幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)下歐式期權(quán)的定價(jià)

徐峰

摘要：為了體現(xiàn)金融資產(chǎn)的長(zhǎng)記憶性，采用幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)刻畫(huà)歐式期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的行為模式。建立了雙分式布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式期權(quán)價(jià)值所滿(mǎn)足的偏微分方程，并通過(guò)邊界條件和變量代換得到該偏微分方程的解，即歐式期權(quán)的定價(jià)公式。

Abstract： In order to reflect the long memory property of the financial assets， this paper uses the geometric bifractional Brownian motion to capture the underlying asset of European option. Moreover， a partial differential equation formulation for valuing European option is proposed. Using the boundary condition and the method of variable substitution， this paper obtains the solution for this partial differential equation-the pricing formula for European option.

關(guān)鍵詞：雙分式布朗運(yùn)動(dòng)；歐式期權(quán)；長(zhǎng)記憶性；定價(jià)

Key words： bi-fractional Brownian motion； European option； long memory； pricing

中圖分類(lèi)號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）07-0197-03

0 引言

過(guò)去對(duì)期權(quán)定價(jià)的研究都是建立在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上的，但是近年來(lái)，大量的實(shí)例都說(shuō)明金融資產(chǎn)的價(jià)格存在多項(xiàng)分形特征，比如自相似性、長(zhǎng)期記憶性等，市場(chǎng)并不能簡(jiǎn)單的用布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的定價(jià)模型體現(xiàn)出來(lái)。為彌補(bǔ)上述模型缺陷，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)應(yīng)運(yùn)而生[1]。

然而，文[2]中指出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅，關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的離散逼近很多學(xué)者都有所研究，還提出了直接將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)應(yīng)用與金融環(huán)境將會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)[3，4]，導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出不適用于刻畫(huà)金融資產(chǎn)價(jià)格變化的行為模式?；诖?，部分學(xué)者開(kāi)始研究修正的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，比如雙分式布朗運(yùn)動(dòng)、混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)等[5，6]，雙分式布朗運(yùn)動(dòng)在一定限制條件下是半鞅，并且具有自相似性和長(zhǎng)記憶性的特征，因此，可被應(yīng)用在期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域。

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)，將歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程，最后通過(guò)偏微分方程的求解得到了雙分式布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的歐式期權(quán)的定價(jià)公式。

1 雙分式布朗運(yùn)動(dòng)與模型假設(shè)

1.1 雙分式布朗運(yùn)動(dòng)的定義與性質(zhì)

1.2 模型假設(shè)

下面對(duì)金融市場(chǎng)做如下假設(shè)：

①無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)；

②沒(méi)有對(duì)交易頭寸方向的限制，允許買(mǎi)空賣(mài)空證券；

③市場(chǎng)無(wú)摩擦，即交易費(fèi)用為零，無(wú)稅收，不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；

④標(biāo)的資產(chǎn)（如股票）的價(jià)格變化過(guò)程St服從幾何雙分式布朗運(yùn)動(dòng)

2 主要結(jié)果與證明

3 結(jié)論

本文在股票價(jià)格受雙分式布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的假設(shè)下，利用偏微分方程的方法研究了歐式看漲看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。在定理3中，當(dāng)K=1時(shí)，結(jié)果即為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，當(dāng)K=1，H=時(shí)，結(jié)果即為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式?？梢?jiàn)本文的結(jié)果推廣了歐式期權(quán)的定價(jià)。另外，本文的結(jié)果還可以推廣到混合雙分式布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式期權(quán)定價(jià)。

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