雙圓弧斜齒齒輪泵脈動(dòng)特性分析及齒形設(shè)計(jì)

李閣強(qiáng) 張龍飛 韓偉鋒 鄧效忠 馮 勇

1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，洛陽(yáng)，471003 2.盾構(gòu)及掘進(jìn)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州，450001 3.河南科技大學(xué)機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，洛陽(yáng)，471003

0 引言

針對(duì)漸開(kāi)線齒輪泵存在的流量脈動(dòng)大、噪聲大、徑向力不平衡等問(wèn)題[1]，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一些解決方案，如張靜等[2]、楊國(guó)來(lái)等[3]采用斜齒代替直齒傳動(dòng)，宋愛(ài)平等[4]采用一種沿齒寬方向呈圓弧形狀的齒形齒輪代替直齒傳動(dòng)，有效改善了流量脈動(dòng)問(wèn)題；劉元偉等[5]設(shè)計(jì)的單圓弧齒輪泵在理論上無(wú)脈動(dòng)現(xiàn)象，但齒輪加工復(fù)雜，承載能力較低。力士樂(lè)公司的雙圓弧斜齒輪泵噪聲比普通齒輪泵平均降低11dB(A)，且流量與壓力脈動(dòng)遠(yuǎn)低于普通外嚙合齒輪泵，與內(nèi)嚙合齒輪泵相當(dāng)[6]。目前，對(duì)雙圓弧斜齒齒輪泵的排量計(jì)算方法及流量脈動(dòng)特性等尚無(wú)系統(tǒng)的理論分析，國(guó)內(nèi)更沒(méi)有相關(guān)產(chǎn)品。

筆者以雙圓弧斜齒齒輪泵為對(duì)象，利用容積變化法推導(dǎo)出泵的理論排量計(jì)算公式，對(duì)比最大瞬時(shí)排量與最小排量得出其脈動(dòng)特性，以正弦曲線為過(guò)渡曲線，依據(jù)齒輪共軛原理，得出雙圓弧斜齒輪端面齒廓方程。

1 雙圓弧斜齒輪及嚙合原理

雙圓弧齒輪是齒廓為圓弧形的點(diǎn)嚙合齒輪，把兩個(gè)單圓弧齒輪的凸凹齒廓組合在一個(gè)齒輪的齒廓上，即由兩段圓弧加一定的過(guò)渡曲線構(gòu)成。如圖1所示，圓弧a1b1為齒頂圓弧，圓弧ba為齒根圓弧，兩圓弧半徑相同(為了避免齒輪在嚙合過(guò)程中產(chǎn)生卡死現(xiàn)象及噪聲，在實(shí)際制造中，齒根圓弧半徑稍大于齒頂圓弧半徑)，圓弧中心在節(jié)圓上。b1b為過(guò)渡曲線，與齒頂齒根圓弧分別相切于b1點(diǎn)和b點(diǎn)(過(guò)渡曲線可以是直線、拋物線、正弦線、余弦線等[7])。

圖1 雙圓弧齒輪端面齒廓Fig.1 Transverse profile of double-circular-arc gear

雙圓弧齒輪傳動(dòng)在同一個(gè)端截面中僅有一點(diǎn)接觸，為了保證連續(xù)傳動(dòng)，必須做成斜齒，且兩齒輪螺旋角大小相等、方向相反，軸向重合度大于1。雙圓弧斜齒輪傳動(dòng)具有接觸強(qiáng)度高、彎曲強(qiáng)度高、使用壽命長(zhǎng)、加工工藝簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)[8]，因此，以雙圓弧斜齒輪代替普通漸開(kāi)線齒輪作為齒輪泵運(yùn)動(dòng)副，無(wú)論在平穩(wěn)性、力矩還是在使用壽命方面，都比普通漸開(kāi)線齒輪有很大優(yōu)勢(shì)。

較普通漸開(kāi)線齒輪，雙圓弧斜齒輪嚙合重疊系數(shù)大，傳動(dòng)平穩(wěn)，嚙合為一點(diǎn)連續(xù)接觸(在同一個(gè)端截面中僅有一點(diǎn)嚙合，在不同端截面中各點(diǎn)依次嚙合)，即在瞬時(shí)齒面可能同時(shí)存在兩個(gè)接觸點(diǎn)(圖2中1、2兩點(diǎn))，所以作為泵，不會(huì)像漸開(kāi)線齒輪泵那樣產(chǎn)生困油現(xiàn)象。

圖2 雙圓弧齒輪接觸點(diǎn)分布Fig.2 Contact point distribution of double-circular-arc gear

如圖3所示，雙圓弧斜齒輪的嚙合線為一條“8”字線，嚙合過(guò)程中始終是凹面與凸面嚙合，這與內(nèi)嚙合齒輪的嚙合特征相同，齒面間的接觸應(yīng)力遠(yuǎn)小于凸面與凸面間的接觸應(yīng)力，相對(duì)滑動(dòng)較小，因此壽命較長(zhǎng)[9-10]。同時(shí)，一對(duì)雙圓弧斜齒輪嚙合過(guò)程中，齒頂與齒根也參與嚙合，連續(xù)的齒面接觸降低了工作噪聲，恒定齒面接觸幾近以連續(xù)和無(wú)聲的方式輸送液壓流體。

圖3 雙圓弧斜齒輪的嚙合線Fig.3 Meshing lines of double-circular-arc helical gear

普通漸開(kāi)線外嚙合齒輪泵的齒輪重合度大于1，即在前一對(duì)齒輪尚未脫開(kāi)嚙合之前，后一對(duì)齒輪已經(jīng)進(jìn)入嚙合，兩對(duì)輪齒同時(shí)嚙合時(shí)，它們之間形成一個(gè)與吸油腔、壓油腔不相同的閉死容積，此即為困油現(xiàn)象，如圖4a所示。雙圓弧斜齒齒輪泵的齒輪嚙合方式為一點(diǎn)連續(xù)式，端面重合度小于1，軸向重合度大于1，因此不會(huì)產(chǎn)生困油現(xiàn)象(圖4b)，克服了困油現(xiàn)象造成的附加載荷，減小了機(jī)件的磨損、振動(dòng)和噪聲。

(a)漸開(kāi)線齒輪

(b)雙圓弧齒輪圖4 雙圓弧齒廓和漸開(kāi)線齒廓比較示意圖Fig.4 Sketch map of double circular arc tooth profile and involute tooth profile

2 雙圓弧斜齒輪端面齒形設(shè)計(jì)

進(jìn)行雙圓弧斜齒輪齒廓設(shè)計(jì)，首先需確定過(guò)渡曲線形式[11]，過(guò)渡曲線有多種選擇，以正弦曲線為過(guò)渡曲線的齒輪周節(jié)短、有效齒高大、輸出排量大[12]。同時(shí)，選擇較小的壓力角，減小了軸承的載荷，為實(shí)現(xiàn)泵的高壓化創(chuàng)造了條件。以正弦曲線為過(guò)渡曲線的端面齒廓方程設(shè)計(jì)如下。

如圖5所示，節(jié)圓相同的主動(dòng)輪O1和從動(dòng)輪O2，過(guò)主動(dòng)輪圓心O1作射線交主動(dòng)輪節(jié)圓于s點(diǎn)，∠AO1P=β=π/(2z)(z為齒數(shù))，任意設(shè)過(guò)A點(diǎn)的一條正弦曲線L為

(1)

式中，r為齒輪節(jié)圓半徑；t為參變量；t0為初始值；s為過(guò)渡曲線到x軸最大坐標(biāo)值的控制系數(shù)；n為控制正弦曲線周期的常數(shù)。

圖5 雙圓弧端面嚙合分析圖Fig.5 Double-circular-arc end face meshing analysis diagram

設(shè)過(guò)正弦曲線L上A點(diǎn)的切線與x軸交于點(diǎn)D，令A(yù)點(diǎn)壓力角為α，由圖5顯見(jiàn)，∠ADP=β+α。

對(duì)于A點(diǎn)，有

(2)

式中，tA為A點(diǎn)變量參數(shù)t的值。

由式(2)可得

(3)

(4)

切線AD的斜率為

(5)

x1=1.5r即n(1.5-t0)=π/(2z)時(shí)，y有極大值，求得

(6)

將式(4)、式(6)代入式(5)可得

(7)

綜上所述，在齒數(shù)z、壓力角α已知的情況下，可解出n、tA、t0，即可得出正弦曲線L。

在正弦曲線L上任取一點(diǎn)E，令其法線過(guò)節(jié)點(diǎn)P(r,0)，則曲線E點(diǎn)的法線方程為

(8)

E點(diǎn)坐標(biāo)分量為

(9)

式中，tE為E點(diǎn)變量參數(shù)t的值。

將式(2)、式(5)及P點(diǎn)坐標(biāo)代入式(8)可得

(10)

如圖5所示，以節(jié)點(diǎn)P為圓心，PE為半徑作圓弧EE′，EE′為主動(dòng)輪O1的齒根圓弧，亦為從動(dòng)輪O2的齒頂圓弧。

由此可得，齒頂(根)圓弧半徑r1為

(11)

因r=mz/2，可令齒高系數(shù)

(12)

在齒輪泵齒輪副設(shè)計(jì)中，一般認(rèn)為壓力角為14.5°有利于減小軸承載荷、徑向力，提高泵的綜合性能。當(dāng)壓力角α=14.5°時(shí)，不同齒數(shù)z下tA、t0、n、tE、f1的值如表1所示。

表1 齒形設(shè)計(jì)參數(shù)(α=14.5°)

確定齒輪O1上的一段曲線方程后，可通過(guò)齒輪嚙合共軛原理[13-16]求得齒輪O2與之相共軛的一段曲線方程，亦可通過(guò)齒輪O2上的一段曲線方程得到齒輪O1上的曲線方程，具體求解如下。

如圖6a所示，坐標(biāo)系S1(O1x1y1z1)、S2(O2x2y2z2)是兩齒輪嚙合傳動(dòng)空間固定坐標(biāo)系，z1軸與z2軸分別與兩齒輪軸線重合。x1軸與x2軸重合，它們的方向即為兩軸的最短距離方向，它們之間的距離即為中心距2r。

坐標(biāo)系Sm(O1xmymz1)、Sn(O2xnynz2)分別是與兩齒輪固連的坐標(biāo)系，在起始位置時(shí)，它們分別與坐標(biāo)系S1、S2重合。齒輪分別繞z1軸、z2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，坐標(biāo)系Sm(O1xmymz1)、Sn(O2xnynz2)運(yùn)動(dòng)到圖6a所示位置時(shí)，齒輪對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為θ，根據(jù)圖中所示坐標(biāo)關(guān)系可以得到由坐標(biāo)系Sm(O1xmymz1)變換到Sn(O2xnynz2)的坐標(biāo)變換矩陣：

(13)

在平面坐標(biāo)系O1x1y1中，曲線EA1是曲線EA共軛運(yùn)動(dòng)中展成的一段共軛曲線，它在平面坐標(biāo)系O2x2y2中的方程可通過(guò)坐標(biāo)矩陣Mnm得到：

(14)

將曲線EA1方程代入式(14)可得

(15)

同理，如圖6b所示，齒輪繼續(xù)分別繞z1軸、z2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，固連坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)到Sm(O2xmymz2)、Sn(O1xnynz1)時(shí)，齒輪對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為θ+β，根據(jù)圖中所示坐標(biāo)關(guān)系可得曲線AA′在平面坐標(biāo)系x1O1y1中的方程：

(16)

(a)齒輪轉(zhuǎn)角為θ

(b)齒輪轉(zhuǎn)角為θ+β圖6 雙圓弧斜齒輪嚙合傳動(dòng)空間坐標(biāo)系Fig.6 Spatial coordinate system of double circular helical gear meshing drive

在平面坐標(biāo)系O1x1y1中，曲線上E點(diǎn)的法線過(guò)節(jié)點(diǎn)P，PE為齒根圓弧半徑，設(shè)齒根圓弧CE的方程為

(17)

通過(guò)坐標(biāo)變換以及嚙合原理，可得平面坐標(biāo)系O1x1y1中齒頂圓弧AA′的方程：

(18)

嚙合線是齒輪齒面上的理論接觸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的集合，所以將理論接觸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值即可求出嚙合線方程式，故PE部分的嚙合線方程可通過(guò)坐標(biāo)變換得到：

(19)

至此，通過(guò)坐標(biāo)變換以及嚙合原理，完成了以正弦曲線為過(guò)渡曲線的雙圓弧斜齒齒輪泵的端面齒廓方程的求解。

3 雙圓弧斜齒齒輪泵排量計(jì)算及脈動(dòng)分析

圖7 曲線ABO旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的面積Fig.7 Area of curve ABO rotation swept

如圖8所示，當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)ξ角度即由圖示實(shí)線嚙合狀態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)至虛線嚙合狀態(tài)時(shí)，雙圓弧齒輪泵的容積變化為

V=V1+V2-V3+V4

式中，V1為ΔO1A11A12的對(duì)應(yīng)容積；V2為ΔO2A21A22的對(duì)應(yīng)容積；V3為梯形O1B1B2O2的對(duì)應(yīng)容積；V4為梯形O1C1C2O2的對(duì)應(yīng)容積。

圖8 雙圓弧直齒齒輪泵嚙合分析圖Fig.8 Meshing analysis diagram of double circular arc straight gear pump

可得壓油腔排出的容積：

(20)

式中，R為雙圓弧齒輪節(jié)圓半徑，R=(a+Δa)/2；a為齒輪中心距；Δa為齒輪中心距誤差；ra為齒輪齒頂半徑；ξ為齒輪轉(zhuǎn)角；β為雙圓弧直齒輪1/4周節(jié)所對(duì)應(yīng)的弧度。

由β=π/(2z)可得齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度ξ時(shí)，壓油腔排出的容積：

(21)

壓油腔壓出的液體瞬時(shí)流量為

(22)

式中，ω為齒輪轉(zhuǎn)角ξ所對(duì)應(yīng)的角速度。

對(duì)微元薄齒x進(jìn)行積分可得泵的瞬時(shí)流量

(23)

式中，b為齒寬。

泵旋轉(zhuǎn)一周的排量為

(24)

式中，T為齒輪轉(zhuǎn)一周所需要的時(shí)間，T=2π/ω。

雙圓弧斜齒輪可視為由無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限薄的雙圓弧直齒輪連續(xù)轉(zhuǎn)過(guò)1個(gè)相位角疊加而成，其流量輸出特性可由距基準(zhǔn)面為任意距離無(wú)限薄的雙圓弧直齒輪的流量特性通過(guò)積分得到。距基面x處(沿齒寬方向)嚙合點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角為

(25)

式中，β0為雙圓弧斜齒輪螺旋角；φ1為齒輪端面轉(zhuǎn)角。

厚度為dx的雙圓弧斜齒輪泵的瞬時(shí)排量為

(26)

式(26)是一個(gè)以2Nπ/z(N為正整數(shù))為周期的連續(xù)函數(shù)，且在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)左右對(duì)稱(chēng)，所以只需要考慮在[-π/z,π/z]內(nèi)的函數(shù)變化即可得到整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)特性，即輸出流量的脈動(dòng)特性。

如圖9所示，齒寬為b處的波形比齒寬為零處的波形超前一個(gè)相位角(btanβ0)/r，假設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為-π/z，B點(diǎn)坐標(biāo)為-π/z，則D點(diǎn)坐標(biāo)為π/z-(btanβ0)/r，假設(shè)齒寬為零處的波形在第N-1個(gè)周期，則齒寬為b處就存在第N-1和第N個(gè)周期的波形，由于不同周期內(nèi)的波形表達(dá)式不同，故應(yīng)該分為兩個(gè)區(qū)間分別進(jìn)行討論。

圖9 雙圓弧斜齒輪泵輸出瞬時(shí)排量示意圖Fig.9 Output instantaneous displacement of double circular arc helical gear pump

(27)

令dV/dφ1=0，可得

(28)

(29)

(30)

令dV/dl2=0，可得

(31)

由此可得，當(dāng)l2=b/2時(shí)，該函數(shù)有極小值。

(32)

通過(guò)上述分析計(jì)算可得雙圓弧斜齒齒輪泵排量的最大值與最小值，由最大值和最小值的差即可得到該泵的脈動(dòng)特性：

(33)

由式(33)可知，理論上雙圓弧斜齒齒輪泵的流量脈動(dòng)趨于零。

4 流量脈動(dòng)仿真分析

為驗(yàn)證流量脈動(dòng)理論計(jì)算的正確性，假定雙圓弧斜齒輪端面模數(shù)m=7.5 mm，齒數(shù)z=7，齒寬b=45 mm，壓力角α=14.5°，螺旋角β0=28°，可得齒頂、齒根圓弧半徑r1=f1m=5.204 mm，節(jié)圓直徑r=mz=52.5 mm，齒頂圓直徑Da=D+2r1=115.408 mm，齒根圓直徑Db=D-2r1=94.592 mm，D為節(jié)圓直徑。雙圓弧斜齒齒輪泵的簡(jiǎn)易模型如圖10所示。采用有限元軟件ANSYS/Workbench中的前處理模塊(ICEM)、分析計(jì)算模塊(Fluent)，并結(jié)合三維動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，對(duì)比分析齒輪參數(shù)相同的雙圓弧斜齒輪泵和普通漸開(kāi)線斜齒輪泵的流量脈動(dòng)。

圖10 雙圓弧斜齒齒輪泵簡(jiǎn)易模型Fig.10 Simple model of double circular arc helical gear pump

應(yīng)用ICEM對(duì)雙圓弧斜齒輪泵的流體域進(jìn)行網(wǎng)格劃分；由于齒輪泵中左右齒輪嚙合旋轉(zhuǎn)，即流動(dòng)要素是隨時(shí)間發(fā)生變化的，因此采用非定常流動(dòng)(Transient)模塊描述其流動(dòng)特性；由于尺寸旋轉(zhuǎn)較大將導(dǎo)致較大的逆壓力梯度，所以采用Models節(jié)點(diǎn)中的Realizable k-epsilon湍流模型；定義進(jìn)出口邊界類(lèi)型分別為pressure-inlet、pressure-outlet，設(shè)置進(jìn)口總壓力為0，出口總壓力為25 MPa，設(shè)置湍流方式為Intensity and Viscosity Ratio，湍流強(qiáng)度為5%，湍流黏度比為5。動(dòng)網(wǎng)格采用彈簧光順?lè)?Smoothing)以及局部網(wǎng)格重構(gòu)法(Remeshing)。設(shè)置網(wǎng)格重構(gòu)方法為local cell和local face，重構(gòu)頻率參數(shù)為1；齒輪泵的流量脈動(dòng)仿真只有左右兩個(gè)齒輪嚙合旋轉(zhuǎn)，因此可采用運(yùn)動(dòng)函數(shù)文件(profiles)定義兩個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn)；定義左右齒輪為剛體運(yùn)動(dòng)，齒輪上下壁面為變形區(qū)域，設(shè)置變形體型為Plane(設(shè)置區(qū)域節(jié)點(diǎn)只能在該平面上移動(dòng))。

在Monitors節(jié)點(diǎn)下設(shè)置Surface Monitors，以定義齒輪泵出口流量監(jiān)視器，采用Hybrid Initialization方法初始化，設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng)為5×10-6s，迭代次數(shù)為3000，內(nèi)迭代次數(shù)為40，計(jì)算后可得雙圓弧斜齒輪泵流量監(jiān)測(cè)曲線,如圖11所示，Y軸代表負(fù)值方向，表示流體流出計(jì)算域。由圖11可以看出，在開(kāi)始階段，兩種齒形齒輪泵流量持續(xù)增大，隨后輸出流量呈現(xiàn)出周期波動(dòng)，波動(dòng)間隔為齒輪泵的旋轉(zhuǎn)周期，可明顯看出雙圓弧斜齒輪泵的流量脈動(dòng)遠(yuǎn)小于普通漸開(kāi)線斜齒輪泵的流量脈動(dòng)。

圖11 齒輪泵流量監(jiān)測(cè)曲線Fig.11 Flow monitoring curve of gear pump

5 結(jié)論

(1)提出將雙圓弧斜齒輪作為齒輪泵的運(yùn)動(dòng)副，并證明其可以有效解決普通漸開(kāi)線外嚙合直齒齒輪泵流量脈動(dòng)大、噪聲大、困油現(xiàn)象嚴(yán)重等問(wèn)題。

(2)采用正弦曲線為過(guò)渡曲線進(jìn)行齒形設(shè)計(jì)，具有較大的有效齒高，同時(shí)可選擇較小的壓力角，達(dá)到了增大輸出排量、減小軸向載荷，以達(dá)到高壓化的目的。

(3)利用齒輪嚙合共軛原理給出了雙圓弧斜齒輪的端面齒廓方程設(shè)計(jì)方法，為實(shí)現(xiàn)齒輪泵的高性能提供了一種解決方案。

(4)采用有限元軟件ANSYS/Workbench，結(jié)合三維動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，對(duì)比分析齒輪參數(shù)相同的雙圓弧斜齒輪泵和普通漸開(kāi)線斜齒輪泵的流量脈動(dòng)，得出雙圓弧斜齒輪泵的流量脈動(dòng)遠(yuǎn)小于漸開(kāi)線斜齒輪泵的流量脈動(dòng)。

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