任意動(dòng)載作用下長(zhǎng)隧道縱向響應(yīng)解析解

禹海濤， 蔡 創(chuàng)， 張正偉

(1. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2. 上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司，上海 200092；3. 上海市城市建設(shè)設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司，上海 200125；4. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092)

近年來，隨著大量隧道工程的建設(shè)，隧道抗震設(shè)計(jì)越來越受到了人們的關(guān)注.長(zhǎng)隧道運(yùn)營期間的列車振動(dòng)以及地震發(fā)生時(shí)的動(dòng)力作用都會(huì)對(duì)隧道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一定影響，研究隧道尤其是長(zhǎng)隧道在動(dòng)力荷載作用下的縱向響應(yīng)(沿著隧道軸線方向)對(duì)于指導(dǎo)隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有著重要意義[1-2].

目前對(duì)于隧道縱向動(dòng)力響應(yīng)的研究大多采用數(shù)值方法，如有限差分法、有限單元法和邊界單元法等.莫海鴻等[3]采用三維動(dòng)力有限差分法，對(duì)廣州地鐵4號(hào)線埋置于深厚軟土地層之中的盾構(gòu)隧道在地鐵運(yùn)營期間動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了深入分析.陳衛(wèi)軍等[4]采用上海地鐵某區(qū)間隧道現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)，運(yùn)用有限單元法對(duì)南浦大橋近距離交疊隧道在列車振動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬.劉衛(wèi)豐等[5]提出了一個(gè)在頻率-波數(shù)域內(nèi)的三維周期性有限元-邊界元耦合的數(shù)值模型，計(jì)算了在隧道底板上施加諧振荷載情況下隧道-自由場(chǎng)相互作用系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng).

采用這些數(shù)值方法研究隧道動(dòng)力響應(yīng)問題時(shí)，數(shù)值積分中需同時(shí)考慮時(shí)間域和空間域的增量，十分耗費(fèi)時(shí)間，而且計(jì)算結(jié)果的精度也極其依賴積分算法.推導(dǎo)動(dòng)力響應(yīng)解析解可以很好地彌補(bǔ)數(shù)值分析方法存在的不足，大大提高計(jì)算的效率[6].本文將長(zhǎng)隧道考慮為作用在Pasternak雙參數(shù)地基[7]上的無限長(zhǎng)均質(zhì)直梁，基于積分變換及卷積定理推導(dǎo)了長(zhǎng)隧道在任意動(dòng)載作用下縱向響應(yīng)的解析解.

1 數(shù)學(xué)模型

實(shí)際工程中，隧道通常長(zhǎng)達(dá)數(shù)公里，可將長(zhǎng)隧道簡(jiǎn)化為無限長(zhǎng)均質(zhì)直梁，將土體考慮為Pasternak雙參數(shù)地基，隧道與土體的相互作用通過地基反力系數(shù)和阻尼系數(shù)體現(xiàn)，外荷載表示為任意動(dòng)力荷載函數(shù)F(x,t)，基于這種假定的數(shù)學(xué)模型如圖1所示.圖中，E，I，ρ，A分別表示隧道的彈性模量、橫截面慣性矩、密度和橫截面面積.K，C，Gp分別表示地基的反力系數(shù)、阻尼系數(shù)和剪切剛度，y(x,t)和F(x,t)分別表示隧道的豎向位移和沿x軸分布的任意動(dòng)力荷載，t表示時(shí)間.

圖1 任意動(dòng)載作用下長(zhǎng)隧道-雙參數(shù)地基簡(jiǎn)化模型

基于Euler-Bernoulli梁理論[8]，可得到動(dòng)力問題的控制方程如下：

(1)

基于Pasternak雙參數(shù)地基理論，此處采用的地基反力系數(shù)和地基剪切剛度可分別反應(yīng)土彈簧自身的彈性系數(shù)與土彈簧之間的剪切系數(shù).

假設(shè)隧道在受到任意動(dòng)力荷載作用之前是靜止的，則該問題的初值條件為

y(x,t)|t=0=0,

(2)

假設(shè)長(zhǎng)隧道為無限長(zhǎng)，則問題的邊界條件為

(3)

方程(1)～(3)構(gòu)成了這個(gè)問題的完整數(shù)學(xué)表達(dá)，通過求解該四階偏微分方程即可得到長(zhǎng)隧道在任意動(dòng)力荷載作用下的解析解.

2 解析表達(dá)

2.1 傅里葉變換

對(duì)方程(1)中的空間域進(jìn)行傅里葉變換，并考慮傅里葉變換的微分性質(zhì)和問題的邊界條件可得:

(4)

(5)

(6)

2.2 拉普拉斯變換

對(duì)方程(4)中的時(shí)間域進(jìn)行拉普拉斯變換，并考慮拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和問題的初值條件可得:

(7)

(8)

(9)

由方程(7)可將問題在頻域的解析解表示為

(10)

2.3 拉普拉斯逆變換

為得到問題在時(shí)間域的解析解，對(duì)方程(10)進(jìn)行拉普拉斯逆變換如下：

(11)

式(11)可整理為

(12)

其中，

(13)

(14)

已知

(15)

(16)

結(jié)合式(15)～(16)，對(duì)方程(12)的右邊運(yùn)用卷積定理，可得問題在時(shí)間域的解析解為

(17)

2.4 傅里葉變換

為獲得在空間域的解析解，對(duì)方程(17)進(jìn)行傅里葉逆變換可得：

(18)

結(jié)合

(19)

(20)

在時(shí)間域和空間域的解析解最終可表示為

(21)

隧道的豎向速度響應(yīng)和豎向加速度響應(yīng)可以通過豎向位移響應(yīng)對(duì)時(shí)間t分別進(jìn)行一階求導(dǎo)和二階求導(dǎo)獲得：

(22)

(23)

隧道的彎矩響應(yīng)和剪力響應(yīng)可以通過豎向位移響應(yīng)對(duì)空間x進(jìn)行二階求導(dǎo)和三階求導(dǎo)并乘以系數(shù)-(EI)獲得：

(24)

(25)

式(21)～(25)即為任意動(dòng)力荷載作用下長(zhǎng)隧道豎向位移、豎向速度、豎向加速度、彎矩和剪力響應(yīng)的完整解析解表達(dá).

3 荷載討論

需要指出的是，第2.4節(jié)所給的解析解是基于任意動(dòng)力荷載F(x,t)給出的一個(gè)通解形式.對(duì)于幾類典型荷載下的解析解，下文將給予具體討論，為了求解方便，假定阻尼C=0，也即a=0.

3.1 簡(jiǎn)諧線荷載

簡(jiǎn)諧線荷載通?？杀硎緸?/p>

(26)

式中：r表示線荷載的半寬；Ω和P分別表示荷載圓頻率和振幅；H(·)為單位階躍函數(shù)，定義如下：

(27)

將式(26)代入式(21)并考慮無阻尼可得：

(28)

若僅考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，則有：

(29)

若假設(shè)剪切系數(shù)Gp=0，即將地基退化為溫克爾地基，式(29)可以表示為

y(x,t)=

(30)

式(30)的解析表達(dá)式與Sun[9]給出的溫克爾地基上無限長(zhǎng)梁在簡(jiǎn)諧線荷載作用下的解析表達(dá)式一致，這在一定程度上可以驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的Pasternak地基上長(zhǎng)隧道在任意動(dòng)力荷載作用下解析解的正確性.

3.2 移動(dòng)線荷載

對(duì)于移動(dòng)線荷載，通?？杀硎緸?/p>

(31)

式中：v表示荷載移動(dòng)速度；r表示線荷載的半寬；Ω和P分別表示荷載的圓頻率和振幅；H(·)為單位階躍函數(shù)，定義同式(27).

將式(31)代入式(21)并考慮無阻尼可得隧道的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

y(x,t)=

(32)

假設(shè)地基剪切系數(shù)Gp=0，即將地基考慮為溫克爾地基，式(32)可表示為

(33)

式(33)的解析表達(dá)式與Sun[10]給出的溫克爾地基上無限長(zhǎng)梁在移動(dòng)線荷載作用下的解析表達(dá)式一致，這進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所推導(dǎo)的Pasternak地基上長(zhǎng)隧道在任意動(dòng)力荷載作用下解析解的正確性.

3.3 行波荷載

對(duì)長(zhǎng)隧道進(jìn)行地震下縱向動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)，地震荷載實(shí)際具有行波效應(yīng)，荷載抵達(dá)隧道不同位置的時(shí)間不相同.為了體現(xiàn)這種效應(yīng)，此處將行波荷載簡(jiǎn)化表示為

(34)

式中：V，Ω和P分別表示行波荷載的波速、圓頻率和幅值.幅值P通常可以由隧道單位質(zhì)量與地震加速度的乘積確定.

將式(34)代入(21)，并考慮無阻尼條件可得隧道的動(dòng)力響應(yīng)為

(35)

4 參數(shù)分析

基于第3.3節(jié)推導(dǎo)的解析解，此處將給出長(zhǎng)隧道在行波荷載下動(dòng)力響應(yīng)的具體算例，進(jìn)一步研究行波波速、頻率以及不同地基反力系數(shù)對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響.

4.1 波速影響分析

假定隧道為均質(zhì)各向同性的，以上海地區(qū)某大直徑盾構(gòu)隧道為例，參數(shù)取值見表1.地基參數(shù)如下：反力系數(shù)取K=3.5×104kN·m-2，阻尼系數(shù)取C=0，剪切剛度取Gp=10 MPa.行波荷載參數(shù)如下：以上海地區(qū)設(shè)計(jì)地震加速度0.1g為例，取振幅73 kN，頻率取2 Hz，為研究行波荷載波速對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響，波速分別取200，400，600，800 m·s-1.

表1 隧道參數(shù)

圖2給出了不同波速的行波荷載作用下隧道x=500 m處的豎向速度和彎矩的動(dòng)力響應(yīng).從圖中可以看出，行波波速對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)有明顯的影響.隧道的豎向速度響應(yīng)隨著行波波速的增大而增大，行波波速從200 m·s-1增至600 m·s-1時(shí)隧道豎向速度響應(yīng)增幅較大，行波波速從600 m·s-1增至800 m·s-1時(shí)隧道豎向速度響應(yīng)增幅有所減緩.隧道的彎矩響應(yīng)與波速則并非成一種正相關(guān)或負(fù)相關(guān)關(guān)系，就本算例而言，隧道抗震設(shè)計(jì)中可考慮將400 m·s-1波速的行波荷載作為最不利工況進(jìn)行抗震計(jì)算.

4.2 頻率影響分析

為研究行波荷載頻率對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響，此處保留4.1節(jié)算例的隧道參數(shù)和地基參數(shù)，行波荷載振幅保持不變，波速取200 m·s-1，頻率分別取2，4，6，8 Hz.

圖3給出了不同頻率的行波荷載作用下隧道x=500 m處的豎向速度和彎矩的動(dòng)力響應(yīng).

a 豎向速度

b 彎矩

a 豎向速度

b 彎矩

從圖中可以看出，行波荷載的頻率同樣對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)有著顯著的影響.隧道的豎向速度響應(yīng)與荷載頻率沒有明顯的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)關(guān)系，荷載頻率為4 Hz下的隧道豎向速度響應(yīng)比其他荷載頻率下的響應(yīng)有明顯增大.隧道的彎矩響應(yīng)則隨著荷載頻率的增大而減小，荷載頻率從2 Hz增至6 Hz時(shí)隧道彎矩響應(yīng)有明顯減小，荷載頻率從6 Hz增至8 Hz時(shí)隧道彎矩響應(yīng)降幅有所減緩.因此，在抗震設(shè)計(jì)中應(yīng)尤其關(guān)注地震波低頻部分對(duì)隧道造成的破壞.

4.3 地基反力系數(shù)影響分析

為研究地基反力系數(shù)對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響，此處仍采用4.1節(jié)算例中隧道參數(shù)，行波振幅保持不變，波速取200 m·s-1，頻率取2 Hz.阻尼系數(shù)C和地基剪切剛度Gp取0，地基反力系數(shù)分別取K=3.5×102kN·m-2，K=3.5×103kN·m-2，K=3.5×104kN·m-2，K=3.5×105kN·m-2，所選參數(shù)基本涵蓋了軟土、硬土及巖石等不同場(chǎng)地條件下的地基反力系數(shù)，可以較好地反映實(shí)際工程中不同地基反力系數(shù)對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響.

圖4給出了行波荷載作用下不同地基反力系數(shù)的地基上隧道x=500 m處的豎向速度和彎矩的動(dòng)力響應(yīng).由圖可以看出，隨著地基反力系數(shù)的增大，隧道的豎向速度響應(yīng)和彎矩響應(yīng)都趨于減小.由此可見，對(duì)于地基反力系數(shù)較小的軟土地區(qū)，應(yīng)尤其重視隧道的抗震設(shè)計(jì).

5 結(jié)論

本文為長(zhǎng)隧道縱向動(dòng)力響應(yīng)分析提供了一種新的快速實(shí)用簡(jiǎn)化算法，即將長(zhǎng)隧道簡(jiǎn)化為作用在Pasternak雙參數(shù)地基上的無限長(zhǎng)均質(zhì)梁，通過積分變換和卷積定理求解動(dòng)力控制方程，推導(dǎo)出長(zhǎng)隧道在任意動(dòng)力荷載作用下縱向響應(yīng)的解析解表達(dá)式.討論了簡(jiǎn)諧線荷載、移動(dòng)線荷載和行波荷載三種具體荷載作用下隧道縱向響應(yīng)的解析表達(dá)式，通過與前人研究成果對(duì)比，驗(yàn)證了所給解析解的正確性.

a 豎向速度

b 彎矩

Fig.4Structuralresponsesatthepositionofx=500mofthetunnelondifferentfoundationswithdifferentspringstiffnesssubjectedtotravellingloads

結(jié)合行波荷載作用下長(zhǎng)隧道縱向響應(yīng)的解析解算例，研究了行波荷載的波速、頻率以及地基反力系數(shù)對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響，結(jié)果表明：隧道豎向速度響應(yīng)隨著行波波速的增大而增大，隧道彎矩響應(yīng)與行波波速則沒有明顯的相關(guān)關(guān)系；隧道豎向速度響應(yīng)與行波荷載頻率沒有明顯相關(guān)關(guān)系，而隧道彎矩響應(yīng)則隨著行波荷載頻率的減小而增大，因此在抗震設(shè)計(jì)中應(yīng)尤其關(guān)注地震波低頻部分對(duì)隧道的破壞；隨著地基反力系數(shù)的減小，隧道動(dòng)力響應(yīng)逐漸增大，這說明對(duì)于修建于地基反力系數(shù)較小的軟土地區(qū)隧道，應(yīng)尤其注重隧道的抗震設(shè)計(jì).

本文所推導(dǎo)出的解析解適用于線性問題分析，可以簡(jiǎn)便、快速地對(duì)實(shí)際工程長(zhǎng)隧道結(jié)構(gòu)的抗震安全性進(jìn)行評(píng)估，還可以直觀地給出各關(guān)鍵參數(shù)之間相互關(guān)聯(lián)的解析關(guān)系，為實(shí)際工程長(zhǎng)隧道結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)與分析提供了理論依據(jù).

[1] 禹海濤，袁勇，劉洪洲，等. 沉管隧道接頭力學(xué)模型及剛度解析表達(dá)式[J]. 工程力學(xué), 2014, 31(6): 145.

YU Haitao, YUAN Yong, LIU Hongzhou,etal. Mechanical model and analytical solution for stiffness in the joints of an immersed-tube tunnel [J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(6): 145.

[2] 袁勇，申中原，禹海濤. 沉管隧道縱向地震響應(yīng)分析的多體動(dòng)力學(xué)方法[J]. 工程力學(xué), 2015, 32(5): 76.

YUAN Yong, SHEN Zhongyuan, YU Haitao. Multibody dynamics method for longitudinal seismic response analysis of immersed tunnels [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32(5): 76.

[3] 莫海鴻，鄧飛皇，王軍輝. 營運(yùn)期地鐵盾構(gòu)隧道動(dòng)力響應(yīng)分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2006, 25(增2): 3507.

MO Haihong, DENG Feihuang, WANG Junhui. Analysis of dynamic response of shield tunnel during method operation [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2006, 25(S2): 3507.

[4] 陳衛(wèi)軍，張璞. 列車動(dòng)載作用下交疊隧道動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值模擬[J]. 巖土力學(xué), 2002, 23(6): 770.

CHEN Weijun, ZHANG Pu. Numerical simulation of dynamic response of overlap tunnels in close proximity due to train’s vibrating load [J]. Rock and Soil Mechanics, 2002, 23(6): 770.

[5] 劉衛(wèi)豐，劉維寧，Gupta S, 等. 地鐵振動(dòng)預(yù)測(cè)的周期性有限元-邊界元耦合模型[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2009, 22(5): 480.

LIU Weifeng, LIU Weining, Gupta S,etal. A coupled periodic finite element-boundary element model for prediction of vibrations induced by metro traffic [J]. Journal of Vibration Engineering, 2009, 22(5): 480.

[6] YU Haitao, YUAN Yong. Analytical solution for an infinite Euler-Bernoulli beam on a viscoelastic foundation subjected to arbitrary dynamic loads [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2014, 140(3): 542.

[7] CAO Changyong, ZHONG Yang. Dynamic response of a beam on a Pasternak foundation and under a moving load [J]. Journal of Chongqing University, 2008, 7(4): 311.

[8] Bauchau O A, Craig J I. Euler-Bernoulli beam theory [M]. Berlin: Springer Netherlands, 2009.

[9] SUN Lu. A closed-form solution of a Bernoulli-Euler beam on a viscoelastic foundation under harmonic line loads [J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 242(4): 619.

[10] SUN Lu. An explicit representation of steady state response of a beam on an elastic foundation to moving harmonic line loads [J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2003, 27(1): 69.