一類Keller-Segel趨化模型的分支結構

高海燕

蘭州財經(jīng)大學 統(tǒng)計學院，蘭州 730020

1 引言

生化研究證明：在趨化因子作用下，生化系統(tǒng)會從均勻穩(wěn)定態(tài)變成不穩(wěn)定的，從而導致系統(tǒng)斑圖生成。這種機制可以由一個簡化的化學反應網(wǎng)絡（Chemical Reaction Network，CRN）來描述，即 Keller-Segel模型[1-5]。趨化模型的一個重要性質是它豐富的斑圖性質，在本文中，試圖考慮一類有失穩(wěn)均勻穩(wěn)定態(tài)的CRN，即一類帶Logistic源項的具有非線性信號動力學趨化模型[6]：

類似的趨化失穩(wěn)機制將導致斑圖生成。這里Ω??n是一個具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域。d1,d2,χ,α,β和γ均為正常數(shù)。u(x,t)和v(x,t)分別表示細胞密度和化學引誘劑的含量，d1和d2是擴散率，χ表示趨化敏感性系數(shù)。α表示細胞的線性增長率，γ表示在穩(wěn)態(tài)條件下細胞的密度，β控制化學引誘劑的生成。這里假設隨著細胞密度的增加化學物質的生產(chǎn)達到飽和，這將防止化學引誘物隨著細胞密度的增加而過度產(chǎn)生。

在二維空間中，文獻[6]討論了模型（1）的有限振幅、穩(wěn)態(tài)和空間異構解，并且通過數(shù)值模擬顯示，在趨化作用下該模型可以產(chǎn)生豐富且復雜的空間斑圖。通過關注邊界條件的作用以及比例與高寬比的影響，文獻[7]研究了模型（1）的斑圖時空動力學。當α=0,1/γ→0時，模型（1）退化為經(jīng)典Keller-Segel模型。最近，文獻[8-9]分別討論了僅帶Logistic源項的Keller-Segel模型（1）的非線性不穩(wěn)定性及斑圖生成。對僅具有非線性信號動力學的趨化模型（1），文獻[10]研究了正常數(shù)平衡點的穩(wěn)定性;同時，文獻[11]考慮了不穩(wěn)定正常數(shù)平衡解附近的非線性動力學性態(tài)。文獻[12-14]也討論了具有一般信號生成機制和高密度下細胞退化的趨化模型的趨化交錯擴散的影響。本文將應用Crandall和Rabinowitz的局部分支理論[15]，主要考慮模型（1）在矩形區(qū)域上的分支問題。以趨化敏感性系數(shù)χ為分支參數(shù)，在二維空間區(qū)域詳細討論非常數(shù)正平衡解的結構以及刻畫時空斑圖的演化。

2 分支點

易知模型（1）有平凡解（0，0）及唯一正常數(shù)平衡解

模型（1）的平衡態(tài)問題為：

定義Hilbert空間：

F關于(u,v)在點Ec處的Fréchet導算子記為：

式（2）在Ec處的線性化系統(tǒng)是：

其中(h,k)∈X，且h,k≠0。將h和k表示為Fourier展式形式，即

其中

將式（4）代入式（3），則(hmn,kmn)滿足：

因此，式（3）有非零解當且僅當對某個m,n，式（7）有非零解，即對某個m,n。

從而，當且僅當

時算子F(u,v)(χ;uc,vc)退化。

因此，當 χ=χ(m,n),m,n=0,1,2,…,(m2+n2≠0)時，(χ(m,n),uc,vc)是可能的分支點。例如，χ(1,0)=此時，dimkerF(u,v)(χ(1,0))=dimkerF(u,v)(χ(0,1))=1。注意到 (m,n)?χ(m,n)不是一一對應的，如 χ(1,1)=χ(2,0),χ(3,1)=χ(0,2),χ(1,3)=χ(5,1)=χ(4,2)。所以，當參數(shù)滿足適當條件時，有dimkerF(u,v)(χ(m,n))≥2。

3 分支解的存在性

當利用Crandall和Rabinowitz[15]的局部分支定理時要求核空間維數(shù)為一維，故當考慮如χ(1,0)或χ(0,1)的情形時，只要選取m,n使得dimkerF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1。

定理3.1如果dimkerF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1，則存在一個正常數(shù)δ使得系統(tǒng)式（2）在點(χ(m,n);uc,vc)的鄰域中的非常數(shù)正解可以表示為：

其中φm(x)和ψn(y)由式（5）給出，并且

證明由dimkerF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1和式（7）可知：

記算子F(u,v)(χ(m,n);uc,vc)的伴隨算子為：

類似于前面的計算過程可得：

從而codimRangeF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1進一步，對F(u,v)(χ(m,n);uc,vc)關于χ求導得：

注意到

所以

由局部分支定理知，系統(tǒng)式（2）存在一條由點(χ(m,n);uc,vc)分支出的非平凡解曲線(χ(s),u(s),v(s))，并且它是點(χ(m,n);uc,vc)鄰域中唯一的解曲線，其中

為方便，記Φ(x,y)=φm(x)ψn(y)，注意到(s)和(s)實際也是 x,y 的函數(shù)，即(s)=(x,y,s),(s)=(x,y,s),又有：

將分支解(χ(s),u(s),v(s))代入式（2）的第一個方程中，并關于s求兩次導數(shù)得：

在式（15）中取s=0得：

運用Green’s公式可計算得：

和

其中λ在Ω上滿足-ΔΦ=λΦ。式（16）與Φ作L2內積，并結合式（17）與式（18）有：

因此η(0)=0。定理3.1證畢。

4 分支方向

考慮定理3.1中所得到的局部分支解式（10）在點(χ(m,n);uc,vc)處相應于平凡解曲線Γ的分支方向。若，則稱分支式（10）為超臨界的；若，則稱分支式（10）為次臨界的。下面將給出(0)的具體表達式。以下記

為證明定理4.1，需先證明如下引理成立。

引理4.1式（9）中的(A,B,C,D)滿足如下代數(shù)方程：

證明由分部積分可得：

式（16）與Φ2作L2內積得：

式（2）的第二個方程關于s求導兩次，并令s=0得：

進一步，式（24）與Φ2作L2內積可知：

式（16）和（24）分別與 ||?Φ2作L2內積得：

結合式（23）和式（25）～（27），以及式（19）中關于(A,B,C,D)的定義知式（21）成立。引理4.1證畢。

證明定理4.1對式（15）關于s求導并令s=0得：

上式與Φ作L2內積，又利用可得：

從而定理4.1得證。

5 結論

本文主要討論了一類帶Logistic源項的具有非線性信號動力學趨化模型在正常數(shù)平衡解(uc,vc)處的分支問題。在矩形區(qū)域上，運用Crandall和Rabinowitz的局部分支理論，以趨化敏感性系數(shù)χ為分支參數(shù)，對二維情況下非常數(shù)正平衡解的結構給出了細致的刻畫。

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