構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

馮熙源

【摘要】 《普通高中課程方案和標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）要求高中數(shù)學(xué)的教學(xué)盡可能地教給學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)知識(shí)難度大，解題方法多，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中積極采用科學(xué)有效的方法提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.構(gòu)造法是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化最富有活力的方法之一，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要方法.本文主要針對(duì)高中數(shù)學(xué)課程中的求解數(shù)列通項(xiàng)公式、幾何最值和導(dǎo)數(shù)問(wèn)題三個(gè)方面，提出采用構(gòu)造法來(lái)解決上面三個(gè)問(wèn)題.通過(guò)構(gòu)造法的應(yīng)用，解決了高中階段學(xué)生針對(duì)數(shù)列通項(xiàng)不好找出規(guī)律問(wèn)題，以及在求幾何最值及導(dǎo)數(shù)壓軸題不好解決的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】 構(gòu)造法;通項(xiàng)公式;最值;輔助函數(shù)

所謂構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，以此促成命題的轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法.構(gòu)造法的核心是構(gòu)造，要善于將數(shù)與形相結(jié)合，將式與方程、函數(shù)、圖形等建立聯(lián)系，構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)形式，如方程、函數(shù)、圖形等，在各種數(shù)學(xué)形式間找出相互的關(guān)系，在解題中被廣泛應(yīng)用.同時(shí)也是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化的重要方法，已經(jīng)滲透在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域.

一、構(gòu)造法在求解數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用

在歷年高考中出現(xiàn)多次利用線性遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的問(wèn)題，在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)所開(kāi)設(shè)的“組合數(shù)學(xué)”課程中有完善的解決方法，但鑒于高中的學(xué)習(xí)情況，這種方法不適合高中學(xué)生.同學(xué)們會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法解決這個(gè)問(wèn)題.但是通過(guò)計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，很難找出規(guī)律，而且對(duì)于文科考生，數(shù)學(xué)歸納法不是必修內(nèi)容.我們采用構(gòu)造法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

例1 ??a 1=1，a ?n+1 =2a n+3，求數(shù)列{a n}的通項(xiàng)公式.

解析 ?（1）構(gòu)造等比數(shù)列a ?n+1 -t=2（a n-t），即a ?n+1 =2a n-t，解得t=-3，故遞推公式為a ?n+1 +3=2（a n+3）.

令b n=a n+3，則b 1=a 1+3=4，且 b ?n+1 ?b n = a ?n+1 +3 a n+3 =2，

所以{b n}是以b 1=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以b n=4×2 n-1 =2 n+1 ，即a n=2 n+1 -3.

例2 ??設(shè)數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和S n= 4 3 a n- 1 3 ×2 n+1 + 2 3 （n=1，2，3，…），求通項(xiàng)a n.

解析 ?當(dāng)n=1時(shí)，有a 1=S 1= 4 3 a 1- 1 3 ×4+ 2 3 ，解得a 1=2，

a ?n+1 =S ?n+1 -S n= 4 3 a ?n+1 - 4 3 a n- 1 3 （2 n+2 -2 n+1 ），

整理得a ?n+1 =4a n+2 n+1 .

構(gòu)造等比數(shù)列：a ?n+1 +t·2 n+1 =4（a n+t·2 n ），解得t=1.

所以a ?n+1 +2 n+1 =4（a n+2 n ），

所以數(shù)列{a n+2 n }是公比是4的等比數(shù)列.

于是a n+2 n =（a 1+2）·4 n-1 ，所以a n=4 n -2 n .

評(píng)析：在求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到既非等差，又非等比數(shù)列的求解通項(xiàng)公式問(wèn)題.由于文科考生沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，本文采用構(gòu)造法求解，避免了用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解.

二、構(gòu)造法在求解高中幾何最值問(wèn)題中的應(yīng)用

與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題構(gòu)造出新的長(zhǎng)度

例3 ??已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求：

（1） y x 的最大值和最小值;

（2）y-x的最大值和最小值;

（3）x2+y2的最大值和最小值.

解析 ?（1）求 y x 最值問(wèn)題，可以構(gòu)造成求 y-0 x-0 的最值問(wèn)題，即求圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）連線的斜率的最值問(wèn)題.

方程x2+y2-4x+1=0表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以 3 為半徑的圓.

設(shè) y-0 x-0 =k，即y=kx，

則圓心（2，0）到直線y=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大值和最小值.

由 |2k-0|? k2+1? = 3 ，解得k2=3，所以k ?max = 3 ，k ?min =- 3 ，

即 y x 的最大值為 3 ，最小值為- 3 .

（2）令y-x=b，構(gòu)造出y=x+b，求y-x的最大值、最小值，就是求y=x+b在y軸上的截距的最大值和最小值.

當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)截距取得最大值和最小值.

即 |2-0+b|? 2? = 3 ，解得b=-2± 6 .

所以y-x的最大值為-2+ 6 ，最小值為-2- 6 .

（3）x2+y2=（x-0）2+（y-0）2，求x2+y2的最大值和最小值，構(gòu)造成求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的最大值和最小值.由平面幾何知識(shí)可知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.

又圓心到原點(diǎn)的距離為 （2-0）2+（0-0）2 =2，

所以x2+y2的最大值為7+4 3 ，最小值為7-4 3 .

【參考文獻(xiàn)】

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