(shù)矩陣M分析可知降低系數(shù)矩陣M的階數(shù)，即減少待求漸開線參數(shù)的個數(shù)，條件數(shù)cond(M)∞就會顯著減小。

比較基圓圓心坐標(A,B)和起始角ψ，可得將起始角ψ作為已知參數(shù)，條件數(shù)cond(M)∞最小，這時式(6)的系數(shù)矩陣M變?yōu)?階矩陣。隨著給定起始角ψ的不同，求解2階矩陣，得到不同的基圓圓心坐標(A,B)，以齒廓總偏差Fα最小為優(yōu)化目標，求解漸開線參數(shù)的最優(yōu)解Xk。這樣就將3階病態(tài)矩陣的求解，轉(zhuǎn)化成2階矩陣和1維優(yōu)化算法的求解。

2 漸開線參數(shù)仿真實驗

2.1 仿真實驗過程

利用漸開線函數(shù)，生成漸開線樣板的測量數(shù)據(jù)(xi,yi)，該數(shù)據(jù)是在理論的漸開線上疊加齒廓偏差Ei和坐標系建立誤差X=(A,B,ψ)為

(7)

漸開線樣板基圓半徑rb的取值，樣板精度級別2級對應的齒廓形狀偏差最大允許值P的取值，以及展開角λi的終點λn的取值[13]，見表1。

表1 標準樣板參數(shù)

為避免改變理想的漸開線參數(shù)值，造成無法將求解得到的最優(yōu)漸開線參數(shù)Xk和理想漸開線參數(shù)X進行對比，二者之差ΔX=|Xk-X|，齒廓偏差Ei選擇加入多個周期的余弦函數(shù)值，如式(8)，在此區(qū)間內(nèi)等間距取n=10 000個值，即數(shù)據(jù)采樣個數(shù)n=10 000。

(8)

為避免樣板有些坐標點可能因基圓圓心坐標(A,B)的初值位于基圓內(nèi)，造成漸開線參數(shù)無實數(shù)解，取展開角λi的起點λ1=5.0°，在此區(qū)間內(nèi)等展開角取采樣個數(shù)n=10 000。

若不存在坐標系建立誤差，即漸開線參數(shù)A=0.0000 mm、B=0.0000 mm、ψ=0.0″，以樣板3為例，可得在所測樣板區(qū)間內(nèi)的齒廓偏差Ei，如圖2所示。

圖2 不存在坐標系建立誤差的仿真評定結(jié)果

從圖2可看出，齒廓總偏差Fα=2.0 μm、齒廓傾斜偏差fHα=0.0 μm、齒廓形狀偏差ffα=2.0 μm，該偏差與疊加齒廓偏差Ei一致。

加入坐標系建立誤差，取漸開線參數(shù)A=0.100 0 mm、B=0.100 0 mm、ψ=100.0″。

根據(jù)式(7)生成漸開線樣板坐標(xi,yi)，對此樣板坐標(xi,yi)進行漸開線參數(shù)的求解。

2.2 坐標系建立誤差對測量結(jié)果的影響

取漸開線參數(shù)的初值A0=0.000 0 mm、B0=0.000 0 mm、ψ0=0.0″。選擇樣板3生成的樣板坐標(xi,yi)，不進行漸開線參數(shù)的求解，直接用漸開線參數(shù)初值評定漸開線樣板，可得在所測樣板區(qū)間內(nèi)的齒廓偏差Ei，如圖3所示。

圖3 仿真數(shù)據(jù)的直接評定結(jié)果

從圖3可看出，齒廓總偏差Fα=68.5 μm、齒廓傾斜偏差fHα=-68.7 μm、齒廓形狀偏差ffα=4.0 μm，該偏遠遠大于圖2給定的齒廓偏差，說明存在坐標系建立誤差。下面將說明根據(jù)漸開線樣板的測量數(shù)據(jù)，求出坐標系建立誤差的過程。

2.3 模型的求解算法對比

將基圓圓心坐標(A,B)和起始角ψ作為未知參數(shù)直接求解時，系數(shù)矩陣M是3階矩陣，迭代終止條件是3個漸開線參數(shù)在亞微米級不變?？傻貌煌瑵u開線樣板的漸開線參數(shù)求解結(jié)果見表2。

表2 直接求解結(jié)果

從表2可得出，max(cond(M)∞)=1.4×1010，直接求解的條件數(shù)很大，求解結(jié)果max(ΔA)=0.001 1 mm，max(ΔB)=0.004 3 mm，max(rb·Δψ)=0.004 5 mm，與理想的漸開線參數(shù)相差很大。說明直接求解算法的求解誤差比較大。

表3(a)是樣板1的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″；表3(b)是樣板2的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″表3(c)是樣板3的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″；表3(d)是樣板4的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″。

可得max(cond(M)∞)=167.3，優(yōu)化求解的條件數(shù)相較于直接求解的條件數(shù)減小，求解結(jié)果max(ΔA)=0.000 0 mm，max(ΔB)=0.000 0 mm，max(rb·Δψ)=0.000 0 mm，上述4種不同規(guī)格漸開線樣板數(shù)據(jù)對應漸開線參數(shù)的求解精度均為亞微米級。說明優(yōu)化求解算法的求解誤差非常小。

表3 優(yōu)化求解結(jié)果

(b)樣板2

(c)樣板3

(d)樣板4

2.4 仿真實驗的坐標系校準

以樣板3為例，取表3(c)中漸開線參數(shù)求解結(jié)果，修正測量坐標系，評定漸開線樣板，可得齒廓總偏差Fα=2.0 μm、齒廓傾斜偏差fHα=0.0 μm、齒廓形狀偏差ffα=2.0 μm，該偏差與圖2給定的齒廓偏差一致。證明優(yōu)化求解算法的正確性，采用校準后的測量坐標系，可獲得準確的齒廓測量結(jié)果。

3 漸開線參數(shù)實測實驗

3.1 實測實驗過程

利用非相干線結(jié)構(gòu)光法，測量漸開線樣板的數(shù)據(jù)(xi,yi)。被測漸開線樣板，如圖4所示。

圖4 被測漸開線樣板

此漸開線樣板的參數(shù)見表4。

表4 實測樣板參數(shù)

非相干線結(jié)構(gòu)光法測量系統(tǒng)主要包括：非相干光源、匯聚光路、裝夾裝置和圖像采集系統(tǒng)四部分，如圖5所示。

圖5 非相干線結(jié)構(gòu)光測量系統(tǒng)

其中非相干光源由LED光源和狹縫裝置組成，用于產(chǎn)生非相干線結(jié)構(gòu)光。匯聚光路由透鏡組組成，主要實現(xiàn)光條寬度的調(diào)節(jié)。裝夾裝置由裝夾機構(gòu)、水平位移臺、旋轉(zhuǎn)位移臺和俯仰臺組成，主要實現(xiàn)工件的裝夾、移動、旋轉(zhuǎn)和微調(diào)。圖像采集系統(tǒng)由相機、鏡頭和移動臺組成，相機選用510萬像素CCD相機，鏡頭選用畸變系數(shù)小的雙遠心鏡頭，移動臺可以控制圖像采集系統(tǒng)沿水平和垂直方向移動。此測量系統(tǒng)的輪廓測量精度約為4 μm，橫向測量范圍最大為10 mm，工作距離為63 mm，景深為1 mm。

實驗原理是非相干光源發(fā)出的球面光經(jīng)狹縫變?yōu)榫€結(jié)構(gòu)光，通過匯聚光路變細后的線結(jié)構(gòu)光照射在被測工件表面上，經(jīng)被測表面反射后成像于CCD的光敏接受元件上，通過測得的像點位移信息，計算出被測工件表面的輪廓信息。

由于被測漸開線樣板的齒廓長度大于非相干線結(jié)構(gòu)光法的橫向測量范圍，實驗只選取其中一段齒廓進行測量。測得漸開線樣板坐標(xi,yi)，對此樣板坐標(xi,yi)進行漸開線參數(shù)的求解。

3.2 漸開線參數(shù)初值的選取

該實驗僅測得有限視野下的漸開線樣板坐標(xi,yi)，數(shù)據(jù)采樣個數(shù)n=1 621，未測得被測齒輪回轉(zhuǎn)中心坐標。提出通過移動和旋轉(zhuǎn)樣板坐標(xi,yi)，將其與理論漸開線對比，使?jié)u開線參數(shù)的初值為A0=0.000 0 mm、B0=0.000 0 mm、ψ0=0.0″。具體步驟如下：

① 漸開線樣板數(shù)據(jù)首尾兩點的連線，記為線段CD；樣板數(shù)據(jù)跟隨線段CD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至線段CD與X軸平行，繪制樣板數(shù)據(jù)構(gòu)成的曲線；

② 樣板數(shù)據(jù)中與線段CD距離最遠的數(shù)據(jù)點，記作點E；過點E作射線EF，射線EF與X軸的夾角為τ1=tan(α)，α是被測樣板分度圓壓力角，點F在靠近基圓圓心方向取值；過點E作圓S，圓S的半徑為r1=r，r是被測樣板分度圓半徑；得到射線EF和圓S的交點位置O；

③ 以點O作為基圓圓心，-τ1作為漸開線起始角，繪制基圓G和理想漸開線；

④ 利用觀察法，通過調(diào)整射線EF與X軸夾角τi和圓S的半徑ri，重復步驟②和步驟③，使理想漸開線與被測樣板曲線相重疊，記錄此時的基圓圓心O的坐標(a,b)和漸開線起始角-τ的角度；

⑤ 將相重疊時的基圓圓心O在X軸方向上移動-a，在Y軸方向上移動-b，坐標軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)τ。

可得初步建立的測量坐標系，如圖6所示，粗線為被測漸開線樣板數(shù)據(jù)構(gòu)成的曲線，細線為理想的漸開線。

圖6 測量坐標系的初步建立

3.3 漸開線參數(shù)的優(yōu)化求解

當將起始角ψ作為已知參數(shù)優(yōu)化求解，迭代終止條件和搜索終止條件與迭代終止條件為3個漸開線參數(shù)在亞微米不變，搜索終止條件為ΔAk<5×10-4mm且ΔBk<5×10-4mm一致。

第1次求解，起始角ψ的取值范圍是[-20 000.0″,20 000.0″]，取值間距是2 000.0″；第2次求解，取值范圍是[-4 000.0″,0.0″]，取值間距是200.0″；第3次求解，取值范圍是[-1 200.0″,-800.0″]，取值間距是20.0″；第4次求解，取值范圍是[-1 020.0″,-980.0″]，取值間距是2.0″；第5次求解，取值范圍是[-1 002.0″,-998.0″]，取值間距是0.2″。可得漸開線參數(shù)求解的結(jié)果見表5。從表5可得出，求解得到的最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=-0.502 9 mm，Bk=0.362 2 mm，ψk=-998.8″。

表5 實測數(shù)據(jù)的漸開線參數(shù)求解結(jié)果

3.4 實測實驗的坐標系校準

取表5中漸開線參數(shù)求解結(jié)果，修正測量坐標系，評定漸開線樣板，可得在所測樣板區(qū)間內(nèi)的齒廓偏差Ei，如圖7所示，所測樣板展開角λi的起點λ1=21.6°，終點λn=26.7°。

圖7 實測數(shù)據(jù)的校準評定結(jié)果

從圖7可得出，齒廓總偏差Fα=4.7 μm、齒廓傾斜偏差fHα=0.0 μm、齒廓形狀偏差ffα=4.7 μm，該偏差與此系統(tǒng)的輪廓測量精度一致。證明優(yōu)化求解算法的實用性，可獲得準確的齒廓測量結(jié)果。

4 結(jié) 論

1) 測量坐標系存在誤差的情況下，構(gòu)建求解漸開線樣板基圓圓心坐標和漸開線起始角的模型，提出用漸開線樣板校準測量坐標系的方法。

2) 采用仿真方式生成的4種不同規(guī)格漸開線樣板數(shù)據(jù)和采用非相干線結(jié)構(gòu)光法測得的漸開線樣板數(shù)據(jù)，通過2階矩陣和1維優(yōu)化算法，求解構(gòu)建的漸開線參數(shù)模型，以齒廓總偏差最小為優(yōu)化目標，求出漸開線參數(shù)，可獲得亞微米級的坐標系建立精度和準確的齒廓測量結(jié)果。

3) 一般校準齒輪測量設備的漸開線樣板基圓半徑與被測齒輪的基圓半徑大小一致，用于校準測量設備的漸開線樣板一般帶有回轉(zhuǎn)軸線，而大尺寸的高精度漸開線樣板制造難度比較大，本文建議研制一種用于大齒輪測量設備校準無回轉(zhuǎn)軸線的小型漸開線樣板。