從“初等函數(shù)的簡單組合”談函數(shù)命題中的“核心素養(yǎng)”*

☉江蘇省蘇州實驗中學(xué) 章祥俊

☉江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)校 席月琴

函數(shù)綜合題是江蘇高考和江蘇各地模擬考試始終堅持命制的，一般會給出函數(shù)解析式的形式且常含參系數(shù)，也就是以研究動態(tài)函數(shù)的變化為主要考查目的.所以題目的類型以動態(tài)函數(shù)的特性（或一個動態(tài)函數(shù)與另一個常態(tài)函數(shù)的特殊關(guān)系）為標(biāo)尺，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論、參變分離等綜合分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力，一般以把關(guān)題的形式出現(xiàn)在試卷中.本文從“初等函數(shù)的簡單組合”談函數(shù)綜合題在命制的過程中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例1（2015年連云港三模）函數(shù)f（x）=ax-x2（a＞1）恰好有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

考試情況：本班46人參加考試，有2人解答正確，正確率僅為4.3%.

考情分析：學(xué)生以前曾經(jīng)通過二次求導(dǎo)的方法，正確解答類似題目：求證函數(shù)f（x）=ex-x2（x＞0）沒有零點.也有極少數(shù)學(xué)生將不等式ex＞x2兩邊同時取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為x＞2ln x，然后再研究.但絕大多數(shù)學(xué)生的“最近思維區(qū)”為第一種解法.上述例1的解答中，有44人均采用此解法，但無一人能給出正確解答，主要原因是因為（ex）′=ex，多次求導(dǎo)后形式不變，而（ax）′=axln a，多次求導(dǎo)后形式比較復(fù)雜，無法給出正確的解答.

解題分析：x=0顯然不是函數(shù)（f x）的零點，并且當(dāng)x＜0時，函數(shù)（f x）顯然有一個零點，所以當(dāng)x＞0時，函數(shù)（f x）有兩個不同的零點.當(dāng)x＞0時，由ax=x2，等式兩邊同時取對數(shù)得x ln a=2ln x，即ln a==0，得x=e.所以函數(shù)g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減，所以g（x）的最大值為g（e）以1＜a＜時，函數(shù)（f x）有兩個不同的零點.

考題分析：目標(biāo)函數(shù)f（x）=ax-x2（a＞1）其實就是由兩個初等函數(shù)y=ax和y=x2簡單組合而成，這樣的組合既保持了原有函數(shù)的“原味”，又體現(xiàn)了組合時的“靈動”.因為y=ax與y=logax互為反函數(shù)，所以上述解答并非是“無源之水”.數(shù)學(xué)學(xué)科能力是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的核心，探討基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的分析問題能力培養(yǎng)具有十分重要的意義.初高中數(shù)學(xué)教材中有多個初等函數(shù)，它們之間是有密切聯(lián)系的.在問題解決的過程中，不同的審題視角將導(dǎo)致不同的分析思維.因此在具體的教學(xué)實踐過程中，對不同函數(shù)資源進(jìn)行有效組合，還是很有必要的.［1］我們在教學(xué)時，要有意識地和學(xué)生一起研究這類通過組合而形成的“新”的函數(shù)，例如，初等函數(shù)y=x，y=ex，y=ln x之間可以簡單組合成一些“新”的函數(shù)：y=ex-x，y=ln x-x，y=x ln x，y=x ex，y=通過這種“微專題”的集中研究（過程略，讀者朋友可自行研究），學(xué)生可以感受到“新函數(shù)”的產(chǎn)生是“有章可循”的.再次遇到諸如這樣的函數(shù)（f x）=ex-ln（x+2），就能比較容易地轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g（x）=ex-（x+1）與h（x）=（x+1）-ln（x+2）了（可以通過圖像法找到函數(shù)y=ex與y=ln（x+2）的“中間函數(shù)”y=x+1）.在教材變革的影響下，研究教材成為教師必須思考的問題.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高的“源頭”在于教材資源的有效整合，在于教師需要意識到課程標(biāo)準(zhǔn)與教材之間存在無限可能的開發(fā)和組合空間，并以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)對教材進(jìn)行二次開發(fā)和設(shè)計.

例2（2015年鹽城模擬）已知函數(shù)（f x）=ln x.

（1）求函數(shù)（f x）的圖像在x=1處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)k，使得）都有函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的下方？若存在，求出最大整數(shù)k的值；若不存在，請說明理由（.參考數(shù)據(jù)：ln2=0.6931

考試情況：甲、乙兩個班級分別有學(xué)生45、46人，第（3）小問得到滿分的人數(shù)分別為甲班12人和乙班39人.（本文只分析第（3）小問）

考情分析：兩個班級的情況為什么有如此大的區(qū)別？前一個班級（甲班）的學(xué)生在得到k＜ex-x ln x后，對函數(shù)y=ex-x ln x的研究大多使用的是多次求導(dǎo)的方法，理由說不清楚.而后一個班級（乙班）的學(xué)生對函數(shù)y=ex-x ln x求導(dǎo)后，將對導(dǎo)函數(shù)y=ex-ln x-1的研究轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y1=exx和y2=x-ln x-1，學(xué)生研究這兩個函數(shù)（前文例1中已作研究）是非常容易的.產(chǎn)生如此巨大差別的根本原因在于：甲班的學(xué)生沒有通過微專題的形式研究“初等函數(shù)的簡單組合”，而乙班的學(xué)生對這個微專題是認(rèn)真研究過的，所以他們在看到本題中的函數(shù)是由反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)組合而形成時，很快就想到了他們曾經(jīng)研究過的那些“新”函數(shù).

解題分析：由題意得，恒成立，即k＜ex-x ln x.構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex-x ln x），則h′（x）=ex-ln x-1.令F（x）=ex-x，G（x）=x-ln x-1，易得F（x）=）上單調(diào)增，所以是一個運(yùn)算技巧，學(xué)生需要適當(dāng)?shù)恼莆者@種技巧）.G（x）上單調(diào)減，在（1，+∞）上單調(diào)增，所以G（x）≥G（1）=0，因此h（′x）＞1＞0，所以h（x）在）上單調(diào)增，又所以滿足題意的最大整數(shù)k的值為2.

考題分析：對函數(shù)y=ex-x ln x的研究若使用多次求導(dǎo)的方法，主要有這樣幾點學(xué)生沒能表述清楚：（1）h（″x）=上為什么存在零點；（2）h″（x）=ex-上為什么只有一個零點；（3）h″（x）=上的零點（零點不易求解時）問題的處理.產(chǎn)生以上情況的原因在于h（″x）=是由初等函數(shù)y=ex和組合而成，它們的圖像都是曲線形式，求導(dǎo)后的導(dǎo)函數(shù)圖像還是曲線的形式.而函數(shù)F（x）=ex-x，G（x）=x-ln x-1是由初等函數(shù)y=ex和y=x，y=ln x和y=x-1組合而成，對于這種形式的“初等函數(shù)的簡單組合”學(xué)生是比較容易研究的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，通過函數(shù)的組合教學(xué)實現(xiàn)解一題并通一類，是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo).［2］在探究函數(shù)組合教學(xué)的過程中，有效地加強(qiáng)函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)橫向交叉和縱向交錯，從而形成廣闊的審題視角，培養(yǎng)思維的靈活性.

細(xì)細(xì)回味，我們遇到的很多函數(shù)“難題”，拆分之后都可以發(fā)現(xiàn)，這些“難題”是由“原味”的初等函數(shù)“靈動”的組合而成.例如：（2013年江蘇高考第20題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln x-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.又如：（2017年泰州、泰興、靖江三校聯(lián)考第13題）已知不等式x ex-1≥ln x+kx對x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的最大值.（讀者朋友可自行研究）

初等函數(shù)的“原味組合”就是在函數(shù)考查中突出檢驗學(xué)生對函數(shù)的感知、體驗和積累，強(qiáng)化其對基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，積極引導(dǎo)學(xué)生自主品嘗“原汁原味”的知識盛宴的過程.在當(dāng)今各種教育教學(xué)理論“亂花漸欲迷人眼”的環(huán)境下，“原味組合”教學(xué)提醒我們要保持一種清醒和理性，保持教學(xué)的本真和本色.遵循這種“原味組合”的原則，就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，它既能從縱向上追溯教材知識體系的認(rèn)知與梳理，也能在橫向上加強(qiáng)各個函數(shù)之間的聯(lián)想與聯(lián)系，讓學(xué)生在感受函數(shù)多種組合過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，這種處理方式，將盡可能地減少數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變化給很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來的畏懼感，真實提升他們的核心素養(yǎng).

1.王耀，陳兆華.核心素養(yǎng)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)解題實踐與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017（4）.

2.唐永.剖析邏輯漏洞 提升核心素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017（4）.F