東莞市東華高級中學(523128) 王自強
不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種:
1.直接化為最值+分類討論 直接化為最值的優(yōu)點是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單,是不等式恒成立的同性通法,高考參考答案一般都是以這種解法給出,缺點是一般需要分類討論,解題過程較長,解題層級數(shù)較多,不易掌握分類標準;
2.分離參數(shù)+函數(shù)最值 分類參數(shù)的優(yōu)勢在于所得函數(shù)不含參數(shù),缺點在于函數(shù)結(jié)構(gòu)復雜,一般是函數(shù)的積與商,因為結(jié)構(gòu)復雜,導函數(shù)可能也是超越函數(shù),則需要多次求導,也有可能不存在最值,故需要求極限,會用到洛必達法則求極限;
3.縮小范圍+證明不等式 縮小參數(shù)范圍優(yōu)點是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單,分類范圍較小,分類情況較少,難點在于尋找特殊值,并且這種解法并不流行,容易被誤判.
例題 (2016全國新課標II文科第20題)己知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(1)當a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)若當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.解法一 (直接法)由于
f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)>0在x∈(1,+∞)上恒成立,則
(1)當a≤ 2時,則f′(x)> 0,故f(x)在x∈ (1,+∞)上為增函數(shù),則有f(x)>f(1)=0,故f(x)=(x+1)lnxa(x-1)>0在x∈(1,+∞)上恒成立,符合題意;
(2) 當 a > 2時,則 f′(1) < 0,且 f′(ea) > 0,故f′(x)=0在x∈(1,+∞)有唯一實根x0,則f(x)在(1,x0)為減函數(shù),又f(1)=0,則x∈(1,x0),f(x)< f(1)=0,不符合題意.綜上所述,a≤2.
解法二 (分離參數(shù)法)由于
故實數(shù)a的取值范圍為a≤2.
解法三 (縮小范圍)由于
f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)>0
在x∈(1,+∞)上恒成立且f(1)=0,則存在m >1,使得f(x)在x∈(1,m)上為增函數(shù).這等價于f′(x)=對x∈(1,m)恒成立.
令x=1,f′(1)≥ 0得a≤2.當a≤2時,
點評 當端點剛好適合題意時,則分離參數(shù)法可能會用到洛必達法則,縮小范圍則可利用端點值導數(shù)符號來求出參數(shù)范圍.
牛刀小試 已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-exlnx.
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,且b=1,求a;
(2)若b=-a,且函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
答案 (1)a=0;(2)a≥1.