一類基于線性排序函數(shù)的直覺模糊線性規(guī)劃的求解方法

劉坤，熊文濤，張歷洪，文俊輝

(湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 孝感 432000)

線性規(guī)劃是工程技術(shù)和管理科學(xué)中廣泛使用的一類數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，然而，在一些實際問題中，由于不確定的因素，線性規(guī)劃的系數(shù)或決策變量可能是模糊或直覺模糊不確定的。文獻[1]最先提出了帶有模糊數(shù)的線性規(guī)劃問題并給出了求解方法，但模糊數(shù)不能反映猶豫度的信息。近年來，系數(shù)或決策變量為直覺模糊數(shù)的線性規(guī)劃問題受到了研究者們的廣泛關(guān)注，提出了一系列求解方法。文獻[2]假設(shè)線性規(guī)劃中約束條件右端列向量為對稱的直覺模糊數(shù)，擴展了傳統(tǒng)的單純形方法；文獻[3]考慮帶有三角直覺模糊數(shù)的直覺模糊線性規(guī)劃問題，根據(jù)直覺模糊數(shù)的運算算子，提出了單純形方法的矩陣描述形式；當約束條件右端列向量是直覺模糊數(shù)時，文獻[4]利用直覺模糊數(shù)截集的概念，將直覺模糊線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)規(guī)劃模型并求解，得到原問題不同參數(shù)下的最優(yōu)解和最優(yōu)值；文獻[5]對于系數(shù)矩陣和右端列向量是直覺模糊數(shù)的線性規(guī)劃問題，利用梯形直覺模糊數(shù)的加權(quán)期望值，將其轉(zhuǎn)化成精確的線性規(guī)劃問題，得到原問題的最優(yōu)解和綜合評估系數(shù)；當線性規(guī)劃的系數(shù)和決策變量均是三角直覺模糊數(shù)時，文獻[6]提出了一種排序函數(shù)，并用來求解直覺模糊線性規(guī)劃，文獻[7]指出其排序公式是無效的，并對之進行了改進，提出了一種不同的直覺模糊線性規(guī)劃求解方法。在這些求解方法中，排序函數(shù)的設(shè)計是一個關(guān)鍵的內(nèi)容，不同的排序函數(shù)可能得到不同的結(jié)果，其中很多都是線性排序函數(shù)[7～9]。下面，筆者給出了一種一般線性排序函數(shù)的定義，并用來處理決策變量為精確數(shù)的直覺模糊線性規(guī)劃問題。若決策變量為精確數(shù)，系數(shù)全部或部分為直覺模糊數(shù)，則可利用線性排序函數(shù)，將直覺模糊線性規(guī)劃問題直接轉(zhuǎn)換成精確的線性規(guī)劃問題，可證明二者具有相同的最優(yōu)解。然后，根據(jù)直覺模糊數(shù)的運算算子，進一步得到原直覺模糊線性規(guī)劃問題的最優(yōu)值，計算的結(jié)果與直接擴展單純形法得到結(jié)果相同，但計算量大大減小，給這類問題的計算帶來了極大的方便。

1 直覺模糊數(shù)的相關(guān)概念

直覺模糊數(shù)是定義在實數(shù)集上的一種直覺模糊集，常見的直覺模糊數(shù)有梯形直覺模糊數(shù)和三角直覺模糊數(shù)，其中三角直覺模糊數(shù)可看作是一種特殊的梯形直覺模糊數(shù)。不失一般性，筆者采用文獻[6]中三角直覺模糊數(shù)的定義和基本運算算子。

在線性規(guī)劃問題中，加法和數(shù)乘是2種最常見的運算，三角直覺模糊數(shù)的運算法則如下：

(1)

(2)

文獻[3,7～9]提出了大量的直覺模糊數(shù)排序方法，并且一些方法用來求解直覺模糊線性規(guī)劃?？紤]一般的線性排序函數(shù)，筆者給出三角直覺模糊數(shù)的線性排序函數(shù)定義如下。

(3)

(4)

(5)

作為一種特殊的線性排序函數(shù)，文獻[7]利用隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)的α截集，給出了直覺模糊數(shù)的排序公式(6)：

(6)

筆者在文獻[7]的基礎(chǔ)上，考慮2種α截集的權(quán)重因子λ∈[0,1]，得到式(7)：

(7)

式中，ω,u是事先給定的，可反映決策者對直覺模糊數(shù)的主觀態(tài)度。

2 直覺模糊線性規(guī)劃的求解方法

考察如下的直覺模糊線性規(guī)劃問題：

(P1)

類似精確的線性規(guī)劃問題，可得出問題(P1)的直覺模糊可行解和直覺模糊最優(yōu)解、直覺模糊最優(yōu)值等概念。

定義4 若x={x1,x2,…,xn)T滿足問題(P1)所有的約束條件，則稱x為問題(P1)在L排序函數(shù)下的可行解。

為計算問題(P1)的最優(yōu)解和直覺模糊最優(yōu)值，可得到如下的結(jié)論。

定理1 若L為線性排序函數(shù)，則問題(P1)與問題(P2)：

(P2)

證明 (i)設(shè)Ω1、Ω2分別是問題(P1)和問題(P2)的可行域，則x=(x1，x2，…，xn)T∈Ω1當且僅當x滿足約束條件(P1-1)～(P1-3)。

定理2 在問題(P1)中，若決策變量x無符號限制，則新問題依然與對應(yīng)的精確問題有相同的最優(yōu)解。

證明 在問題(P1)中，若決策變量x無符號限制，則可令x=y1-y2,y1,y2≥0，問題(P1)變?yōu)閱栴}(P3)：

(P3)

由于L為線性函數(shù)，利用定理1，問題(P3)與問題(P4)：

(P4)

又x=y1-y2,y1,y2≥0，則：

與

具有相同的最優(yōu)解，故結(jié)論成立。

值得說明的是，盡管問題(P1)和問題(P2)有相同的最優(yōu)解，但二者并不等價，原因是問題(P2)的最優(yōu)值為精確的實數(shù)；而在問題(P1)中，當價值系數(shù)為直覺模糊數(shù)時，其最優(yōu)值也為直覺模糊數(shù)，可根據(jù)式(1)和式(2)確定。

定理1和定理2說明，當排序函數(shù)為線性函數(shù)時，在直覺模糊線性規(guī)劃問題中，若已知決策變量為精確的實數(shù)，則可直接轉(zhuǎn)換成精確的線性規(guī)劃計算，這給計算帶來了極大的方便。

3 算例

問題1[6, 7]考察如下的直覺線性規(guī)劃問題：

給定不同的λ取值，使用排序公式(7)，根據(jù)定理1，轉(zhuǎn)換成精確的線性規(guī)劃后，用Matlab軟件計算結(jié)果見表1。

表1 問題1 不同方法計算的最優(yōu)解和最優(yōu)值

問題2 考慮如下直覺模糊線性規(guī)劃問題：

給定不同的λ取值，使用排序公式(7)，根據(jù)定理1，轉(zhuǎn)換成精確的線性規(guī)劃后，用Matlab軟件計算結(jié)果見表2。

表2 問題2 不同方法計算的最優(yōu)解和最優(yōu)值

從表2可以看出，當λ取不同值時筆者的方法計算出的最優(yōu)解不同，問題2中價值系數(shù)也不相同，因此得到原問題的直覺模糊最優(yōu)值一般也不相同(見表2第4列)。

4 結(jié)語

給出了直覺模糊數(shù)比較的一類一般線性排序函數(shù)，并用來求解直覺模糊線性規(guī)劃問題。當決策變量為精確數(shù)，其他參數(shù)(價值系數(shù)、技術(shù)系數(shù)、右端向量)全部或部分為直覺模糊數(shù)時，直覺模糊線性規(guī)劃可在給出的線性排序函數(shù)下直接轉(zhuǎn)換成一個精確的線性規(guī)劃，精確線性規(guī)劃的最優(yōu)解即為原問題的最優(yōu)解，并且通過一種特殊的線性排序函數(shù)驗證了結(jié)論。事實上，由于直覺模糊數(shù)是比精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等更一般的不確定形式，若決策變量要求是精確數(shù)時，該方法也可處理系數(shù)全部或部分為精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)的不確定線性規(guī)劃問題。

[1]ZimmermannHJ.Fuzzyprogrammingandlinearprogrammingwithseveralobjectivefunctions[J].FuzzySets&Systems, 1978, 1(1):45～55.

[2]ParvathiR,C.MalathiCM.IntuitionisticFuzzySimplexMethod[J].InternationalJournalofComputerApplications, 2012, 48(6): 39～48.

[3]NagoorganiA,PonnalaguK.Anapproachtosolveintuitionisticfuzzylinearprogrammingproblemusingsinglestepalgorithm[J].AcademicPublicationsLtd, 2013, 86(5): 819～832.

[4] 劉自新. 一種基于直覺模糊集的模糊線性規(guī)劃模型及其應(yīng)用[J]. 大連大學(xué)學(xué)報, 2013, 34(3): 1～5.

[5] 秦澤健, 曹炳元. 系數(shù)為直覺梯形模糊數(shù)的模糊線性規(guī)劃[J]. 廣州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2013, 12(5):15～18.

[6]SureshM,VengataasalamS,ArunPrakashK.Solvingintuitionisticfuzzylinearprogrammingproblemsbyrankingfunction[J].JournalofIntelligent&FuzzySystemsApplicationsinEngineering&Technology, 2014, 27(6): 3081～3087.

[7]SidhuSK,KumarA.Anoteon“Solvingintuitionisticfuzzylinearprogrammingproblemsbyrankingfunction”[J].JournalofIntelligent&FuzzySystems, 2016, 30(5):2787～2790.

[8]DasSK,MandalT,EdalatpanahSA.Amathematicalmodelforsolvingfullyfuzzylinearprogrammingproblemwithtrapezoidalfuzzynumbers[J].AppliedIntelligence, 2017, 46(3): 509-519.

[9]PrakashKA,SureshM,VengataasalamS.Anewapproachforrankingofintuitionisticfuzzynumbersusingacentroidconcept[J].MathematicalSciences, 2016, 10(4):177～184.