幾何入門教學(xué)的三個(gè)重視與一個(gè)“淡化”
——以七年級“角（第1課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇南菁高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 馮鋒華

幾何入門階段的教學(xué)十分關(guān)鍵，角的教學(xué)也是教學(xué)研討的熱點(diǎn)課題.最近筆者有機(jī)會開設(shè)角的第1課時(shí)教學(xué)研討課，對角的教學(xué)認(rèn)識有了很多新的理解.本文結(jié)合該課的一些教學(xué)片段，闡釋一些思考，供研討.

一、幾何入門教學(xué)要重視概念的生長與發(fā)展

我們知道初中階段研究平面幾何是依“點(diǎn)、線、面、體”的順序漸次展開，起始階段的概念能否引導(dǎo)學(xué)生想清辨明熟記于心，對后續(xù)幾何概念的學(xué)習(xí)十分關(guān)鍵.具體來說，直線、射線、線段是一組關(guān)聯(lián)概念，這組概念需要追求它們的深刻理解，因?yàn)樗鼈冴P(guān)乎后續(xù)學(xué)習(xí)和定義角、角平分線、三角形、垂線、四邊形等圖形的概念.以下以角的第1課時(shí)的兩個(gè)教學(xué)片段來說明，可以怎樣由已有概念生長、發(fā)展出新的幾何概念.

教學(xué)片段1：引入角的概念.

（黑板上畫出一條直線）

師：這是一個(gè)什么圖形？

生：一條直線.

師：在直線上取一點(diǎn)得到什么圖形呢？

生：得到兩條射線.

師：再取一點(diǎn)呢？

生：得到線段.

師：同學(xué)們回答得很好，我們學(xué)習(xí)了線段的哪些內(nèi)容？

……

師：同學(xué)們回顧得很棒，我再畫一個(gè)圖形，這是？

生：這是一個(gè)角.

師：角的兩邊是什么線？

生：射線！

師：它們有公共端點(diǎn)嗎？

生：有！

師：我們就定義“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角”（板書定義）.

教學(xué)片段2：研究角的表示法.

師：首先要介紹角的符號吧.（邀請學(xué)生上臺書寫）

（一個(gè)學(xué)生上講臺寫角的符號）

師：數(shù)學(xué)非常有意思，它常常在表示上用一個(gè)小的圖形來表示，這個(gè)圖形就像一個(gè)角.這個(gè)圖形怎么表示？（指黑板上之前畫好的角，請學(xué)生上講臺書寫表示角的圖形）

學(xué)生：∠AOB，頂點(diǎn)在中間.

師：非常好！頂點(diǎn)在中間.

師：她說可以寫成∠AOB，也可以寫成∠BOA.她寫得很好，這個(gè)作為頂點(diǎn)的O，一定要寫在中間.還有什么寫法？（邀請學(xué)生上講臺書寫）

師：∠O，只用一個(gè)表示頂點(diǎn)的大寫字母來表示！（板書）

生：∠1，還可以用數(shù)字表示.

師：哦，還可以用數(shù)字.行不行？用數(shù)字表示時(shí)可要注意了，在這個(gè)角的頂點(diǎn)處，靠近頂點(diǎn)畫一個(gè)弧線，在弧線的外面用數(shù)字1就注1，用數(shù)字2就注什么？

生（齊）：2.

師：嗯，很好.另一種用的可不是數(shù)字，是希臘字母.嗯，我如果在頂點(diǎn)處要用α表示，就先畫一個(gè)弧線，在這里標(biāo)注（板書），那就寫角α，我說這個(gè)角在什么范圍內(nèi)，可以用角的符號，角α，也可以就直接寫α.好了，沒有什么補(bǔ)充嗎？嗯，用三個(gè)大寫字母表示，表示角的頂點(diǎn)的字母寫中間，用表示頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母表示，用一個(gè)數(shù)字或一個(gè)希臘字母表示，有補(bǔ)充嗎？

生：我們可以把數(shù)字或希臘字母換成一個(gè)小寫字母.

案例解讀：在新概念的引入時(shí)，要不惜時(shí)、不惜力，通過對話、板書，從正例出發(fā)，兼顧學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)，在對話中加深對正例的理解，并辨析常見錯(cuò)誤的表述.

二、幾何入門教學(xué)要重視研究套路的滲透

“數(shù)”的學(xué)習(xí)主要是先定義一類“數(shù)”系，再研究它的相關(guān)概念，接下來重點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算和簡化運(yùn)算.幾何學(xué)習(xí)也有一定的套路，具體來說，就是先研究一個(gè)圖形的形狀，接著研究它的相關(guān)元素或概念，然后重點(diǎn)學(xué)習(xí)這個(gè)圖形的性質(zhì)與判定，即它有什么特殊之處，如何識別和判定這種圖形，最后才是這類圖形的相關(guān)應(yīng)用.以下是角的教學(xué)片段中體現(xiàn)研究套路滲透的相關(guān)對話.

教學(xué)片段3：如何研究角.

師：想一下，對于線段我們研究了哪些內(nèi)容？

生：我們研究了直線，直線上的兩點(diǎn)和它們之間的部分叫作線段，這是線段的定義.

生：研究了線段的表示法.

生：作一條線段等于已知線段，這是線段的畫法.

生：線段的中點(diǎn).

生：我們還研究了線段可以進(jìn)行長短比較.

生：還有度量線段的單位，如厘米、毫米、米.

師：很好，同學(xué)們再回憶下小學(xué)里我們學(xué)習(xí)了角的哪些知識？

生1：角的分類.（銳角、直角、鈍角、平角、周角）

生2：怎么去度量角的大小.（量角器的度量方法）

生3：角的表示.（∠1、∠2）

生4：數(shù)角的個(gè)數(shù).

……

教學(xué)片段4：研究角的大小.

（黑板上給出兩個(gè)角）

師：你能比較兩個(gè)角的大小嗎？

生：用量角器量出每個(gè)角的度數(shù)，然后比較大小.

師：這個(gè)方法不錯(cuò)，還有沒有其他方法呢？

生：疊合法，就是把這兩個(gè)角重疊在一起比較.

師：說說你是怎么想到這個(gè)方法的.

生：我們前面學(xué)過線段的比較，可以類比線段的比較.

師：非常棒，小組成員互相展示剛剛說的兩種比較角的大小的方法.

（學(xué)生上臺展示）

引導(dǎo)學(xué)生歸納得出疊合法的三要求：

①頂點(diǎn)重合；②一邊重合；③同旁.

案例解讀：通過類比線段的研究方法，遷移到角的學(xué)習(xí)上，既是對之前所學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，也是對研究一個(gè)圖形的基本套路的滲透.

三、幾何入門教學(xué)要重視圖形語言規(guī)范訓(xùn)練

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，到了初二、初三，不少幾何適應(yīng)性偏弱的學(xué)生常常是對一些簡單的幾何概念都沒有辨清，也不會最基本的圖形語言的表達(dá)，至于幾何語句的書寫更是糟糕.可見，在幾何起始階段的教學(xué)中加強(qiáng)圖形語言的規(guī)范訓(xùn)練至關(guān)重要.

教學(xué)片段5：定義角平分線.

師：從∠AOB的頂點(diǎn)出發(fā)，在∠AOB的內(nèi)部畫射線可以畫多少條？

生：無數(shù)條.

師：有沒有特殊的一條射線呢？

生：有，有一條射線可以把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角.

師：很好，這位同學(xué)觀察很仔細(xì)，那么你能不能給這條射線起一個(gè)名稱呢？

生：這條線是這個(gè)角的角平分線.

師：請你歸納概括出角平分線的定義，也就是什么樣的射線是角平分線.

生：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角叫作角平分線.

師：是什么樣的射線？有沒有誰要補(bǔ)充？

生：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫作角平分線.

師：總結(jié)得很到位，我們寫成符號語言怎么表示？

（生說師板書，略）

師：我們說定義既是這個(gè)圖形的性質(zhì)也是這個(gè)圖形的判定.（板書角平分線性質(zhì)與判定的不同幾何語言，并要求學(xué)生整理到課堂筆記中）

師：我們?nèi)绻肋@是一個(gè)角平分線，那么你能得到什么樣的結(jié)論呢？

生：這條射線平分的兩個(gè)角相等.

師：對的，這就是角平分線的性質(zhì).（指著黑板上，板書符號語言）

案例解讀：學(xué)生在初學(xué)幾何時(shí)，對一些幾何定義需要達(dá)到多個(gè)角度的學(xué)習(xí)與理解，比如，對于角平分線的定義，不僅要知道角平分線是一條射線，能把角平分為兩個(gè)相等的角，而且要能對照圖形寫出符號語言，并靈活選擇不同的符號語言呈現(xiàn)順序（比如，角平分線性質(zhì)與判定的“正、逆”書寫）.

四、幾何入門的教學(xué)要淡化繁難習(xí)題的訓(xùn)練

當(dāng)前幾何的一大怪象是教材常常被“置于一邊”甚至新授期間都不用教材，而以所謂的“習(xí)題單式”的導(dǎo)學(xué)案取代教材，并且在講新課的同時(shí)配套了“一本一輔一練”，學(xué)生學(xué)新課之后就被布置了大量的課時(shí)同步訓(xùn)練題，而這些試題為了追求所謂的新穎、變式與拓展，有些明顯偏離了新授階段的難度要求，使絕大多數(shù)學(xué)生不適應(yīng)這些練習(xí)，誤以為幾何難學(xué)、難算，影響了一些學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的興趣，這也是值得我們警惕和改進(jìn)的一個(gè)方向.在這方面一個(gè)有益的啟示是，多研究教材上的例題、習(xí)題的呈現(xiàn)形式與難度要求，起始階段一定不能人為拔高、拓展不必要的難度，而應(yīng)該用典型問題把學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣與信心培養(yǎng)起來，這樣才能為后續(xù)學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ).

1.黃華.類比舊知探新知，實(shí)踐“單元教學(xué)”——以“一元一次不等式”起始課教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

4.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.W