洞悉學(xué)生困惑 合理布施教學(xué)*
——對“完全平方公式”一課的分析與思考

☉山東省淄博市周村區(qū)王村中學(xué) 鄭學(xué)濤

預(yù)設(shè)教學(xué)活動離不開對所授數(shù)學(xué)知識特點(diǎn)的熟悉、學(xué)生學(xué)情的掌握和學(xué)生學(xué)習(xí)過程中潛在困惑的預(yù)判三方面，要使學(xué)生積極、主動、富有個性地學(xué)習(xí)，教師要將以上三方面統(tǒng)籌考慮，從而設(shè)置整體的、系統(tǒng)的、由淺及深的情境.近日，筆者應(yīng)邀參加本區(qū)“青藍(lán)結(jié)對”工程階段性成果的驗收——新教師展示匯報課的評價工作，在聽課和學(xué)習(xí)的過程中，對新教師所授“完全平方公式”一課時的教學(xué)預(yù)設(shè)與實際操作產(chǎn)生一些想法，并由此引發(fā)了筆者對教師如何洞悉學(xué)生的困惑并合理布施教學(xué)進(jìn)行深入思考.現(xiàn)將自己的思考撰寫成文，與讀者交流.

一、環(huán)節(jié)展示及評析

展示匯報的8名新教師中，有6人是按照魯教版教材的編排順序講授新課，即先讓學(xué)生觀察圖形，然后通過不同方法表示圖形面積，第一次得出完全平方公式，最后是強(qiáng)化變式訓(xùn)練，時長約25分鐘.這些變式訓(xùn)練都體現(xiàn)出一定的螺旋上升性，如第一組為利用公式直接進(jìn)行計算：（1）（2a+b）2，（2）（4x-5y）2，b）2；第二組為利用完全平方公式進(jìn)行簡便計算：（1）982，（2）1022；第三組為課后練習(xí)帶“*”的習(xí)題：（1）（a+b+c）2，（2）（a-b+c）2.還有2名新教師為學(xué)有余力的學(xué)生準(zhǔn)備了一道思考題：已知的值.

從課堂呈現(xiàn)的內(nèi)容來看，新教師為本次證明自己能力的課“預(yù)設(shè)”豐富、準(zhǔn)備充分，已經(jīng)將學(xué)生日后可能遇到的所有類型的題目全部涉獵，但從實際效果來看，前松后緊的課堂致使學(xué)生的體驗并非如新教師預(yù)設(shè)的那樣精彩.據(jù)筆者觀察，一開始部分學(xué)生對于從面積相等中得出的完全平方公式有強(qiáng)烈的陌生感，而進(jìn)入解題訓(xùn)練之后，又有一部分學(xué)生困惑于字母系數(shù)到底應(yīng)不應(yīng)該平方、中間項的符號是加還是減等細(xì)節(jié)問題.課后筆者隨機(jī)對一些學(xué)生進(jìn)行了口頭調(diào)查，學(xué)生大都提出一些同樣的問題，這些問題經(jīng)筆者整理如下：第一，課堂開始為什么要用計算圖形面積的方式探究完全平方公式？第二，探究所得公式中的字母是a和b，為什么在計算時字母換成了x、y或者其他，是否還能夠適用？第三，為什么要提出完全平方公式？它與整式乘法的關(guān)系是什么？第四，什么樣的問題適合利用完全平方公式解決？這些問題成為筆者日后深度反思本節(jié)課的出發(fā)點(diǎn)，教師像保姆一樣為學(xué)生準(zhǔn)備的無一遺漏的題型盛宴在學(xué)生那里不受歡迎，這種教師將“生飯”給學(xué)生“吃”的課堂仍然帶有濃重的“填鴨式”味道.

二、問題分析

解題困惑是指在解決問題的過程中遇到的阻礙，由于問題尚未解決之前，學(xué)生缺乏相關(guān)的經(jīng)驗，對知識、技能尚未牢固掌握，那么學(xué)生難以用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述出內(nèi)心的委屈也就情有可原了，此時教師就要通過學(xué)生的面部表情及書寫的蛛絲馬跡及時洞悉學(xué)生的困惑，幫助學(xué)生提出問題、分析問題并最終解決問題.經(jīng)過一段時間的思考，筆者總結(jié)出與學(xué)生四點(diǎn)困惑相對應(yīng)的四個教學(xué)方面的問題，如果教師的教學(xué)預(yù)設(shè)能夠解決好這四個問題，就能徹底解決學(xué)生的困惑.

1.是否應(yīng)該借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)公式

所謂“幾何直觀”，就是在研究過程中，能夠根據(jù)看到的或想到的幾何圖形產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的一種直觀感受.新授課中，教師首先讓學(xué)生觀察圖形，然后設(shè)計后續(xù)問題引領(lǐng)學(xué)生用兩種方式表示圖形的面積，最后由學(xué)生得出完全平方公式，這樣的設(shè)計本身沒有問題，但是出現(xiàn)的位置非最佳，這個環(huán)節(jié)與接下來的利用公式直接進(jìn)行計算也并非最佳結(jié)合點(diǎn)，才會導(dǎo)致學(xué)生困惑于計算面積與公式本身及公式的得出與之前的整式乘法有什么關(guān)系兩個問題.美國數(shù)學(xué)家阿蒂亞說：“在幾何中視覺思維占主導(dǎo)地位，在代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)地位.”本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是完全平方公式，是代數(shù)內(nèi)容，因此教師設(shè)計教學(xué)活動時應(yīng)該以有序思維為主線，首先，讓學(xué)生感受公式的存在（設(shè)計好知識的生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)），然后證明其正確性.而課堂中利用兩種方式表示面積是依托幾何直觀，而非本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，它只是為學(xué)生創(chuàng)造一個主動驗證公式正確性的情境和策略，幫助學(xué)生理解和接受抽象的公式，的確非發(fā)現(xiàn)公式存在、解釋代數(shù)關(guān)系的最佳替代物，新教師的作法容易將學(xué)生的注意力聚焦在幾何直觀上，增加了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷和心理投入，喧賓奪主，不宜于本節(jié)課主題的展開，為此，最好的開始還是讓學(xué)生按照已學(xué)習(xí)的整式的乘法公式計算（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2、（x-y）2四個式子的結(jié)果，然后觀察結(jié)果的共性，最后從書寫形式上得出兩個公式.而幾何直觀則用作對公式的演繹推理，因此利用面積驗證公式作為課堂的第二個環(huán)節(jié)為宜.

2.字母表示數(shù)之后還能表示什么

知識教學(xué)具有三個不可分割的組成部分，第一是符號表征，是指人類關(guān)于世界認(rèn)識所達(dá)到的程度或者狀態(tài)，即“關(guān)于世界的知識”；第二是邏輯形式，是人類認(rèn)識世界的方式，具體包括知識構(gòu)成的邏輯過程和邏輯思維方式；第三是意義，指知識內(nèi)促進(jìn)人的思想、精神和能力發(fā)展的力量.在“完全平方公式”這一課時的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)公式并直接進(jìn)行計算是完成了知識教學(xué)的符號表征部分，根據(jù)算理靈活處理才上升到邏輯過程和邏輯思維的部分，即對于完全平方公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生不只局限于擁有字母表示數(shù)的思維，字母表示數(shù)只是代表了一般計算程度，更重要的是公式的邏輯形式和意義.而想要學(xué)生具備對于公式的深層邏輯形式和意義的理解，還要教會學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度看公式的廣泛應(yīng)用，為此，教師要用一貫的數(shù)學(xué)眼光引導(dǎo)學(xué)生理解公式的內(nèi)涵，類比an中的a可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式ab（積的乘方），更可以表示多項式a+b、a+b+c，而（a-b）2可以看作［a+（-b）］2，這樣有效地避免了利用公式時因字母符號變化而帶來的計算困惑，間接培養(yǎng)了學(xué)生的符號意識.也終將把公式的廣義使用價值傳遞給學(xué)生——（△+○）2=△2+2△×○+○2，其中△+○有多種形式，不僅僅是單個的數(shù)、字母，還可以是多項式，也就不會導(dǎo)致學(xué)生解題時困惑于中間項的符號及變換字母的問題了.而且教材在這一課時的最后提供了楊輝三角的閱讀內(nèi)容，教師在學(xué)生得出字母還可以表示字母串的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生自行閱讀，供有興趣的學(xué)生繼續(xù)探究，用數(shù)學(xué)文化陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情懷，也能避免純粹的變式訓(xùn)練對學(xué)生情感的消極影響，一舉多得.

3.完全平方公式的價值是什么

價值是教育與教學(xué)的追求，是表示客體的屬性和功能與主體需要間的一種效用、效益或效應(yīng)關(guān)系的范疇，為此，要讓學(xué)生明白完全平方公式存在的價值，才能使學(xué)生合情合理地利用公式，進(jìn)行快速計算，完全平方公式的價值就是使計算簡便.在日常教學(xué)中，經(jīng)常看到該使用完全平方公式時學(xué)生沒有使用，更加糟糕的是，這些學(xué)生亦不能按照多項式乘多項式的法則進(jìn)行計算，究其原因，學(xué)生學(xué)習(xí)的知識都是片段性的存在，缺少連貫性，缺少以價值為紐帶的數(shù)學(xué)眼光，才導(dǎo)致學(xué)生如同黑熊掰玉米，掰一個丟一個.如在幾位新教師的課中，均未提及整式的乘法與完全平方公式的關(guān)系.如果新教師在利用公式進(jìn)行計算的環(huán)節(jié)就把班內(nèi)的學(xué)生分成兩批，一批利用完全平方公式計算，另外一批利用乘法公式進(jìn)行計算，并記錄兩批學(xué)生計算所用時間，然后讓學(xué)生對比利用完全平方公式和利用乘法公式哪個更省力更省時，那么完全平方公式的價值就凸顯出來了，公式與之前學(xué)習(xí)的多項式乘多項式也能統(tǒng)一起來，這樣即使學(xué)生忘記了完全平方公式，但只要知道公式是一種簡便運(yùn)算方法，那么也會選擇多項式乘多項式的法則進(jìn)行計算.而在變式訓(xùn)練環(huán)節(jié)，一定要加上一個諸如（2x+y）·（x+2y）的題目，等待學(xué)生犯錯誤，或者讓學(xué)生辨析能不能用完全平方公式進(jìn)行計算，如果不能計算,應(yīng)該回到多項式乘多項式的法則上思考問題的解決，效果更好.

4.怎樣教會學(xué)生使用完全平方公式

數(shù)學(xué)思想是知識和方法在更高層次上的抽象與概括而成的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)思想的具體化、程序化，具有更多的操作屬性.完全平方公式本身就是這樣一種數(shù)學(xué)方法，其背后的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)是整體思想和模型思想，將這種數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)換成具體的數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)建模.因此教師在教授完全平方公式時，要立足于建模思想，才能夠有效地解決學(xué)生使用公式不順利的困惑，從而在必須使用完全平方公式時快速、精準(zhǔn)地套用.結(jié)合筆者在過往的課堂中觀察到的情形，對于利用完全平方公式的題目學(xué)生尚且感到吃力，教師講解之后發(fā)現(xiàn)效果也不大，學(xué)困生人數(shù)并未明顯減少，錯誤依舊出現(xiàn)，這其中除了學(xué)生對公式的系統(tǒng)性應(yīng)用需要一定實踐，教師的引導(dǎo)策略和立足點(diǎn)顯得尤為重要，如對于利用完全平方公式計算（a+b+c）2一題，教師首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題目與原有公式的不同之處，然后引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣變形才能讓題目變得和公式中的形式一樣（將其中兩個字母看作一個整體用小括號括起來），最后讓學(xué)生獨(dú)立嘗試解決，對于982的計算亦如此，能“合”亦能“分”才是解決問題的關(guān)鍵，也是建模的精華所在，這樣的方法引領(lǐng)和思想滲透才能真正讓學(xué)生從題海中走出來，從而學(xué)會處理一般問題的基本思路，教師不必處心積慮地為學(xué)生準(zhǔn)備各式各樣的習(xí)題，學(xué)生也能輕而易舉地駕馭完全平方公式，授之以魚不如授之以漁即是這個道理.

三、對合理布施教學(xué)的三點(diǎn)思考

1.在教學(xué)中如何理解教師和學(xué)生的地位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，課堂要以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，這是基于以人為本的教育理念和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，但其實教師的教與學(xué)生的學(xué)是矛盾的統(tǒng)一體，矛盾之處體現(xiàn)在教師講得越多，要求越多越細(xì)致，對于學(xué)生的自然行為會構(gòu)成越多的干預(yù)，學(xué)生的思想就越加束縛于教師理解數(shù)學(xué)知識的方式上，這不利于學(xué)生按照自己的方式構(gòu)建知識；統(tǒng)一之處體現(xiàn)在教師的教如同在做減法，而學(xué)生的學(xué)如同在做加法，課中教師（相對于學(xué)生的知識量）減去的知識和經(jīng)驗恰恰是學(xué)生要學(xué)習(xí)的知識和經(jīng)驗，因此教師又必須保留必要的指導(dǎo).從最近發(fā)展區(qū)的角度來看，教師要知道學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的彼岸是什么及聯(lián)結(jié)著什么，但是作為主體的學(xué)生，雖然學(xué)習(xí)的內(nèi)部動力來源于自己，但是學(xué)生并不知道自己的最近發(fā)展區(qū)的彼岸在哪里，又該如何成功渡過，這皆體現(xiàn)出教師聞道在先、術(shù)業(yè)專攻的引導(dǎo)價值，故教師的主導(dǎo)地位絕不是讓教師閉嘴，也不是單純地讓學(xué)生表演，而是教師帶領(lǐng)學(xué)生拾階而上，至于拾階而上的方式，可以是問題引導(dǎo)，可以是教師提供具體的問題情境，還可以是在學(xué)生遇到瓶頸時教師直接講解，合理利用課堂中的生成性資源，這樣的課堂才是高效的課堂，也便于教師及時了解學(xué)生的困惑，為學(xué)生解決困惑.就本節(jié)課而言，教師不應(yīng)快速講解完公式，將課堂的重心放在大量的訓(xùn)練上.在上文提到，教師利用冪的定義及從整式乘法的角度引入公式貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，也符合知識自然生長的規(guī)律，同時易于學(xué)生領(lǐng)會知識內(nèi)在的精神價值.

2.教師備課需要準(zhǔn)備什么，如何準(zhǔn)備

在認(rèn)真聽取了8位新教師的授課之后，筆者還發(fā)現(xiàn)幾個共同點(diǎn)：第一，大都按照課本上的順序選用教材的資源呈現(xiàn)例題、設(shè)計習(xí)題；第二，新教師除個人的語言表達(dá)能力不同之外，在課堂環(huán)節(jié)銜接處大都有些生硬、不自然，缺乏聯(lián)系；第三，每位新教師都精神飽滿、慷慨激昂，想把自己準(zhǔn)備的東西精準(zhǔn)傳遞給學(xué)生，但是只走完了表面的流程，沒有及時察覺到學(xué)生有難言之隱.這些問題促使筆者思考：無論是新教師還是老教師，在備課的過程中，應(yīng)該準(zhǔn)備什么素材？又如何組織這些素材？布魯納認(rèn)為，學(xué)生的認(rèn)識過程與人類的認(rèn)識過程有共同之處，而教學(xué)過程就應(yīng)該是在教師的引導(dǎo)下讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過程.同時布魯納還認(rèn)為，學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”與科學(xué)家的“發(fā)現(xiàn)”只是形式和程度不同，但性質(zhì)是相同的，都是通過積極的思維活動而形成的，其智力功能和發(fā)現(xiàn)價值是相同的.因此教師在準(zhǔn)備素材時，應(yīng)當(dāng)在充分理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上為學(xué)生準(zhǔn)備一些類似于科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題時的半成品模型，讓學(xué)生在探索發(fā)現(xiàn)時有所依賴，但又不會減少思維含量，而當(dāng)學(xué)生探索出現(xiàn)障礙時，教師要人為縮小范圍，降低難度，以便于學(xué)生突破障礙完成學(xué)習(xí)，因此成功的教學(xué)應(yīng)該是包括教材在內(nèi)的素材為教學(xué)服務(wù)而不是素材牽著教師和學(xué)生的鼻子走.如文章開始討論的借助幾何直觀（課本的引例）和直接利用乘法公式計算這兩種引入方式相比較，直接利用乘法公式計算的方式開門見山，并且注重了知識的整體性和聯(lián)系性，對于大多數(shù)學(xué)生來說效果更佳.

3.就本節(jié)課而言，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的根本立意是什么

教師一般每節(jié)課都有自己的教學(xué)立意，或明確或模糊，有意識或下意識，模糊或下意識的教學(xué)立意一般難以至高遠(yuǎn).教師在設(shè)計每節(jié)課時都要基于章建躍博士提出的三個理解——理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，不但要分別理解，還要將三項理解統(tǒng)一落實到教師的教和學(xué)生的學(xué)上.根據(jù)對學(xué)生困惑點(diǎn)的分析也可以看出，困惑產(chǎn)生除了公式本身的操作具有一定的難度，公式的由來、工作原理、使用方法等幾項內(nèi)容碎片化的存在也是主要原因之一，因此教師的教學(xué)設(shè)計在整體上應(yīng)該包含一個“去碎片化”的隱形線路，而只以難度增加的方式向?qū)W生呈現(xiàn)多組變式訓(xùn)練是完不成教學(xué)目標(biāo)的.這就要求教師處理好兩種關(guān)系.第一種是遞進(jìn)關(guān)系，循序漸進(jìn)地讓學(xué)生明白完全平方公式是乘法公式的特殊形式，其具有簡潔性和實用性的價值；完全平方公式中的字母可以產(chǎn)生由單個字母到數(shù)再到復(fù)雜單項式和多項式的遞進(jìn)變化，但其本質(zhì)都是乘法運(yùn)算.第二種關(guān)系是包含關(guān)系，其內(nèi)涵是：整式的乘法包含完全平方公式，完全平方公式的適用范圍小于整式乘法公式的適用范圍；數(shù)學(xué)思想統(tǒng)攝數(shù)學(xué)方法，完全平方公式是一個等式，更是一個模型和一種思想，千變?nèi)f化的應(yīng)用體現(xiàn)的是公式蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)建模是聯(lián)結(jié)基本方法和數(shù)學(xué)思想的橋梁，教數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)最終都要落實到數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會上而非單純的知識立意.處理好這兩種關(guān)系也是綜合理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的體現(xiàn).