雙軸各向異性介質(zhì)表面的Goos-H?nchen位移和Imbert-Fedorov位移

徐靖捷， 黃 輝， 崔玉涵

(北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044)

引 言

雙軸各向異性介質(zhì)中介電常數(shù)和磁導(dǎo)率均為對角張量且對角元互不相等(式(1)、式(2))，電磁波在其中傳播時沿各個方向性質(zhì)不同。學(xué)者們對于電磁波在雙軸各向異性介質(zhì)當(dāng)中的傳播進行了大量研究。文獻[1]中給出了平面波在雙軸各向異性介質(zhì)中傳播時所滿足的單葉雙曲面形式的色散方程。經(jīng)過我們的推導(dǎo)，雙軸各向異性介質(zhì)的色散方程為由介質(zhì)參數(shù)所決定的圓錐曲線形式，單葉雙曲面形式是其中一種。文獻[2]中討論了雙軸各向異性左手材料中平面波的傳播特性。左手材料屬于雙軸各向異性介質(zhì)范疇,具有的使波的傳播方向與其能量傳播方向相反的奇特性質(zhì)，屬于雙軸各向異性介質(zhì)的范疇?；谶@些研究成果的實際應(yīng)用也被提出[3]，如分波器、濾波器等等。

(1)

(2)

在這些研究的基礎(chǔ)之上，本文關(guān)注的重點是雙軸各向異性介質(zhì)表面發(fā)生全反射的條件，以及全反射條件下重要的物理現(xiàn)象——Goos-H?nchen(GH)位移和Imbert-Fedorov(IF)位移。

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電磁波在介質(zhì)分界面發(fā)生全反射時，反射點會在平行和垂直入射面方向上發(fā)生移動，分別稱作GH位移和IF位移[4-5]。

產(chǎn)生這兩種位移的原因?qū)嶋H上是倏逝波[6]，一種分界面上發(fā)生全反射時產(chǎn)生電磁波。其幅值隨著垂直分界面方向深度的增加而呈指數(shù)衰減。當(dāng)入射波在介質(zhì)表面發(fā)生全反射時，盡管透射波強度為零，但仍有一部分能量滲透到介質(zhì)表層(圖1中黃色區(qū)域)，沿著表面?zhèn)鞑ヒ欢尉嚯x后，再折回到入射介質(zhì)當(dāng)中，導(dǎo)致反射點的偏移，進而產(chǎn)生兩種位移。

圖1 Goos-H?nchen位移和Imbert-Fedorov位移示意圖Fig.1 Schematic of Goos-H?nchen shift and Imbert-Fedorov shift

1 理論分析

1.1 全反射條件

倏逝波幅值呈指數(shù)衰減是因為全反射時透射波波矢垂直分界面方向分量變?yōu)樘摂?shù)[7]。以兩種介質(zhì)同為各向同性介質(zhì)為例。

電磁波在介質(zhì)中傳播需滿足色散方程(3)，在分界面上需滿足相位匹配條件(4)[8]。

(3)

kiy=kry=kty

(4)

根據(jù)電磁波矢量滿足的式(3)、式(4)，得到圖(2)。

aε1μ1>ε2μ2

bε1μ1<ε2μ2

圖2 兩種各向同性介質(zhì)分界面上的k表面圖

Fig.2 The k surface on the interface between two isotropic mediums

圖3 各向同性介質(zhì)與雙軸各向異性介質(zhì)分界面上的k表面圖Fig.3 The k surface on the interface betweenisotropic media and biaxial anisotropic media

如圖2a所示，當(dāng)光由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)(ε1μ1>ε2μ2)。當(dāng)入射角θi逐漸增大至超過臨界角θc后，全反射發(fā)生，ktx變?yōu)樘摂?shù)，倏逝波生成進而產(chǎn)生兩種位移。而在圖2b中光由光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)(ε1μ1<ε2μ2)，無論入射角如何變化ktx都為實數(shù)，全反射不會發(fā)生。

1.2 雙軸各向異性介質(zhì)表面全反射條件

由麥克斯韋方程組，我們可以得到TE波和TM波在雙軸各向異性介質(zhì)當(dāng)中的色散方程[1]。

(5)

(6)

不同于各向同性介質(zhì)中色散方程滿足圓形，根據(jù)式(5)、式(6)，可以看出k表面在雙軸各向異性介質(zhì)當(dāng)中滿足由介質(zhì)參數(shù)決定的圓錐曲線[9]。如圖3。

(7)

雙軸各向異性介質(zhì)當(dāng)中有多種介質(zhì)參數(shù)的組合可以滿足這一要求。對式(7)中參數(shù)進行討論得到表1。

表1 TE波在雙軸各向異性介質(zhì)表面全反射條件

我們注意到一些獨特現(xiàn)象：在各向同性介質(zhì)中，我們認(rèn)為當(dāng)電磁波從光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)且入射角大于臨界角后會出現(xiàn)全反射。但在雙軸各向異性介質(zhì)表面我們發(fā)現(xiàn)全反射可在任意入射角情況下發(fā)生或在入射角小于臨界角的情況下發(fā)生。對這一條件我們使用COMSOL Multiphysics進行了仿真(μx=0.5,μy=-1,εz=0.5,εx=1,εy=0.9,μz=1,臨界角為30°)，發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象確實存在(圖4)。

入射角25°

入射角45°

圖4 雙軸各向異性介質(zhì)表面全反射在入射角小于臨界角情況下發(fā)生

Fig.4 Total reflection occurs whenθi<θcon the surface of biaxial anisotropic media

圖4中所選參數(shù)由表1計算可知臨界角為30°，分別選擇入射角為25°和45°入射。發(fā)現(xiàn)45°入射時發(fā)生折射，而入射角為25°小于臨界角時發(fā)生了全反射。

以上僅討論了TE波發(fā)生全反射的條件，由于TE波和TM波的色散方程在雙軸各向異性介質(zhì)當(dāng)中具有對稱性。將參數(shù)μx,μy,εz替換為εx,εy,μz即可得到TM波發(fā)生全反射的條件。

表2 TM波在雙軸各向異性介質(zhì)表面全反射條件

1.3 雙軸各向異性介質(zhì)表面的GH位移

我們使用穩(wěn)態(tài)相位法來計算TE波在雙軸各向異性介質(zhì)表面發(fā)生全反射時產(chǎn)生的GH位移。發(fā)生全反射時，入射波與反射波強度相同但相位發(fā)生改變。研究發(fā)現(xiàn)GH位移的大小與這一相位改變相關(guān)。

由色散方程、邊界條件和雙軸各向異性介質(zhì)介質(zhì)參數(shù)，我們可以得到TE波的反射系數(shù)R[10]，它反映了入射波與反射波幅值和相位間的關(guān)系式(8)。

(8)

使用穩(wěn)態(tài)相位法[11]，我們得到了TE波在雙軸各向異性介質(zhì)表面發(fā)生全反射時產(chǎn)生的GH位移表達式(9)。

(9)

其中:

(10)

θi為TE波的入射角度。

可以看出當(dāng)介質(zhì)參數(shù)和入射波角頻率確定后，GH位移的大小僅為入射角的函數(shù)。

圖5 倏逝波產(chǎn)生的IF位移Fig.5 IF displacement generated by the evanescent wave

1.4 雙軸各向異性介質(zhì)表面的IF位移

使用能流法計算IF位移的大小[11]。倏逝波中的能流由坡印廷矢量S表示，如圖5所示

根據(jù)能流法[12]，IF表達式如下。

(11)

其中:

Srx是反射波能流x軸分量，Stz是透射波能流z軸分量。

為計算電磁波在各向同性介質(zhì)和雙軸各向異性介質(zhì)分界面上產(chǎn)生的IF位移，選取入射波為圓極化波。它可以看作是TE波和TM波的疊加。使TE波和TM波同時發(fā)生全反射的條件，就是使圓極化波發(fā)生全反射的條件。

由圓極化波發(fā)生全反射時的電場強度和磁場強度，推導(dǎo)可以得到坡印廷矢量分量的表達式。

(12)

(13)

由式(11)可以得到IF位移的表達式。

(14)

其中:

γ為圓極化波的旋向，θi為圓極化波的入射角度。

可以看出當(dāng)介質(zhì)參數(shù)和入射波角頻率確定后，IF位移的大小僅為入射角的函數(shù)。

2 結(jié)果與討論

將可以發(fā)生全反射的介質(zhì)參數(shù)組合代入GH位移、IF位移的表達式，以期得到不同介質(zhì)參數(shù)條件下入射角與兩種位移大小之間的關(guān)系。

2.1 GH位移大小隨入射角變化規(guī)律

圖6 GH位移大小隨入射角變化規(guī)律Fig.6 The relationship between the GH displacement and the incident angle

以表(1)中μxμy>0∩εzμy>0這一情況為例。它可以使全反射在入射角超過臨界角的情況下發(fā)生，與各向同性介質(zhì)表面情況近似。發(fā)現(xiàn)μx>0,μy>0,εz>0和μx<0,μy<0,εz<0兩種介質(zhì)參數(shù)組合均滿足這一條件，分別代入式(9)中。

圖6展示了GH位移與入射角之間的關(guān)系，同時我們還改變了每種關(guān)系下的入射波角頻率。在這一條件下，位移的大小隨著入射角的增大而增大；入射波角頻率增大，位移同樣增大；位移與入射波波長屬同一數(shù)量級。這些情況都與各向同性介質(zhì)上的GH位移類似。

我們還注意到兩種介質(zhì)參數(shù)組合所產(chǎn)生的位移大小相等而方向相反。實際上，在包括空氣在內(nèi)的一般介質(zhì)當(dāng)中，電磁波的傳播方向與其能量傳播方向一致，稱作右手介質(zhì)。而在一些特殊的介質(zhì)參數(shù)下，電磁波傳播方向?qū)⑴c其能量傳播方向相反，此時稱介質(zhì)為左手介質(zhì)[12]。圖6中兩種參數(shù)恰好對應(yīng)了兩種不同的情況，也導(dǎo)致了產(chǎn)生的GH位移方向相反。圖7為示意圖。

圖7 左手介質(zhì)與右手介質(zhì)表面的GH位移Fig.7 GH displacements on the surface of left-handed medium and right-handed medium

當(dāng)電磁波在一般的介質(zhì)表面發(fā)生全發(fā)射時，反射點向遠離入射波方向移動。然而當(dāng)電磁波在左手介質(zhì)表面發(fā)生全反射時，由于能量傳播方向相反，反射點也將向相反方向移動,導(dǎo)致負(fù)的GH位移產(chǎn)生。

2.2 IF位移大小隨入射角變化規(guī)律

從表1、表2中可以看出，根據(jù)介質(zhì)參數(shù)符號的不同，各有四種情況可以使TE波和TM波發(fā)生全反射。因此，理論上共16種的介質(zhì)參數(shù)符號組合可以使圓極化波發(fā)生全反射。這里我們只選擇條件相同的四種情況詳細(xì)分析。

圖8展示了IF位移與入射角之間的關(guān)系，我們還改變了每種關(guān)系下的介質(zhì)參數(shù)，可以看出左旋極化波與右旋極化波產(chǎn)生的IF位移等大反向,與各向同性介質(zhì)表面相同。因為雙軸各向異性介質(zhì)表面全反射可在前文所述反常條件下發(fā)生，因此IF位移也會在這些條件下產(chǎn)生。相比各向同性介質(zhì)表面IF位移大小隨入射角增大而單調(diào)遞減，雙軸各向異性介質(zhì)表面IF位移大小隨入射角變化規(guī)律更為多樣。因此，實際上我們可以通過配置介質(zhì)參數(shù)來控制入射角與位移大小之間的關(guān)系滿足需求。

與各向同性介質(zhì)相比，雙軸各向異性介質(zhì)的介質(zhì)參數(shù)配置更為多樣而靈活，通過設(shè)定參數(shù)，我們可以使介質(zhì)實現(xiàn)全新的電磁特性。

μx=0.5,εz=0.5,εx=0.5,μz=0.5

μx=0.8,εz=-0.6,εx=0.8,μz=-0.6

μx=1.2,εz=1.4,εx=1.2,μz=1.4

μx=0.5,εz=0.5,εx=0.5,μz=0.5

圖8 IF位移大小隨入射角變化規(guī)律

Fig.8 The relationship between the IF displacement and the incident angle

3 結(jié) 論

本文結(jié)合色散關(guān)系和相位匹配條件推導(dǎo)了線極化波在各向同性介質(zhì)與雙軸各向異性介質(zhì)分界面上發(fā)生全反射的條件。分別使用穩(wěn)態(tài)相位法和能流法推導(dǎo)出了線極化波產(chǎn)生的Goos-H?nchen位移和圓極化波產(chǎn)生的Imbert-Fedorov位移的解析表達式。對表達式中體現(xiàn)的入射角度、介質(zhì)參數(shù)、入射波角頻率等因素進行分析。發(fā)現(xiàn)可以通過配置雙軸各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率對位移大小隨入射角的變化規(guī)律進行調(diào)控。文中推導(dǎo)所采用的思路同樣適用于其他材料表面發(fā)生全反射的條件和GH位移以及IF位移的求取。