變式教學(xué)對(duì)發(fā)展思維能力的影響

☉江蘇省蘇州市吳江平望中學(xué) 李國英

變式教學(xué)這一數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常用且有效的教學(xué)手段是廣大數(shù)學(xué)教師一直都在研究與使用的.鮑建生、顧泠沅等都曾結(jié)合變異理論、腳手架理論，以及我國變式教學(xué)的實(shí)際情況對(duì)變式理論進(jìn)行過深入的研究并將變式教學(xué)作出了概念性變式與過程性變式的分類.

一、變式教學(xué)的分類

1.概念性變式

教師在概念教學(xué)的過程中往往會(huì)不自覺地使用概念性變式這一手段來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解概念，通過這一手段的實(shí)施，使學(xué)生在新的概念的分析中經(jīng)歷由直觀到抽象、由具體到一般的變式，并因此探尋知識(shí)的本質(zhì)屬性及知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，學(xué)生對(duì)概念的理解往往在這一過程中能夠很好的實(shí)現(xiàn).

例如，教師在冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像的教學(xué)中就可以設(shè)置這一問題：函數(shù)是冪函數(shù)嗎？學(xué)生在不同形式的函數(shù)中辨別函數(shù)類型的同時(shí)也是對(duì)冪函數(shù)這一新學(xué)概念的多角度理解，教師此時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生從這些變式中去尋找共性并逐漸探索、提煉出冪函數(shù)這一概念的本質(zhì)特征，當(dāng)然會(huì)比教師直接告訴學(xué)生冪函數(shù)的特征要有意義得多，學(xué)生對(duì)概念的理解與學(xué)習(xí)深刻而明晰.

2.過程性變式

概念形成過程與問題解決過程需要過程性變式教學(xué)才能更好地幫助學(xué)生由淺入深、層層深入地掌握概念與方法，學(xué)生在親身經(jīng)歷舊知識(shí)到新知識(shí)的推導(dǎo)與構(gòu)造過程中也更加容易結(jié)合自己的思維特征形成有意義的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并很快達(dá)到融會(huì)貫通.

例如，教師在雙曲線這一概念的教學(xué)中就可以著眼于橢圓的定義這一學(xué)過的知識(shí)并結(jié)合一定的變式進(jìn)行教學(xué)：

問題1：已知A（-4，0），B（4，0），P點(diǎn)滿足|PA|+|PB|=10，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)該是什么樣的曲線呢？

變式1：如果P點(diǎn)滿足|PA|-|PB|=4，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)該是什么樣的曲線呢？

變式2：如果P點(diǎn)滿足||PA|-|PB||=4，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)該是什么樣的曲線呢？

變式3：如果P點(diǎn)滿足|PA|-|PB|=8，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)該是什么樣的曲線呢？

學(xué)生對(duì)關(guān)于橢圓定義的問題1往往很輕松就能解決.將“+”變成“-”的變式1看上去只是小小的符號(hào)改變，但曲線又會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？學(xué)生在這樣的疑惑中很快對(duì)這一問題產(chǎn)生強(qiáng)烈的探知欲，教師引導(dǎo)下的親身實(shí)驗(yàn)很快使學(xué)生明白這是一條開放性的曲線.變式2中的不同是在變式1的基礎(chǔ)上加了一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，曲線因此變成了兩條，雙曲線的概念在變式經(jīng)歷中自然形成了，P點(diǎn)滿足的條件不同致使形成的曲線也各不相同，學(xué)生在這樣的變式探究中將橢圓與雙曲線兩個(gè)概念緊密聯(lián)系了起來.接著學(xué)生又在變式3的探究中認(rèn)識(shí)到了常數(shù)的范圍并因此對(duì)雙曲線應(yīng)滿足的條件形成了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).事實(shí)上，在這一內(nèi)容上的變式遠(yuǎn)不止上述的三個(gè)形式，比如，如果將A、B兩點(diǎn)從x軸變化到y(tǒng)軸一樣會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生改變.學(xué)生從多個(gè)角度對(duì)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何特征進(jìn)行辨析與理解，能夠?qū)深悎A錐曲線的異同形成更加充分的認(rèn)識(shí).學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)樂趣的同時(shí)也逐步建立起了新知和舊知之間的聯(lián)系，從而對(duì)概念的本質(zhì)形成清晰的認(rèn)識(shí)，并因此能夠順利創(chuàng)造出完整的知識(shí)架構(gòu).

二、變式教學(xué)對(duì)思維能力的影響

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須建立在知識(shí)結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)雙向發(fā)展的基礎(chǔ)之上，思維結(jié)構(gòu)的發(fā)展對(duì)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善與發(fā)展來說至關(guān)重要，變式教學(xué)能夠?qū)⒓兴季S、發(fā)散思維多種方式相互交融，并因此促進(jìn)思維能力的提升與思維結(jié)構(gòu)的完善.因此，教師在變式教學(xué)的實(shí)際過程中應(yīng)將訓(xùn)練學(xué)生的思維視為重要任務(wù)，幫助學(xué)生在變式學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)其靈活、深刻、廣闊、發(fā)散的思維能力，并在學(xué)習(xí)中獲得更好的效果.

1.變式教學(xué)能使學(xué)生思維的深度得到延伸

問題2：已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=25-2n，前n項(xiàng)和是Sn，在n=________時(shí)Sn取到最_______值，最值為________.

變式1：（1）等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=25，前n項(xiàng)和是Sn，已知Sn滿足S9=S17，則當(dāng)n是何值時(shí)，Sn最大？

（2）如果題中條件變?yōu)閍1＞0，d≠0，如果S9=S17，則當(dāng)n是何值時(shí)，Sn最大？

（3）如果a1＜0，d≠0，是否可以類比（1）并因此得到類似的結(jié)論呢？

變式2：（1）如果a1＞0，d≠0，前n項(xiàng)和是Sn，如果S9=S17，則S26=______.

（2）已知數(shù)列{an}中，a1＞0，S26=0，能使an＞0成立的n的最大值是多少？

變式3：（1）如果a1＞0，前n項(xiàng)和是Sn，S9=S16，那么，當(dāng)n為何值時(shí)，Sn能取最值呢？

（2）如果a1＞0，前n項(xiàng)和是Sn，若S25=0，求使an＞0成立的n的最大值是多少？

問題2中的幾個(gè)問題基于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特征將之與二次函數(shù)聯(lián)系了起來，層層遞進(jìn)的幾個(gè)設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷深入、延伸.題目條件不斷改變或放寬使學(xué)生對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)Sn這一特殊函數(shù)概念的理解不斷加深，學(xué)生也在這一過程中逐漸形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).學(xué)生的思維在一連串的問題探究與思考中沿著知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展方向很好地得到了鍛煉.

實(shí)際上，還有其他的角度可以對(duì)問題2進(jìn)行變式設(shè)計(jì)：上述變式都是利用數(shù)列前n項(xiàng)和公式特征而衍生出來的，同學(xué)們還有其他不同的視點(diǎn)呢？數(shù)列的臨界項(xiàng)的角度可以解決這一問題嗎？這樣的問題設(shè)計(jì)能夠很好地引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角對(duì)問題進(jìn)行重新審視，知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)也會(huì)因此變得更加寬廣.

2.變式教學(xué)能使學(xué)生思維的寬度得到拓展

問題3：已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2n-1和bn=2n.

（1）若cn=an+bn，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和是多少？

（2）若cn=an·bn，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和是多少？

（3）數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式的前n項(xiàng)和是多少？

已知等差數(shù)列與等比數(shù)列在問題的創(chuàng)設(shè)中得到了有意義的構(gòu)造，連續(xù)變化的三種構(gòu)造方式及數(shù)列的求和在一連串的問題中因?yàn)樗伎冀嵌鹊牟灰粯拥玫搅擞幸饬x的探究，囊括分組求和、錯(cuò)位相減等情況的數(shù)列求和使得學(xué)生在一系列的變式中掌握了數(shù)列求和的更多方法，數(shù)列求和的本質(zhì)方法也在不同角度的思考中很好地凸顯了出來.不僅如此，變式教學(xué)的合理運(yùn)用使得一個(gè)問題得到了多角度的思考，學(xué)生在求異、思辨的思維空間中對(duì)不同情況進(jìn)行比較、分析及反思，也很快清楚地掌握了這一類題目的解決辦法.而且，教師遵循“少練精講”這一原則下的變式教學(xué)使得很多反復(fù)、機(jī)械的訓(xùn)練得以很好的避免，新課程所倡導(dǎo)的“減時(shí)提效”也真正得以實(shí)現(xiàn)，學(xué)生思維的寬度在多種方法、多類問題的接種中得到了很好的拓展.

3.變式教學(xué)能使學(xué)生思維的靈活度得到提升

問題4：已知關(guān)于x的方程4x-（k+4）2x+4=0，假設(shè)該方程有實(shí)數(shù)解，那么k的取值范圍是怎樣的？

變式1：已知關(guān)于x的方程4x-（k+4）2x+4=0，如果該方程在（0，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，那么k的取值范圍是怎樣的？

利用一元二次方程根的分布能夠很快將問題4解決掉，但變式1在卻在原問題的基礎(chǔ)上添加了區(qū)間（0，1）這一條件，采取根的分布對(duì)變式1進(jìn)行討論也就相對(duì)比較復(fù)雜了，但分離變量的方法卻能使本題的解決更加簡(jiǎn)單.因?yàn)閰^(qū)間這一條件的改變使得問題的最佳解題方法也隨之改變了，很多學(xué)生對(duì)其中的奧妙是無法理解的，變式教學(xué)在這種變化多端的問題中就能展現(xiàn)出更多的優(yōu)勢(shì)了.利用變式教學(xué)指導(dǎo)學(xué)生在同一個(gè)問題中從“變”中尋求“不變”能使學(xué)生更快地掌握解決問題的通法，同時(shí)還能使學(xué)生在“不變”的問題中尋找“變化”并學(xué)會(huì)選擇最為適當(dāng)?shù)姆椒?，這對(duì)學(xué)生思維靈活度的鍛煉是特別有意義的.

教師在變式教學(xué)中不能為了追求“變”而搞得過于形式化，也不能為了課堂教學(xué)看上去變化多端而刻意追求.教師采取變式教學(xué)時(shí)應(yīng)關(guān)注各變式是否具備針對(duì)性與實(shí)效性，在結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用變式教學(xué)，將課堂例題進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)并因此使得學(xué)生的思維靈活度得到更好的鍛煉，將學(xué)生眼前的發(fā)展與長遠(yuǎn)的發(fā)展均設(shè)計(jì)在有意義的變式教學(xué)設(shè)計(jì)中，使得學(xué)生在不斷激活封存記憶的基礎(chǔ)上充分發(fā)揮出自己的內(nèi)在力量，并因此實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí).F