建造高塔

李佩寧

最優(yōu)解問題是從數(shù)學(xué)，尤其是幾何學(xué)中衍生出來的概念。它原本指的是使線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解，和對該解存在與否、如何求得的數(shù)理演繹。而在一般性的問題解決中，最優(yōu)解指的是：對某個可以量化的問題，在給定的有限條件下，對最佳辦法是否存在以及如何設(shè)計并執(zhí)行的問題的探討。最優(yōu)解問題的答案可能不唯一，也可能沒有答案。

最優(yōu)解問題在生活中的核心體現(xiàn)，往往是運(yùn)籌學(xué)和博弈論所要解決的問題。運(yùn)籌學(xué)主要研究經(jīng)濟(jì)活動和軍事活動中能用數(shù)量來表達(dá)的有關(guān)策劃、管理方面的問題，可以根據(jù)問題的要求，通過分析、運(yùn)算，得出各種各樣的結(jié)果，最后提出綜合性的合理安排，以達(dá)到最好的效果。隨著社會的進(jìn)步與發(fā)展，運(yùn)籌學(xué)的有些內(nèi)容已經(jīng)在日常生活中泛化和深入。博弈論則是運(yùn)籌學(xué)的分支，主要研究公式化了的激勵結(jié)構(gòu)間的相互作用，是研究具有斗爭或競爭性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法。博弈論考慮游戲中個體的預(yù)測行為和實際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。運(yùn)籌學(xué)和博弈學(xué)都涉及到對最佳辦法的尋找，即數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解。

一、課程重點

本課程通過讓學(xué)生了解工程試驗，培養(yǎng)學(xué)生對工程設(shè)計的認(rèn)識。在尋找最優(yōu)解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生鍛煉對多種解決方法進(jìn)行歸類和分別處理的能力，培養(yǎng)對細(xì)節(jié)的認(rèn)識、觀察以及綜合理解能力，并對運(yùn)籌學(xué)和博弈論形成一些感性認(rèn)識。

【涉及領(lǐng)域】工程、物理學(xué)、建筑學(xué)

【建議年級】小學(xué)中年級

【建議時間】125分鐘

二、課程任務(wù)

在給定材料數(shù)量的前提下，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)計算和推理，通過實際動手，嘗試尋找最佳方案。在具體問題具體分析中，以及親自動手實踐中，引導(dǎo)學(xué)生動手動腦，就最佳設(shè)計的方式和思路展開討論。

三、課程步驟

1.導(dǎo)入（15分鐘）

第一步，闡述極限和最優(yōu)解的概念。通俗地講，極限是某個事物或某類事物發(fā)展的上限或者下限，是無法跨越的一種程度。極限值有可能是達(dá)不到的卻可以無限趨近的。最優(yōu)解，是指在規(guī)劃中產(chǎn)生所需要的最大值或最小值的那個解決方案，有的情況下可以是多個。

教師可以舉例說明數(shù)學(xué)上的極限，以及什么是生活中運(yùn)籌問題的最優(yōu)解。例如，先說一個小數(shù)0.1，然后讓學(xué)生說出一個比0.1小但是比0大的數(shù)，然后讓下一個學(xué)生說出比之還小但是比0大的數(shù)字，以此類推。然后，詢問學(xué)生這樣的數(shù)字可以一直小到多少，能出現(xiàn)多少個這樣的數(shù)字。當(dāng)學(xué)生回答是無數(shù)個之后，教師解釋：這樣的數(shù)字是永遠(yuǎn)到達(dá)不了0那么小的，但是會越來越小，不斷地接近0，0就是這一串?dāng)?shù)字變化的極限。

至于生活中運(yùn)籌問題的最優(yōu)解，教師可以列舉學(xué)生從早晨起床到上學(xué)的整個步驟，讓學(xué)生思考可以由幾種最佳的順序完成。其中，可能有一種或者多種在最短時間內(nèi)完成多項任務(wù)的安排方式，而任意一種最佳的時間安排方式，其實就是一種最優(yōu)解。

第二步，強(qiáng)調(diào)資源的有限性，并提出對有限資源利用的建議。本次課程中，材料都是有限的，并且在尋找最佳方案的前提下可能會需要反復(fù)利用。所以，有必要進(jìn)行合理規(guī)劃，考慮在實驗過程中解決材料的可重復(fù)利用問題。

2.宣布任務(wù)一及評價量規(guī)（10分鐘）

【宣布任務(wù)】首先，通過觀察判斷給定材料（數(shù)量有限，嚴(yán)格按照給定的數(shù)量進(jìn)行制作）能夠制作高塔的最高極限是多少，并要說出如何得出這個極限;之后，使用給定的材料進(jìn)行兩次實驗，通過實驗不斷接近自己觀察判斷出的極限值，同時修正制作方式。在此過程中，學(xué)生必須要考慮材料的重復(fù)利用。宣布任務(wù)后，呈現(xiàn)評價量規(guī)（見表1）。

【材料】30根吸管、剪刀、60厘米長的膠帶、10把尺子（建議每組2把）。

在宣布任務(wù)和評價量規(guī)后，教師可以繼續(xù)提出以下問題。

（1）各組計算或估算的極限各是多少？如果極限相同，各自的設(shè)計是否一致？

（2）極限實際能否達(dá)到？在實際操作中會遇到哪些困難？請列舉出來。

提問后，給各組少量時間進(jìn)行溝通準(zhǔn)備。每個人都要寫下自己的想法和實驗計劃，然后小組討論執(zhí)行什么樣的實驗計劃。

3.任務(wù)一的執(zhí)行（20分鐘）

正式執(zhí)行制作任務(wù)。要求學(xué)生依照評價量規(guī)，考慮以下問題。

（1）小組最終同意的極限是多少？

（2）為了盡可能接近這個極限，在設(shè)計中如何利用材料？

（3）為了進(jìn)行多次實驗，如何使用吸管？如何使用膠帶？吸管和膠帶怎樣連接？連接怎樣保持穩(wěn)固性？

（4）實驗執(zhí)行時應(yīng)該注意哪些細(xì)節(jié)？

（5）估算極限值時，是否真正考慮了所有的可能性？能否通過對材料的進(jìn)一步加工而改變極限值？

（6）小組的分工如何？

4.總結(jié)和反思（25分鐘）

全部小組完成任務(wù)后，組織討論以下問題。

（1）小組對極限值的估計進(jìn)行了幾次，出現(xiàn)了幾個極限值？是什么理由推翻了之前的估算？

（2）在實驗所產(chǎn)生的設(shè)想中，接近理論極限值的最大實際困難是什么？

（3）如何在實驗時盡力做到重復(fù)利用現(xiàn)有材料？

5.宣布任務(wù)二及評價量規(guī)（10分鐘）

【宣布任務(wù)】使用給出的材料實際制作一個1.4米高的塔（底部不得粘在桌面上），必須保證能立起，能承受一定的重量，并且盡量節(jié)省材料成本，最后看哪個組制作的高塔能實現(xiàn)“物美價廉”（教師自行給材料賦予一定的成本，例如買一把尺子要花多少錢）。需要說明的是，學(xué)生要進(jìn)行文字和圖畫的設(shè)計。宣布任務(wù)后，呈現(xiàn)評價量規(guī)（見表2）。

【材料】30根吸管、剪刀、60厘米長的膠帶、10把尺子（建議每組2把）。

需要特別說明的是，為了防止學(xué)生針對評價量規(guī)的最后兩項做出“專注于一項評分而放棄另一項”的不被鼓勵的設(shè)計，教師可以酌情對最后兩項評分進(jìn)行必要的加權(quán)處理，以使學(xué)生在完成“增加承重”和“減少成本”兩項任務(wù)時的評分回報率大體相仿。

6.任務(wù)二的執(zhí)行（20分鐘）

正式執(zhí)行制作任務(wù)。要求學(xué)生依照評價量規(guī)，考慮以下問題。

（1）如何保證高塔不倒下？如何保證高塔的傾斜角最??？

（2）為了盡可能接近高度極限，在設(shè)計中如何利用材料？

（3）哪些設(shè)計是為了穩(wěn)固？哪些設(shè)計是為了增高？

（4）什么因素導(dǎo)致制作的高塔產(chǎn)生傾角？

（5）小組的分工如何？

7.總結(jié)和反思（25分鐘）

全部小組完成后，組織討論以下問題。

（1）目前哪個小組得到了“最優(yōu)解”？是否還有繼續(xù)改進(jìn)的空間？

（2）為了達(dá)成獲得最優(yōu)解的目的，還有什么相關(guān)內(nèi)容需要被提前測量？比如，桌面的微小起伏是否會影響最終的結(jié)果？

（3）能否通過對材料的再進(jìn)一步加工而改良現(xiàn)有的最優(yōu)解？

（責(zé)任編輯? ?張慧籽）