慧練：溝通算理和算法的橋梁
——“有余數(shù)的除法練習(xí)”教學(xué)實(shí)錄與評析

江蘇南京市南師附中仙林學(xué)校小學(xué)部（210023）

江蘇南京市棲霞區(qū)教師發(fā)展中心（210028） 張明紅

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版教材二年級下冊第一單元“有余數(shù)的除法”整理與練習(xí)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.進(jìn)一步理解有余數(shù)除法以及余數(shù)的含義，體會余數(shù)要比除數(shù)小的道理；能應(yīng)用有余數(shù)的除法解決相關(guān)的實(shí)際問題，能根據(jù)問題的實(shí)際背景合理確定問題結(jié)果。

2.在計算和解決問題的過程中，能有根據(jù)地思考并有條理地表達(dá)；能對商和余數(shù)的合理性做出正確判斷，具有初步的推理能力；感受有余數(shù)除法的應(yīng)用價值。

3.初步具有觀察比較、獨(dú)立思考等學(xué)習(xí)意識和習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)是具有規(guī)律的科學(xué)；體會解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)處理方法，培養(yǎng)根據(jù)實(shí)際情況靈活解決問題的科學(xué)態(tài)度。

【教學(xué)過程】

師：猜一猜，這三道題中的桃子下面的數(shù)是幾？在小組里說一說你是怎么想的。

生1：第（1）題中，桃子下面的數(shù)是 1，因?yàn)?7×6＝42，43－42＝1，所以余數(shù)是 1。

生2：第（2）題中，桃子下面的數(shù)是 34，我先算 5×6＝30,再算 30＋4＝34，被除數(shù)是 34。

生3：13－3＝10,5×2＝10，13÷5=2……3，所以第（3）題中，桃子下面的數(shù)分別是5和2。

生4：我也覺得第（3）題桃子下面的數(shù)是5和2，但我的算式跟生3的不同，我的算式是13÷2＝5……3。

生5：生4的算式不對，除數(shù)是2，余數(shù)怎么可能是3！

生6：對，余數(shù)要比除數(shù)??！

師：看來大家都認(rèn)可“余數(shù)要比除數(shù)小”，誰能解釋其中的道理呢？

生7：老師說過，在有余數(shù)的除法里，余數(shù)一定要比除數(shù)小。

生8：我們分過鉛筆和小棒，分到最后，剩下來的一定是少的。因此余數(shù)是3，除數(shù)肯定不能是2。

師：為了能說得更清楚，請大家拿出13根小棒，先看著算式擺一擺，再說一說為什么余數(shù)是3，除數(shù)就不能是2。

生9：我擺的是 13÷5＝2……3，把 13 根小棒，平均分成5份，每份2根，還剩下3根。

生10：我擺的是 13÷2＝5……3，把 13 根小棒，平均分成2份，每份5根，還剩下3根。這剩下的3根還可以繼續(xù)分的，所以如果把13根小棒平均分成2份的話，每份是6根，只能剩下1根。

師：余數(shù)如果比除數(shù)大還能接著分，那么余數(shù)與除數(shù)相等呢？

生11：也不行，也能再分，分完沒有余數(shù)。

……

【評析：低年級學(xué)生以形象思維為主，觀察事物不夠精確。因此，教師在深入研讀教材，充分了解學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，應(yīng)精心設(shè)計有趣且有效的課堂練習(xí)。以猜數(shù)入手，利用題組練習(xí)實(shí)現(xiàn)了由淺入深、由易到難、由簡到繁、循序漸進(jìn)的訓(xùn)練目的。對于第（3）題，在兩個桃子的下面是數(shù)字幾這一問題上，學(xué)生產(chǎn)生了不同意見，但是他們在操作、討論、交流，甚至“爭吵”的過程中不僅厘清了有余數(shù)除法算式中各部分之間的關(guān)系，更對“余數(shù)要比除數(shù)小”的本質(zhì)規(guī)律有了深入的理解，學(xué)生思維的深刻性得到了培養(yǎng)?！?/p>

師（出示四道豎式，如圖1）：“粗心大王”小明做了4道題，卻錯了2題。請與同桌合作，先找出小明做錯的題目，再給小明提點(diǎn)建議。

圖1

（學(xué)生完成后匯報，教師補(bǔ)充有關(guān)計算有余數(shù)的除法的注意事項(xiàng)）

師（指著糾正之后的第3道豎式，如圖2-1）：如果給這道算式加上單位名稱，它就能幫助我們解決生活中的實(shí)際問題了。（課件出示橫式和文字表述的題目：猴媽媽摘了15個桃，平均分給2只小猴，每只小猴能分幾個？還剩幾個？）請在圖2-2的圈里畫圖表示分桃的結(jié)果，再想一想豎式中的14是指圈里的哪些桃？

圖2-1

圖2-2

生1：14指的“每只小猴分7個桃，2只小猴一共分走了14個桃”。

……

【評析：算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉概括，它們是相輔相成的。找做錯的題目，是讓學(xué)生在運(yùn)用所學(xué)的有余數(shù)除法的知識分析錯因，通過觀察、比較、判斷將其改正的過程中，將有余數(shù)除法計算的算理和算法一一呈現(xiàn)出來。在解決實(shí)際問題的環(huán)節(jié)里，學(xué)生結(jié)合具體情境解說豎式中各數(shù)表示的含義，再次理解了除法豎式計算的算理。兩道題目前后呼應(yīng)、環(huán)環(huán)相扣，讓算理與算法完美結(jié)合在一起。教師在了解學(xué)生思維水平的基礎(chǔ)上，不但喚起了學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，還讓學(xué)生知道怎樣算，更知道為什么這樣算。】

師：生活中還有很多問題需要應(yīng)用有余數(shù)的除法的知識來解決。請看題目：

同學(xué)們?nèi)澊織l船最多坐6人。三（1）班有22人，至少需要租（ ）條船；三（2）班有26人，至少需要租（ ）條船；兩個班共同租船，至少需要租（ ）條船。

生1：22÷6＝3（條）……4（人），3+1=4 條，三（1）班需要租4條船。

生2：26÷6＝4（條）……2（人），4+1=5 條，三（2）班需要租5條船。

生3：我想提醒大家，租船的時候遇到有余數(shù)時，要多加1條船。

生4：是的，余下的同學(xué)也要坐船，所以要再加一條船。

生5：兩個班共同租船，需要租9條船。

生6：不對，8條船就夠了。兩個班共48人，6人一條船，8條船就夠了。

生7：8條和9條都可以！

生8：9條不可以，題目問的是至少幾條船。

師：“至少”是什么意思？沒有這兩個字會怎樣？

生9：“至少”就是每個同學(xué)都能坐上船，也不能有太多空位，不能浪費(fèi)！

生10：如果沒有“至少”的要求，9 條、10 條、20 條船都可以了。

師：有道理，現(xiàn)在再想想，你們覺得至少要租幾條船？

生（齊）：8條！

【評析：數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決生活中的實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。租船問題是有余數(shù)除法訓(xùn)練中的常規(guī)問題，如果只是讓學(xué)生按部就班地做題，他們往往提不起興趣。為了讓練習(xí)有新意，在完成兩題常規(guī)練習(xí)后，教師借助兩個班合租船的問題，引發(fā)學(xué)生的爭議，既提升了問題的思維難度，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這樣，學(xué)生既鞏固了計算方法，又在運(yùn)用知識解決問題的過程中培養(yǎng)了分析、理解能力?！?/p>

【總評】

練習(xí)課在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有較大比重，它是新授課的補(bǔ)充和延續(xù)，也是鞏固與強(qiáng)化所學(xué)知識的重要手段。學(xué)生能力的提高和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)都離不開練習(xí)。要讓練習(xí)課精彩、高效，就得改變傳統(tǒng)練習(xí)課的教學(xué)模式。教師在深入研讀教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，應(yīng)精心設(shè)計、創(chuàng)編練習(xí)題，讓學(xué)生在有趣味、有意義、有挑戰(zhàn)的練習(xí)過程中，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，逐步加深對數(shù)學(xué)知識的理解，以促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，讓練習(xí)課更加精彩。

一、關(guān)注特點(diǎn)，有趣味性

“興趣是最好的老師”，對于低年級學(xué)生來說，最重要的是讓他們感到不但新授課有趣，練習(xí)課也很有趣。練習(xí)題型和練習(xí)方式的多樣化，可以使學(xué)生學(xué)得主動、學(xué)得扎實(shí)、學(xué)得靈活。依據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平，本課教學(xué)創(chuàng)編了一系列充滿童趣的習(xí)題，如“桃子藏數(shù)”“幫猴媽媽解決問題”“幫‘粗心大王’小明查錯糾錯”“幫同學(xué)解決租船問題”等活動。這樣既能減輕學(xué)生練習(xí)時的心理負(fù)擔(dān)，又能提高練習(xí)的效率。整個練習(xí)過程中，沒有生搬硬套，有的只是根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)和已有經(jīng)驗(yàn)而精心設(shè)計的練習(xí)，這些練習(xí)有趣高效、層次分明，學(xué)生喜聞樂見，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”這一基本理念。

二、緊扣本質(zhì)，有針對性

練習(xí)課的設(shè)計應(yīng)從教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，針對各部分知識結(jié)構(gòu)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，創(chuàng)編符合學(xué)生思維特點(diǎn)和認(rèn)知發(fā)展的客觀規(guī)律的練習(xí)題。掌握有余數(shù)的除法以及余數(shù)的概念，體會余數(shù)要比除數(shù)小的道理，是“有余數(shù)的除法”的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)。教師針對本課的教學(xué)重難點(diǎn)創(chuàng)設(shè)不同的問題情境，練習(xí)題的設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，由易到難?！疤易硬財?shù)”練習(xí)的目的有二：一是讓學(xué)生掌握有余數(shù)除法算式中各部分之間的關(guān)系；二是加深學(xué)生對有余數(shù)的除法中“余數(shù)要比除數(shù)小”這一知識點(diǎn)的認(rèn)識。經(jīng)歷了分小棒出現(xiàn)余數(shù)，學(xué)生就進(jìn)一步理解了“余數(shù)要比除數(shù)小”的本質(zhì)規(guī)律；幫粗心的小明找錯、糾錯，學(xué)生就掌握了有余數(shù)除法計算的算理與算法；幫猴媽媽分桃——學(xué)生在情境、豎式和圖示的引領(lǐng)下，接觸到問題的本質(zhì)。這一系列的練習(xí)有效地實(shí)現(xiàn)了將有余數(shù)除法計算的算理和算法自然融合，讓學(xué)生真正做到“知其然，更知其所以然”的目標(biāo)。

三、聯(lián)系生活，有實(shí)用性

荷蘭數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程?！?/p>

教學(xué)實(shí)踐告訴我們，練習(xí)課里如果只是不停地做題，學(xué)生會感到枯燥乏味，學(xué)習(xí)也只會盲目而低效。練習(xí)題的創(chuàng)編，要從學(xué)生的實(shí)際生活中挖掘素材，練習(xí)設(shè)計要具有開放性，要能直接反映學(xué)生的日常生活。租船問題是有余數(shù)除法訓(xùn)練中的常規(guī)問題，教師在兩題常規(guī)練習(xí)后增加了兩個班合租船的問題，學(xué)生在完成基礎(chǔ)練習(xí)后，發(fā)現(xiàn)解決合租問題時不僅要考慮余數(shù)，還要考慮生活中的實(shí)際情況。這樣的綜合訓(xùn)練，不但拓展了學(xué)生對有余數(shù)除法的認(rèn)知，還激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時，學(xué)生從中還學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去分析、解決問題，并深刻體會了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及生活的緊密聯(lián)系。

總之，練習(xí)題型的創(chuàng)編要關(guān)注學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，采用多種手段激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容用不同方式和板塊呈現(xiàn)練習(xí)形式的多元化，豐富課程資源，開拓學(xué)生眼界，使其逐步形成并具有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中實(shí)際問題的能力。練習(xí)題型的創(chuàng)編應(yīng)力求突破傳統(tǒng)教學(xué)思維，把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時空由課堂引向整個世界，堅持以學(xué)生為中心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和思辨能力。

張明紅.至理數(shù)學(xué):一種直抵?jǐn)?shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)主張［J］.中小學(xué)教師培訓(xùn),2017（7）.