碰撞過程中兩個常用結(jié)論的證明

朱磊

摘 要：以動量守恒、能量守恒為基礎(chǔ)，利用不等式、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)方法，證明了兩個常用結(jié)論：碰撞過程中完全非彈性碰撞能量損失最大；兩同向運動物體正碰，當(dāng)發(fā)生彈性碰撞時被碰物體獲得的速度最大，發(fā)生完全非彈性碰撞時被碰物體獲得的速度最小。

關(guān)鍵詞：能量；動量；碰撞；導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）1-0042-3

1 引 言

能量和動量的有關(guān)知識是高中物理學(xué)習(xí)的重點也是難點。能量問題是人教版必修二中的內(nèi)容，動量問題是人教版選修3-5的內(nèi)容。在新考試大綱中將選修3-5作為必考模塊后更加突出了動量的重要性。在學(xué)習(xí)了機械能、動量和沖量之后，接下來需要學(xué)習(xí)動量守恒定律。學(xué)習(xí)這個定律的一個重要作用是其在碰撞過程中的應(yīng)用。高中物理中的碰撞過程比較簡單，必須要掌握的是對心碰撞、彈性碰撞和完全非彈性碰撞。在這部分內(nèi)容的教學(xué)過程中需要用到兩個重要的結(jié)論性知識點：

第一，兩個物體發(fā)生碰撞，當(dāng)它們碰后結(jié)合到一起時，系統(tǒng)機械能的損失最大。

第二，一個物體被另一同向運動的物體正碰，當(dāng)發(fā)生彈性碰撞時被碰物體獲得的速度最大，發(fā)生完全非彈性碰撞時被碰物體獲得的速度最小。

在教學(xué)過程中這兩個知識點一般是直接作為結(jié)論強加給學(xué)生，基本不會給出推導(dǎo)過程，或者只是給予定性的推導(dǎo)。只要是稍微有點獨立思考能力的學(xué)生，對于這樣的教學(xué)過程不會滿意，會產(chǎn)生為什么是這樣的疑問？由于證明過程過于復(fù)雜，而且現(xiàn)有資料也很少針對這兩個結(jié)論給出完整的證明。當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生疑問時，老師的回答基本上是：這是結(jié)論，直接用就可以了。這樣處理學(xué)生的疑問不但顯得教師的教學(xué)態(tài)度不嚴(yán)謹(jǐn)，而且損害了學(xué)生的探索精神。這兩條結(jié)論性知識點的證明過程是將物理原理和數(shù)學(xué)知識結(jié)合在一起進(jìn)行邏輯推演，很好地體現(xiàn)了演繹法的威力。我們在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，如果能針對這兩個結(jié)論給予適當(dāng)?shù)淖C明，哪怕是給出一定的證明思路，對學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情都是一個很大的鼓舞。雖然大學(xué)課本中對第一個結(jié)論給出了證明，但其推導(dǎo)過程運用的方法已經(jīng)超出了中學(xué)物理的知識范疇。那么，能不能在高中物理知識的范圍內(nèi)證明這兩個結(jié)論呢？回答是肯定的。本文針對這兩個結(jié)論給出了一種中學(xué)生能理解的證明。

2 證明

首先證明：兩個物體發(fā)生碰撞，當(dāng)它們碰后結(jié)合到一起時，系統(tǒng)機械能的損失最大。

現(xiàn)在來分析這兩個解所對應(yīng)的運動狀態(tài)。

由于v4的最大解是在不等式取等號時求得的一個解，也就是在完全彈性碰撞條件下得到的，那么也就證明了在完全彈性碰撞的情況下，被撞小球有最大速度。

那么，v4最小解等于v2是什么含義呢？其實，是在入射小球還沒有碰到被撞小球時保持的原速度。由于被撞小球一旦被撞一定加速，被撞小球所有的碰撞后速度一定大于被撞前的原速度，所以這是一個沒有什么價值的平凡解。需要進(jìn)一步證明兩球發(fā)生碰撞后，發(fā)生完全非彈性碰撞時所具有的速度是所有被撞小球碰后速度的最小值。

除了動量守恒和能量不增加外，還有一個隱含的條件沒有用。那就是在碰撞前后被撞小球的碰后速度不能小于入射小球的碰后速度。即

v4≥v3（19）

將（3）式代入到（19）式中，整理可得

很顯然，當(dāng)不等式取等號時，v4的值恰好和（7）（8）兩式的值相等，也就是兩球結(jié)合在一起所具有的共同速度。這也就證明了，在發(fā)生完全非彈性碰撞后被撞小球的速度有最小值。

至此，第二個結(jié)論得到證明。

3 總 結(jié)

碰撞過程的問題需要能量、動量和數(shù)學(xué)三方面知識的聯(lián)合運用才能解決。在碰撞過程中由于內(nèi)力比外力大很多，動量絕大多數(shù)情況下可以看作守恒，但是除了在理論和微觀等少數(shù)情況下能量是不守恒的。以動量守恒和能量不增加兩條基本原理，使用不等式、二次函數(shù)和導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)工具，推導(dǎo)出在碰撞過程中能量損失的最大值和被碰小球在碰后的速度范圍。有了對這兩個重要知識點的嚴(yán)格證明，使學(xué)生對這兩個結(jié)論的運用更加心中有底，并且讓他們對物理學(xué)中的物理原理與數(shù)學(xué)結(jié)合進(jìn)行推理的演繹法有更加深刻的認(rèn)識，有利于學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]張妮.物理探究式教學(xué)設(shè)計案例《動量和動量定理》[J].物理教學(xué)探討，2016，34（8）：38-44.endprint