如何在問題解決后進(jìn)行“問題創(chuàng)造”

☉重慶市忠縣中學(xué)校 成 波

數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理以及習(xí)題與應(yīng)用中都包含著無所不在的問題，所有的數(shù)學(xué)教學(xué)都可以看成是問題的解決，教學(xué)工作在某個(gè)問題解決之后又應(yīng)該繼續(xù)哪些行為呢？

一、“問題創(chuàng)造”的價(jià)值

（一）促進(jìn)學(xué)生深層理解

例1 筆者在“直線與平面垂直的判定定理”的教學(xué)之后引導(dǎo)學(xué)生圍繞該定理進(jìn)行了問題的再創(chuàng)造.

學(xué)生在筆者的適當(dāng)點(diǎn)撥與自己的嘗試下創(chuàng)造出了以下判斷題并交由同桌進(jìn)行了判斷練習(xí)：

（1）假如某一直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說明：將母題中的“兩條相交直線都垂直”這一條件減弱成“一條直線垂直”，不改變其他條件和結(jié)論.

（2）假如某一直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“相交”兩字除去，不改變其他條件和結(jié)論.

（3）假如某一直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“兩條相交直線”改變成“無數(shù)條直線”，而對(duì)其他條件和結(jié)論則不進(jìn)行任何改變.

（4）假如某一直線與平行于該平面的兩條異面直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（）

說明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“兩條相交直線”改成“兩條異面直線”，不改變其他條件和結(jié)論.

學(xué)生在自己創(chuàng)造問題并相互交換的解答中對(duì)該定理內(nèi)容自然而然產(chǎn)生了更加深刻的理解.

（二）促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)

例2 筆者在“直線與平面”這一內(nèi)容的復(fù)習(xí)教學(xué)中首先設(shè)置了以下填空題：

母題（填空題）：平行于同一條直線的兩條直線之間的位置關(guān)系應(yīng)該為______.

然后將學(xué)生分成四人小組并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比仿造的方法進(jìn)行填空題組的創(chuàng)造，請(qǐng)學(xué)生再將題組提供給其他小組進(jìn)行思考、討論與交流，學(xué)生創(chuàng)造的填空題組及答案如下：

（1）若某直線與某平面同時(shí)平行于一條直線，則兩者之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行/直線在平面內(nèi)）

說明：母題中的“兩條直線”這一條件改變成了“某直線與某平面”，沒有改變其他的條件和結(jié)論.

（2）若有兩個(gè)平面同時(shí)平行于一條直線，則兩者之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行/相交）

說明：母題中的“兩條直線”這一條件改變成了“兩個(gè)平面”，沒有改變其他的條件和結(jié)論.

（3）若有兩個(gè)平面同時(shí)平行于某一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行/相交/異面）

說明：將母題中的“同一條直線”這一條件改變成了“某一個(gè)平面”，而對(duì)其他條件與結(jié)論則不作改變.

（4）若一條直線與一個(gè)平面同時(shí)平行于同一個(gè)平面，則這條直線與這個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行/直線在平面內(nèi)）

說明：母題中的“同一條直線”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“同一個(gè)平面”“一條直線與一個(gè)平面”，沒有改變其他的條件和結(jié)論.

（5）若有兩個(gè)平面都平行于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行）

說明：將母題中的“同一條直線”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“同一個(gè)平面”以及“兩個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（6）若有兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行/相交/異面）

說明：將母題中的“平行”這一條件改變成了“垂直”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（7）若有一條直線與一個(gè)平面都垂直于同一條直線，則該直線與該平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行/直線在平面內(nèi)）

說明：將母題中的“平行”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“垂直”與“一條直線與一個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（8）若有兩個(gè)平面都垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行）

說明：將母題中的“平行”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“垂直”與“兩個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（9）若有兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線之間的位置關(guān)系應(yīng)為______.（平行）

說明：將母題中的“平行”“同一條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“垂直”與“同一個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

學(xué)生自己也不禁驚訝于這些定理、習(xí)題串聯(lián)上的再創(chuàng)造，在相互之間的交流與探討中也更加系統(tǒng)地構(gòu)建了所學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

（三）培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造能力的培養(yǎng)需要?jiǎng)?chuàng)新性思維的不斷發(fā)展這一核心作為有力的支撐，因此，教師應(yīng)著眼于學(xué)生創(chuàng)造性思維的激發(fā)與鍛煉進(jìn)行具體的教學(xué)，問題解決之后的再創(chuàng)造對(duì)于學(xué)生好奇心與探索欲的激發(fā)是極其有效的途徑，更為重要的是能夠使學(xué)生在不斷的思考與探索中充分發(fā)揮出其聰明才智并促成創(chuàng)造性思維最大限度的發(fā)展.

例3 筆者在“三角函數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)之后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以下題目進(jìn)行了證明.

母題：在△ABC中，求證：sinA+sinB+sinC=

然后將學(xué)生分成四人小組并引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造出更多的三角恒等式，引導(dǎo)學(xué)生相互之間進(jìn)行創(chuàng)造問題的探索.

學(xué)生在自己的努力與合作交流之下創(chuàng)造出了十多種的三角恒等式，部分創(chuàng)造思路如下：

（1）把已知條件“在△ABC中”這一條件削弱成“A+B+C=π”，則有如下命題：

命題1：若A+B+C=π，則sinA+sinB+sinC=

（2）有學(xué)生又分別應(yīng)用倍角公式將上述恒等式的左邊三項(xiàng)進(jìn)行變式且兩邊同時(shí)除以最后再應(yīng)用商數(shù)關(guān)系得出以下這一命題：

命題3：若A+B+C=π，則cosA-cosB+sinC=

學(xué)生在不斷的認(rèn)識(shí)與推理中前進(jìn)并獲得了很多意想不到的成功.

二、“問題創(chuàng)造”的教學(xué)之道

（1）在“問題創(chuàng)造”的起始階段進(jìn)行示范并告知學(xué)生方法，使學(xué)生能夠進(jìn)行初步的模仿.

（2）幫助學(xué)生明確創(chuàng)造的目的，使學(xué)生能夠圍繞一定的核心思想進(jìn)行嘗試.

（3）引導(dǎo)學(xué)生在解答題、選擇題、填空題等不同題型中進(jìn)行換位思考并嘗試新問題的創(chuàng)造.

（4）引導(dǎo)學(xué)生著眼于課本內(nèi)容與題目進(jìn)行新問題的創(chuàng)造并因此促進(jìn)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的多方面思考與深刻理解.

教師在學(xué)生進(jìn)行嘗試與創(chuàng)造時(shí)應(yīng)經(jīng)常巡視學(xué)生的活動(dòng)開展情況，對(duì)無從下手的學(xué)生進(jìn)行及時(shí)的啟發(fā)以及適當(dāng)?shù)奶崾静⒔o予肯定和鼓勵(lì)，使學(xué)生能夠保持一定的創(chuàng)造興趣并進(jìn)行相互交流、討論，使學(xué)生能夠在集思廣益、取長(zhǎng)補(bǔ)短的互幫互學(xué)中得到更多的體驗(yàn)與深刻理解.

三、“問題創(chuàng)造”的方法

（一）在削弱條件的基礎(chǔ)上創(chuàng)造

選擇原問題中的某一條件或多個(gè)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p弱或改變并獲得新問題是“問題創(chuàng)造”的一種常見方法，一般來說，這可以理解成解題者在解決原問題之后所作出的進(jìn)一步研究.

例4假設(shè)A，B分別為直角三角形的兩個(gè)銳角，求證：sin2A+sin2B=1.

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此題證明之后進(jìn)行進(jìn)一步的研究可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)原命題中的條件減弱成“A+B=”時(shí)，原命題中的結(jié)論仍舊成立.

（二）類比模仿中創(chuàng)造

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法對(duì)原問題中條件或結(jié)論中的某些概念進(jìn)行模仿改造也是常用的方法.比如，將平面幾何問題類比成立體幾何問題的過程中采取的就是這一方法與思想.

（三）著眼于結(jié)果進(jìn)行創(chuàng)造

著眼于原問題的結(jié)果進(jìn)行變形并因此得出新命題的方法在“問題創(chuàng)造”中也比較常見.

（四）在一般推廣中進(jìn)行創(chuàng)造

將原命題視作一般命題的特殊情況并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行新的更為一般的命題的創(chuàng)造.

（五）結(jié)果與條件互換中進(jìn)行創(chuàng)造

將原問題中的結(jié)果與某個(gè)條件進(jìn)行互換也是問題創(chuàng)造的一個(gè)重要方法.

回顧自己二十多年的教學(xué)生涯，按照以上做法進(jìn)行“問題創(chuàng)造”也確實(shí)取得了很好的教學(xué)效果，今將筆者的一點(diǎn)思考與體會(huì)結(jié)合教學(xué)實(shí)際撰寫成文，敬請(qǐng)同仁指正.