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    一種非全對稱低耦合度三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計及其運動學(xué)

    2018-02-05 06:15:17沈惠平楊廷力邵國為
    中國機(jī)械工程 2018年2期

    沈惠平 許 可 楊廷力 邵國為

    常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心,常州,213016

    0 引言

    KRUT等提出了一類可實現(xiàn)3T1R的四自由度I4L[1]、I4R[2]、Par4[3]、Heli4[4]并聯(lián)機(jī)器人,其中,I4機(jī)械手在兩相鄰支鏈末端安裝子平臺,兩子平臺通過齒輪齒條傳動,將兩子平臺間的相對移動轉(zhuǎn)化為末端執(zhí)行器繞z軸的轉(zhuǎn)動,但這種結(jié)構(gòu)使動平臺整體尺寸增大;趙鐵石等[5]提出了一種4-URU型3T1R并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型;楊廷力等[6]基于單開鏈理論提出了一類3T1R并聯(lián)構(gòu)型;黃田等[7]發(fā)明了3種Cross-IV的3T1R型四自由度高速并聯(lián)機(jī)械手;劉辛軍等[8]研制出具有一個動平臺的X4型并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī);FANG等[9]基于螺旋理論,提出了具有相同支鏈的4-DOF和5-DOF的并聯(lián)機(jī)構(gòu);ANCUTA等[10]提出了一種實現(xiàn)Sch?nflies運動的λ-四滑塊四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),并給出了該機(jī)構(gòu)的位置正反解、機(jī)構(gòu)奇異位形和工作空間分析;RICHARD等[11]對一種部分解耦的3T1R并聯(lián)操作手樣機(jī)進(jìn)行了運動學(xué)分析。

    上述3T1R機(jī)構(gòu)具有如下特點:①4條支鏈結(jié)構(gòu)完全相同,多為約束支鏈,制造、裝配較復(fù)雜;②4條支鏈對靜平臺的幾何中心(或2條以上中心線)完全對稱布置(簡稱全對稱);③耦合度κ較大,為κ=2[12],機(jī)構(gòu)位置正解、動力學(xué)求解較為復(fù)雜。

    為此,本文首先提出一種含不同支鏈結(jié)構(gòu)(2條約束支鏈、2條無約束支鏈)的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu),且僅對靜平臺的對角線對稱布置(簡稱非全對稱),耦合度較高(κ=2)。為此,采用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦方法來使機(jī)構(gòu)的耦合度降至為1,但保持其基本功能——方位特征(position and orientation characteristics, POC)及自由度(degree of freedom, DOF)不變;然后,給出了該降耦機(jī)構(gòu)位置正解求解的一維搜索法及其數(shù)值解;最后,分析了該降耦機(jī)構(gòu)的工作空間、轉(zhuǎn)動能力及奇異性條件。

    1 基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計理論[13]

    機(jī)構(gòu)末端運動輸出的POC方程為

    (1)

    (2)

    式中,MJi為第i個運動副的方位特征集;Mbi為第i條支鏈末端的POC集;MPa為機(jī)構(gòu)動平臺的POC集。

    并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度公式為

    (3)

    (4)

    由基于有序單開鏈(single-open-chain,SOC)的機(jī)構(gòu)組成原理知,任一機(jī)構(gòu)可分解為一系列約束度為正、零、負(fù)的三種有序單開鏈,單開鏈可視為斷開了某個構(gòu)件的回路,因此,第j個SOC的約束度定義為

    (5)

    式中,mj為第j個SOC的運動副數(shù);fi為第i個運動副的自由度(不含局部自由度);Ij為第j個SOC的驅(qū)動副數(shù)。

    進(jìn)一步,一組有序的υ個SOC可組成一個獨立回路數(shù)為υ的基本運動鏈(basic kinematics chain,BKC),對一個BKC而言,須有

    因此,其耦合度為

    (6)

    2 3T1R機(jī)構(gòu)設(shè)計及其拓?fù)涮匦苑治?/h2>

    2.1 3T1R機(jī)構(gòu)的設(shè)計及特點

    由式(1)所示的串聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程的“并運算”規(guī)則易知,圖1a所示的含4個球副S的平行四邊形復(fù)雜支鏈未端產(chǎn)生的POC集為三平移兩轉(zhuǎn)動(3T2R),兩轉(zhuǎn)動(2R)的軸線分別為R21、R22的軸線;由式(2)所示的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程的“交運算”規(guī)則知,當(dāng)2條這樣的3T2R復(fù)雜支鏈在靜平臺0上的轉(zhuǎn)動副軸線不平行(R21、 R11不平行)時,即可消除其一個轉(zhuǎn)動而保持繞動平臺1法線(R22或R12)的轉(zhuǎn)動,從而獲得3T1R輸出;進(jìn)一步,因該機(jī)構(gòu)的自由度為4,為使每條支鏈僅具有1個驅(qū)動副,其他的2條支鏈可由S-P-S、S-S-R等無約束支鏈來實現(xiàn),因此,本文提出的非全對稱3T1R機(jī)構(gòu)如圖1b所示[14-15]。

    (a)產(chǎn)生3T2R的復(fù)雜支鏈(b)3T1R機(jī)構(gòu)圖1 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計Fig.1 The design of a novel 3T1R parallel mechanism

    這樣,該機(jī)構(gòu)的靜平臺0與動平臺1之間僅用2條相同的含4個球副的平行四邊形復(fù)雜支鏈及2條S-S-R型無約束支鏈連接;靜平臺0上的R21與R11垂直布置,R3與R4可任意布置。從整體上看,該機(jī)構(gòu)僅相對于靜平臺的對角線直線t-t對稱,與具有4條含4S的平行四邊形復(fù)雜支鏈的H4、IR4、Par4、X4等完全對稱機(jī)構(gòu)相比,對稱性已有降低,介于完全對稱與完全不對稱之間,稱為非全對稱,但結(jié)構(gòu)簡單,制造成本降低,裝配容易。

    2.2 3T1R機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦苑治?/h3>

    2.2.1確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的POC集

    4條支鏈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分別為bi:{Ri1(-:(4S))⊥Ri2}(i=1,2);b3:{R3-S9-S10};b4:{R4-S12-S11}。

    選定動平臺1上的基點O′。確定支路末端構(gòu)件的POC集。因平行四邊形(4S)的運動輸出等價于2T1R,所示由式(1)得

    由式(2)得動平臺POC集:

    因此,動平臺1可實現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動輸出。

    2.2.2確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度

    此機(jī)構(gòu)可分解為3個獨立回路:

    SOC1{-R11(-(4S))⊥R12∥R22(-(4S))⊥R21}

    SOC2{-R3-S9-S10-}

    SOC3{-R4-S12-S11-}

    (1)確定第一個回路的獨立位移方程數(shù)ξL1。由式(3)、式(4)得

    (2)確定第二個回路的獨立位移方程數(shù)ξL2。由式(3)、式(4)得

    (3)確定第三個回路的獨立位移方程數(shù)ξL3。由式(3)得

    (4)確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度。由式(4)得

    因此,當(dāng)選取靜平臺0上的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R3、R4為主動副時,動平臺1可實現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動輸出。

    2.2.3確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)耦合度κ

    確定SOC1、 SOC2、 SOC3的約束度。因2.2.2節(jié)已求得各回路的獨立位移方程數(shù),即ξLj=6(i=1,2,3),因此,由式(5)得它們的約束度:

    由式(6)得

    可見,該機(jī)構(gòu)僅包含一個BKC,但耦合度仍較高(κ=2),因此,機(jī)構(gòu)位置正解還較復(fù)雜[16]。為此,可通過機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦方法,將其耦合度降低為1,使其位置正解易用一維搜索法求出,而保持機(jī)構(gòu)的運動輸出類型和自由度不變,即方位特征仍為三平移一轉(zhuǎn)動。

    3 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計

    3.1 降耦機(jī)構(gòu)的設(shè)計及POC集分析

    現(xiàn)根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)降耦原理和方法[17],將動平臺1上兩條復(fù)雜支鏈末端R12副與R22副軸線重合,從而構(gòu)成一條混合支鏈;兩條無約束S-S-R支鏈上的布置不變,這樣,可使機(jī)構(gòu)耦合度從2降至為1,但其方位特征和自由度不變,簡稱為降耦機(jī)構(gòu)[18]。降耦后的機(jī)構(gòu)仍僅關(guān)于靜平臺對角線t-t對稱,也為非全對稱,如圖2所示。此時,該機(jī)構(gòu)的三條支鏈為

    b1:{-R11(-(4S))-R12⊥((4S))R21-R22}

    b2:{-S10-S9-R3-}

    b3:{-R4-S12-S11-}

    圖2 低耦合度的3T1R降耦機(jī)構(gòu)(κ=1)Fig.2 3T1R coupling-reducing PM(κ=1)

    選定動平臺1上的基點O′,如圖2所示,確定支路末端構(gòu)件的POC集。由式(1),得

    確定動平臺POC集。由式(2),得

    因此,動平臺1仍可實現(xiàn)三平移、一轉(zhuǎn)動輸出。

    3.2 降耦機(jī)構(gòu)的自由度分析

    降耦機(jī)構(gòu)的三個獨立回路為

    SOC1{-R11(-(4S))-R12⊥(4S)⊥R21-}

    SOC2{-R22-S10-S9-R3-}

    SOC3{-R4-S12-S11-}

    (1)確定第一回路的獨立位移方程數(shù)ξL1。由式(3)、式(4)得

    (2)確定第二回路的獨立位移方程數(shù)ξL2。第二回路由SOC1、SOC2組成,也可看作由混合支鏈b1和無約束支鏈b2構(gòu)成,由式(3)、式(4)得

    (3)確定第三獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL3。由式(3)、式(4)得

    (4)確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度。由式(4)得

    因此,當(dāng)選取靜平臺0上的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R3、R4為主動副時,動平臺1仍可實現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動輸出。

    3.3 降耦機(jī)構(gòu)的耦合度κ計算

    同樣,由式(5),分別得確定SOC1、SOC2、SOC3的約束度:

    由式(6)得

    可見降耦機(jī)構(gòu)也僅包含一個BKC,但其耦合度已降低為1。因此,用基于序單開鏈的一維搜索法較易求得其位置正解。

    4 降耦機(jī)構(gòu)的位置分析

    4.1 序單開鏈法的位置正解求解原理

    由式(5)、式(6)可知,單開鏈的約束度Δj為正值、零、負(fù)值三種形式,其物理意義是:

    4.2 機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系的建立與參數(shù)標(biāo)注

    如圖3所示,該機(jī)構(gòu)靜平臺0為正方形,邊長為2l1;動平臺1為等邊三角形,邊長為l2。與靜平臺0相連接的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R3、R4分布在各邊的中點。

    圖3 降耦機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其標(biāo)注Fig.3 Structure parameters of coupling-reducing PM

    不失一般性,在靜平臺0上建立坐標(biāo)系OXYZ,O為靜平臺的重心,X軸垂直于R11的軸線,Y軸平行于R11的軸線,Z軸由右手笛卡兒坐標(biāo)系法則確定;在動平臺1上建立坐標(biāo)系O′X′Y′Z′,O′為動平臺1的重心,X′軸垂直于R22S11,Y′軸與R22S11平行,Z′軸由右手笛卡兒坐標(biāo)系法則確定。設(shè)R11c、R3S9和X軸正向的夾角分別為θ1、θ3;R21a、R4S12與Y軸正向的夾角分別為θ2、θ4;又設(shè)平行四邊形S5S6S7S8平面與Y軸正方向的夾角為虛擬角δ*,ab與X軸正方向的夾角為γ。

    為理解方便,將圖3所示機(jī)構(gòu)展開,得到其平面展開俯視圖(圖4)。其中,dR12和S3S4的夾角、和S8S7的夾角均為固定角β。設(shè)混合支鏈的各桿長分別為:R11c=R21a=l3,ab=cd=l4,R12b=R12d=l5,R22R12=l6;兩條無約束支鏈的桿長分別為R3S9=R4S12=l7,S9S10=S11S12=l8;設(shè)動平臺O′的坐標(biāo)為(x,y,z),R22S11與Y軸正向的夾角為動平臺姿態(tài)角α。

    圖4 機(jī)構(gòu)構(gòu)型的俯視展開表達(dá)Fig.4 Expression of top view for decoupling mechanism

    4.3 位置正解求解

    已知輸入角θ1、θ2、θ3、θ4,求動平臺1上O′的坐標(biāo)(x,y,z)和轉(zhuǎn)角α。

    易知,在靜坐標(biāo)系OXYZ下,靜平臺1上的4個轉(zhuǎn)動副R11、R21、R3、R4的坐標(biāo)分別為(l1,0,0)、(0,-l1,0)、(-l1,0,0)、(0,l1,0);點c、a及球副S9、S12的坐標(biāo)分別為(l1+l3cosθ1,0,l3sinθ1)、(0,l3cosθ2-l1,l3sinθ2)、(l7cosθ3-l1,0,l7sinθ3)、(0,l1+l7cosθ4,l7sinθ4)。

    (1)在Δ1>0的SOC1上,設(shè)定虛擬變量δ*,并求解中間變量γ。對于SOC1{-R11(-(4S))-R12⊥((4S))R21-},點b、d及轉(zhuǎn)動副R12的坐標(biāo)由幾何法求得

    (7)

    (8)

    (9)

    注:*表示與虛擬角δ*有關(guān),下同。

    由cd=l4,建立約束方程:

    整理并化簡得

    Asinγ+Bcosγ+C=0

    (10)

    令tanγ/2=u,則有

    (11)

    (12)

    (13)

    則動平臺上R22的坐標(biāo)為

    (14)

    由式(8)、式(14),可得

    (15)

    同理,可得動平臺1上S10、S11的坐標(biāo):

    (16)

    (17)

    由S10S9=l8,建立約束方程:

    整理并化簡得

    Esinα+Fcosα+G=0

    (18)

    令tanα/2=tα,解得

    (19)

    (3)在Δ3<0的SOC3上,建立約束方程。對于SOC3{-R4-S12-S11-},根據(jù)式(15)、式(17),由S11S12=l8,建立位置約束方程:

    (20)

    通過一維搜索,改變虛擬角δ*的賦值,直至滿足式(20),獲得真實的δ;將其代回位置正解求解式(6)~式(18),即可求出各個運動副位置的真實值,從而得到該機(jī)構(gòu)的位置正解。

    4.4 位置逆解求解

    已知動平臺1上O′的坐標(biāo)(x,y,z)和轉(zhuǎn)角α,求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4。

    4.4.1求機(jī)構(gòu)各點坐標(biāo)

    根據(jù)式(12)、式(13),可得點b、d的絕對坐標(biāo):

    (21)

    (22)

    球副S10、S11的絕對位置坐標(biāo),見式(16)、式(17)。

    4.4.2建立位置相容方程

    由桿長條件,建立以下位置約束方程:

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    4.4.3求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4

    由式(23)~(26),可得

    (27)

    i=1,2,3,4

    t1=l3zdt2=l3zbt3=l7zS10t4=l7zS11

    綜上可知,當(dāng)動平臺O′的坐標(biāo)(x,y,z)和轉(zhuǎn)角α已知時,輸入角θ1、θ2、θ3、θ4各有兩組解。故逆解數(shù)為16,因此,機(jī)構(gòu)有16種構(gòu)型。

    4.5 正逆解驗證

    參考ABB機(jī)器人I4R的結(jié)構(gòu)參數(shù),本機(jī)構(gòu)的2個平行四邊形的尺寸參數(shù)取與之相同[19],即l1=l2=400 mm,l3=l5=l7=375 mm,l4=l8=800 mm,l6=100 mm,β=90°。

    輸入角(θ1,θ2,θ3,θ4)分別取兩組數(shù)據(jù):數(shù)據(jù)Ⅰ(43.211 5°,141.543 3°,111.793 3°,66.921 9°);數(shù)據(jù)Ⅱ(50°,120°,120°,60°)。

    由MATLAB計算得機(jī)構(gòu)位置正解,見表1。

    表1 機(jī)構(gòu)的位置正解

    ?、裰械?組的正解數(shù)值,代入到逆解求解公式(式(27))中,得到θ1、θ2、θ3、θ4的16組逆解,如表2所示。

    表2機(jī)構(gòu)的位置逆解

    Tab.2 Numerical solutions of the inverse kinematics (°)

    表2中,第10組數(shù)據(jù)θ1=43.211 5°,θ2=141.543 3°,θ3=111.793 3°,θ4=66.921 9°,和正解求解時第Ⅰ組的4個輸入角一致;同樣,用第Ⅱ組中的正解數(shù)據(jù),也驗證了4個輸入角的一致性,因此,正逆解公式導(dǎo)出正確。

    5 降耦機(jī)構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)角能力分析

    5.1 工作空間分析

    降耦機(jī)構(gòu)動的工作空間分析,采用極坐標(biāo)三維搜索法[20]。先將搜索范圍限制在:300 mm≤z≤1 200 mm,-π≤θ≤π,0≤ρ≤1 000 mm;運用MATLAB軟件編程,得到降耦機(jī)構(gòu)工作空間的三維立體圖(圖5),圖6為Z向不同高度的X-Y截面圖。

    (a)z=300 mm(b)z=460 mm

    (c)z=700 mm(d)z=900 mm圖6 降耦機(jī)構(gòu)工作空間的Z截面圖Fig.6 Cross-section of the workspace

    圖5、圖6可以看出:

    (1)該機(jī)構(gòu)工作空間整體呈近似圓柱狀,對稱性較好,表面光滑。

    (2)當(dāng)300 mm≤z≤460 mm時,該機(jī)構(gòu)的工作空間X-Y截面圖不連續(xù),存在空洞;當(dāng)460 mm≤z≤1 175 mm時,截面連續(xù),且形狀比較規(guī)則,輪廓圓滑;從z=460 mm開始,隨著高度的增加,截面面積逐漸減小。

    (3)與同類3T1R機(jī)構(gòu)工作空間體積的比較,由文獻(xiàn)[19],不考慮轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角約束,當(dāng)高度500 mm≤z≤1 200 mm時,本文計算出I4R機(jī)構(gòu)與降耦機(jī)構(gòu)的工作空間體積分別為6.168 8×108mm3、7.556 3×108mm3;由文獻(xiàn)[21],當(dāng)高度766 mm≤z≤1 016 mm時,Cross IV-3機(jī)器人與降耦機(jī)構(gòu)工作空間體積分別為4.427 4×108mm3、5.152 9×108mm3。

    因此,降耦機(jī)構(gòu)比I4R、CrossIV-3工作空間分別增加了22.53%、16.39%。

    5.2 轉(zhuǎn)動能力分析

    轉(zhuǎn)動能力分析就是評估并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的轉(zhuǎn)動角度范圍,當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺基點處于工作空間內(nèi)某一位置時,其姿態(tài)角存在一定范圍。根據(jù)逆解公式,采用極限邊界搜索法,可求出基點處于工作空間內(nèi)任一點時的轉(zhuǎn)角范圍。

    現(xiàn)取z=1 000 mm,分別計算降耦機(jī)構(gòu)和H4機(jī)構(gòu)[22](動平臺未加齒輪傳動)在工作空間內(nèi)X-Y平面上各點轉(zhuǎn)角最大值αmax與最小值αmin(單位為(°))的分布,如圖7所示。

    (a)H4機(jī)構(gòu)的αmax分布

    (b)H4機(jī)構(gòu)的αmin分布

    (c)降耦機(jī)構(gòu)的αmax分布

    (d)降耦機(jī)構(gòu)的αmin分布

    分別取兩機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)的相同位置,例:A(100,225,1 000),得H4機(jī)構(gòu)、降耦機(jī)構(gòu)在該點位置的轉(zhuǎn)角范圍分別為[-40°,40°](圖7a、圖7b)、[-40°,102°](圖7c、圖7d),因此,降耦機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角范圍增加了77.5%。

    同樣,用該方法可求得這兩機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)其他位置的轉(zhuǎn)角范圍,對比得:降耦機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角范圍大,因此,降耦機(jī)構(gòu)動平臺無需特殊轉(zhuǎn)動放大裝置,便可獲得較大的轉(zhuǎn)角范圍。

    6 降耦機(jī)構(gòu)的奇異性分析

    6.1 機(jī)構(gòu)奇異性分析方法

    JpV=Jqω

    (28)

    Jq=diag(u11,u22,u33,u44)

    f11=xd-xc

    f12=yd-yc

    f13=zd-zc

    f21=xb-xa

    f22=yb-ya

    f23=zb-za

    f31=xS10-xS9

    f32=yS10-yS9

    f33=zS10-zS9

    f41=xS11-xS12

    f42=yS11-yS12

    f43=zS11-zS12

    u11=(zd-zc)l3cosθ1-(xd-xc)l3sinθ1

    u22=(zb-za)l3cosθ2-(yb-ya)l3sinθ2

    u33=(zS10-zS9)l7cosθ3-(xS10-xS9)l7sinθ3

    u44=(zS11-zS12)l7cosθ4-(yS11-yS12)l7sinθ4

    依據(jù)Jp、Jq矩陣是否奇異,將機(jī)構(gòu)的奇異位形分為如下三類:①det(Jq)=0時,機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異;②det(Jp)=0時,機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異;③det(Jq)=det(Jp)=0時,機(jī)構(gòu)發(fā)生綜合奇異。

    6.2 奇異性分析

    6.2.1輸入奇異

    當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異時,機(jī)構(gòu)的動平臺將失去某個方向的運動能力,此時,至少有一個運動鏈到達(dá)了工作空間的邊界。此時det(Jq)=0,方程解的集合為

    U={U1∪U2∪U3∪U4}

    (29)

    U1={(zd-zc)cosθ1-(xd-xc)sinθ1=0},即R11、c、d三點共線;

    U2={(zb-za)cosθ2-(yb-ya)sinθ2=0},即R21、a、b三點共線;

    U3={(zS10-zS9)cosθ3-(xS10-xS9)sinθ3=0},即R3、S9、S10三點共線;

    U4={(zS11-zS12)cosθ4-(yS11-yS12)sinθ4=0},即R4、S12、S11三點共線;

    例1 滿足子集U4的三維構(gòu)型如圖8所示。

    圖8 輸入奇異位形Fig.8 The input singularityof coulping-reducing PM

    此時,支鏈R4-S12-S11已經(jīng)到達(dá)該支鏈的運動極限位置,即動平臺已經(jīng)到達(dá)機(jī)構(gòu)工作的空間邊界。

    6.2.2輸出奇異

    當(dāng)所有的主動件鎖住時,動平臺依舊可以產(chǎn)生局部運動,稱為機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異。此時,若機(jī)構(gòu)動平臺上作用有限的力,則主動件上將需無窮大的驅(qū)動力才能達(dá)到力平衡。矩陣Jp的每一行的前三個元素即對應(yīng)一個向量,取

    (f11,f12,f13)=cd

    (30)

    (f21,f22,f23)=ab

    (31)

    (f31,f32,f33)=S9S10

    (32)

    (f41,f42,f43)=S12S11

    (33)

    若det(Jp)=0,則向量cd、ab、S9S10、S12S11有如下兩種情況:①至少有兩個向量相互平行;②至少有三個向量線性相關(guān)。其中,兩個向量平行的幾何意義是:當(dāng)ab∥S9S10時,有

    式中,η為常系數(shù)。

    整理得

    (34)

    對應(yīng)的三維構(gòu)型如圖9所示。

    圖9 輸出奇異位形舉例(ab∥S9S10)Fig.9 Output singularity of coupling-reducing PM (ab∥S9S10)

    即det(Jp)=0,對應(yīng)的三維構(gòu)型如圖10所示。

    圖10 輸出奇異位形舉例(ab∥cd)Fig.10 Output singularity of coupling-reducing PM(ab∥cd)

    6.2.3綜合奇異

    綜合奇異時,det(Jq)=det(Jp)=0,即輸入奇異和輸出奇異同時發(fā)生。機(jī)構(gòu)滿足U4且ab∥S9S10,則機(jī)構(gòu)滿足R4、S12、S11三點共線且滿足式(33),其三維構(gòu)型,如圖11所示。

    圖11 機(jī)構(gòu)的綜合奇異位形舉例Fig.11 Synthetic singularity of coupling-reducing PM

    7 結(jié)論

    (1)設(shè)計出一種非全對稱、低耦合度(κ=1)的3T1R并聯(lián)操作手,并求解了其位置正逆解。

    (2)工作空間分析表明:當(dāng)460 mm≤z≤1175 mm時,該機(jī)構(gòu)工作空間較規(guī)則,呈近似圓柱狀且連續(xù);進(jìn)一步,工作空間體積比相同參數(shù)的I4R機(jī)構(gòu)大22.53%,比Cross IV-3大16.39%;同時,其轉(zhuǎn)角范圍大于同類3T1R的H4機(jī)構(gòu)等。

    (3)通過奇異位形分析,得到了降耦機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異、輸出奇異和綜合奇異的條件。

    (4)降耦機(jī)構(gòu)含2條無約束支鏈,結(jié)構(gòu)簡單、制造裝配方便,具有一定的研發(fā)價值。

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