非自治常微分方程組周期解的存在性*

張申貴

（西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院，甘肅蘭州 730030）

則問題

使得

則問題（1）在Sobolev空間H1T中至少有一個周期解.

注:式（2）表明非線性項▽F（t，u（t））是線性增長的.

定理1和2中要求式（3）中極限值為+∞，即Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件成立.易見式（3）中極限值可以是下方有界的，極限值的范圍從+∞放寬為

在Sobolev空間上定義泛函φ如下:

則φ弱下半連續(xù)且連續(xù)可微，u∈H1T是問題（1）的周期解當且僅當u是泛函φ的臨界點.

引理1［3］ （極小作用原理）若泛函φ:X→R弱下半連續(xù)，且φ在自反Banach空間X中強制，即當‖u‖→∞時，有φ（u）→+∞，則泛函φ在空間X中有極小值.

考慮非自治常微分方程組

其中T＞0，F(xiàn):［0，T］×RN→R 滿足:對?x∈RN，F(xiàn)（t，x）可測，對 a·e·t∈［0，T］，F(xiàn)（t，x）連續(xù)可微;且存在a∈C（R+，R+），b∈L1（0，T;R+），使得

許多數(shù)學模型都可以歸結為非自治常微分方程組.近年來，非自治常微分方程組周期解的存在性成為了人們研究的重要課題［1－6］.

當m=0時，文獻［1］得到了下面定理:

對所有x∈RN和a·e·t∈［0，T］成立，且F滿足Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件

則問題

當m不恒等于0時，文獻［2］得到了下面定理:

使得

對所有x∈RN和a·e·t∈［0，T］成立，且F滿足Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件

則問題（1）在Sobolev空間H1T中至少有一個周期解.

定理3 設F滿足式（2）且

則問題（1）在Sobolev空間H1T中至少有一個周期解.

注:式（2）表明非線性項▽F（t，u（t））是線性增長的.

定理1和2中要求式（3）中極限值為+∞，即Ahmad-Lazer-Paul型強制性條件成立.易見式（3）中極限值可以是下方有界的，極限值的范圍從+∞放寬為

定理1對應于定理3中m=0，且式（3）中極限值為+∞的特殊情形.

定理2對應于定理3中式（3）中極限值為+∞的特殊情形.

則φ弱下半連續(xù)且連續(xù)可微，u∈H1T是問題（1）的周期解當且僅當u是泛函φ的臨界點.

引理1［3］（極小作用原理）若泛函φ:X→R弱下半連續(xù)，且φ在自反Banach空間X中強制，即當‖u‖→∞時，有φ（u）→+∞，則泛函φ在空間X中有極小值.

定理3的證明

由式（2）和式（4）、均值不等式，有

由式（5）（6），有

［1］ZHAO F K，WU X.Existence of periodic solutions for nonautonmous second order systems with linear nonlinearity［J］.Nonlinear Anal，2005，60（7）:325-335

［2］王少敏，冷天玖.關于常微分方程組周期解的存在性定理［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2007（2）:119-121

［3］MAWHIN J，WILLEM M.Critical point theory and Hamiltonian systems［M］.NewYork:Springer-Verlag，1989

［4］韓志清.共振條件下的常微分方程組2π-周期解的存在性［J］.數(shù)學學報，2000（4）:639-644

［5］王少敏.帶有阻尼項的二階哈密頓系統(tǒng)的周期解［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2011（4）:6-11

［6］HAN Z Q.Existence of periodic solutions of linear Hamiltonian systems with sublinear perturb-ation［J］.Boundary Value Probiems，2010（12）:123-131