經(jīng)歷問(wèn)題解決，滲透數(shù)學(xué)思想
——《雞兔同籠》教學(xué)實(shí)錄與反思

福建省廈門(mén)市同安區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬小學(xué) 吳英慧

教學(xué)內(nèi)容：人教2011版四年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。

2.嘗試用不同種方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題，體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性。

3.增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷自主探究解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握運(yùn)用畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)：理解掌握假設(shè)法，能運(yùn)用假設(shè)法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

教學(xué)過(guò)程：

一、情境引入

我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中就記載了這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？你們知道這個(gè)古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的意思嗎？同學(xué)們你們能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生搖搖頭：不……

師：覺(jué)得有些困難，為什么呢？

生：雞和兔子的只數(shù)好多……

師：是的，題目給我們的條件中數(shù)據(jù)很大，不利于我們解決問(wèn)題，那么我們可以從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手。

一群雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。你們能知道一共有幾只雞，幾只兔嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：從簡(jiǎn)單的對(duì)歌訣入手，學(xué)生再一次清晰兔子、雞腳的只數(shù)和頭的只數(shù)的關(guān)系，為新課做鋪墊。拋出“雞兔同籠”的問(wèn)題后讓學(xué)生體會(huì)到直接解決問(wèn)題存在一定困難，造成認(rèn)知沖突，再引出簡(jiǎn)單的例子，滲透化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想?！?/p>

二、自主探究

生匯報(bào)：1、畫(huà)圖法：用○代表動(dòng)物的頭，用｜代表動(dòng)物的腳。

2、列舉法：按順序列出雞和兔子所有可能的只數(shù)情況。

雞/只 8 7 6 5 4 3 2 1 0兔/只 0 1 2 3 4 5 6 7 8腳/只 16 18 20 22 24 26 28 30 32

請(qǐng)同學(xué)們觀察表格，仔細(xì)思考，當(dāng)雞的只數(shù)發(fā)生變化的時(shí)候兔子的只數(shù)是如何變化，腳的只數(shù)又是如何變化的？

生：當(dāng)雞的只數(shù)減少1只，兔子的只數(shù)就增加1只；兔子的只數(shù)每增加1只，腳的只數(shù)就增加2只。

除了一一列舉法，還有另外一種列舉法：“取中列舉法”。

3、假設(shè)法：（若學(xué)生無(wú)法自行想出，師引導(dǎo)：若假設(shè)全部都是雞或全部都是兔，腳數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化呢？）

（1）假設(shè)8只都是雞，那么就有8×2=16只腳，這樣就多出了26-16=10只腳。一只兔比一只雞多出2只腳，也就是有10÷2=5只兔。共有雞和兔8只，所以有8-5=3只雞。

（2）假設(shè)8只都是兔，那么就有8×4=32只腳，這樣原來(lái)的腳數(shù)就比現(xiàn)在的腳數(shù)少了32-26=6只腳。一只雞比一只兔少出2只腳，也就是有6÷2=3只雞。共有雞和兔8只，所以有8-3=5只兔。

分管后勤的趙主任請(qǐng)示書(shū)記后便安排事務(wù)長(zhǎng)為卸車(chē)人員準(zhǔn)備每天中午吃食堂的具體事宜。機(jī)關(guān)食堂很簡(jiǎn)單。操作間與飯廳隔著一面墻，墻上留有幾個(gè)排隊(duì)打飯菜的窗洞，操作間一張案板就占到三分之一，揉面、切菜都在其上，開(kāi)飯時(shí)盛飯菜的大盆小缽、收付飯菜票的盒子也擱在上面；飯廳頂棚吊著纖維板，地上擺放著幾張方桌、條凳，家室不在身邊的和單身漢一般都在飯廳就餐，他們可以邊吃邊聊。村書(shū)記、村長(zhǎng)來(lái)鎮(zhèn)上開(kāi)會(huì)也在食堂安排。

那么請(qǐng)同學(xué)們來(lái)觀察一下我們剛剛解決這道題所用的三種方法，覺(jué)得哪個(gè)方法更簡(jiǎn)便呢？

畫(huà)圖法當(dāng)遇到數(shù)據(jù)大的時(shí)候要畫(huà)很多，比較麻煩

列表法若是逐一列舉也比較麻煩，但是可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題先估計(jì)再選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)來(lái)列舉。

而假設(shè)法適用于任何數(shù)據(jù)，清晰又簡(jiǎn)便。

【設(shè)計(jì)意圖：給出問(wèn)題后放手讓孩子獨(dú)立思考再小組交流，培養(yǎng)他們解決問(wèn)題及合作的能力，匯報(bào)時(shí)再根據(jù)學(xué)生的回答加以引導(dǎo)，滲透數(shù)形結(jié)合，教會(huì)學(xué)生從表格中觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律。再對(duì)三種方法進(jìn)行優(yōu)化，學(xué)生因此對(duì)假設(shè)法的優(yōu)越性理解更加深刻?！?/p>

三、實(shí)踐應(yīng)用

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。 雞和兔各有幾只？

現(xiàn)在，同學(xué)們能解決《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問(wèn)題了嗎？試著用假設(shè)法來(lái)完成吧。

生匯報(bào)：假設(shè)法：① 假設(shè)都是雞：35×2=70（只）

94-70=24（只）

24÷（4-2）=12（只）兔

35-12=23（只）雞

② 假設(shè)都是兔：35×4=140（只）

140-94=46（只）

46÷（4-2）=23（只）雞

35-23=12（只）兔

師：觀察兩道“雞兔同籠”問(wèn)題，當(dāng)我們假設(shè)是雞時(shí)，先求出的是誰(shuí)的只數(shù)？為什么呢？

生：假設(shè)是雞時(shí)，先求出的是兔子的只數(shù)，因?yàn)榍蟪鱿嗖畹哪_的只數(shù)的兔子比雞多出來(lái)的腳的只數(shù)，因此對(duì)應(yīng)求出來(lái)的是兔子的只數(shù)；假設(shè)是兔子時(shí)，先求出的是雞的只數(shù)，因?yàn)榍蟪鱿嗖畹哪_的只數(shù)是雞比兔子少的腳的只數(shù)，因此對(duì)應(yīng)求出來(lái)的是雞的只數(shù)。

師：看來(lái)我們可以運(yùn)用這個(gè)規(guī)律幫我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。那么其實(shí)像這樣的“雞兔同籠”問(wèn)題別的國(guó)家也研究，我們一起來(lái)看看：

生：日本 “龜鶴算”問(wèn)題，這里的龜相當(dāng)于“雞兔同籠”里的兔子，鶴相當(dāng)于“雞兔同籠”里的雞；俄羅斯“獵手與狗”問(wèn)題，狗相當(dāng)于“雞兔同籠”里的兔子，獵手相當(dāng)于“雞兔同籠”里的雞。

師：?jiǎn)栴}里的角色變了，那么解決的方法呢？

生：是一樣的。

【設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)行方法優(yōu)化后，學(xué)生基本上會(huì)選擇用假設(shè)法來(lái)解決問(wèn)題，再?gòu)膬纱蔚募僭O(shè)法中讓學(xué)生去觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并學(xué)會(huì)運(yùn)用規(guī)律。延伸到日本的“龜鶴算”問(wèn)題、俄羅斯“獵手與狗”問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，滲透模型思想。】

四、拓展練習(xí)(略)

五、課堂小結(jié)

時(shí)間過(guò)得可真快，不知不覺(jué)這節(jié)課就要結(jié)束了。那么通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，

1.你學(xué)到了什么？

2.你是用什么方法學(xué)到這些知識(shí)的呢？

3.你還有其他的收獲嗎？

拓展：我們今天用了畫(huà)圖法、列舉法、假設(shè)法來(lái)解決了“雞兔同籠”問(wèn)題，那么古人是用什么方法解決的呢？請(qǐng)同學(xué)們課后閱讀課本105頁(yè)的閱讀資料了解一下吧。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)圍繞三維目標(biāo)的提問(wèn)幫助學(xué)生梳理這節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容，并引出“抬腳法”讓學(xué)生課后學(xué)習(xí)，拓展學(xué)生的視野。】