含轉(zhuǎn)動副間隙的兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)建模與動態(tài)特性分析

侯雨雷 井國寧 鄧云蛟 楊彥東 曾達幸

燕山大學(xué)機械工程學(xué)院,秦皇島,066004

0 引言

實際工況下，機構(gòu)運動鉸鏈的間隙是不可避免的，它的產(chǎn)生涉及到機械的加工制造、安裝調(diào)試、材料形變、摩擦磨損等從設(shè)計到使用的各個方面[1-2]，而間隙的存在很大程度上會引起機構(gòu)振動、噪聲，致使精度下降、過度磨損、壽命縮短等。

近幾十年來，眾多學(xué)者對含間隙機構(gòu)進行了大量研究。趙寬等[3]以含間隙的曲柄滑塊機構(gòu)為研究對象，研究了系統(tǒng)物理和幾何參數(shù)的隨機性對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。李仕華等[4]分別以銷軸和兩維指向機構(gòu)為研究對象，結(jié)合“接觸-分離”兩狀態(tài)模型，分析了不同重力環(huán)境下含間隙鉸位置的運動軌跡及銷軸與套筒碰撞力的變化規(guī)律。時兵等[5]針對大型重載機構(gòu)虛擬樣機中的間隙旋轉(zhuǎn)鉸，基于間隙矢量模型分析了鉸鏈間隙對機構(gòu)動力學(xué)特性的影響。ZHANG等[6]以平面3-RRR并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，分析了多間隙下載荷、運動速度以及運動軌跡對機構(gòu)性能的影響。FLORES等[7]對考慮潤滑的含間隙機構(gòu)的動力學(xué)進行了研究。VAREDI等[8]以接觸力最小為優(yōu)化目標，對含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的質(zhì)量進行優(yōu)化，有效減小了沖擊與振動。ZHANG等[9]以曲柄滑塊機構(gòu)為研究對象，分析了含轉(zhuǎn)動副間隙的多體系統(tǒng)的性能優(yōu)化。OLYAEI等[10]對含間隙的曲柄滑塊機構(gòu)進行控制，使機構(gòu)由混沌運動轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\動。RAHMANIAN等[11]研究了機構(gòu)隨間隙大小而變化的分岔圖，分析了間隙對機構(gòu)穩(wěn)定性的影響。劉宏昭等[12]研究了構(gòu)件柔性和鉸鏈間隙對機構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，并用Archard磨損模型對間隙運動副的磨損進行了預(yù)測。

接觸碰撞[13]是含間隙機構(gòu)的典型現(xiàn)象，而描述該現(xiàn)象所應(yīng)用的接觸力模型對求解結(jié)果有很大影響。BAI等[14]提出一種基于Lankarani-Nikravesh接觸力模型與改進彈性模型的混合接觸力模型。王庚祥等[15]將Flores接觸模型中的常數(shù)剛度系數(shù)修正為非線性剛度系數(shù)而提出一種改進的接觸力模型，并利用增廣法對考慮球面副的4-SPS/CU并聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)建模，分析了間隙對機構(gòu)動態(tài)特性的影響。

并聯(lián)機構(gòu)以其比剛度大、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強、無累積誤差等優(yōu)點，廣泛用于航空航天、醫(yī)療器械、人形機器人[16]等諸多領(lǐng)域。高精度、高可靠性裝備對機構(gòu)動力學(xué)特性提出更高要求，因此并聯(lián)機構(gòu)中間隙的存在對機構(gòu)動力學(xué)的影響日益變得不容忽視。已有文獻中含間隙機構(gòu)的動力學(xué)建模主要集中在比較簡單的平面機構(gòu)，對含間隙的并聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)分析還很少見。

本文在此背景下，提出一種修正的接觸力模型，并驗證其有效性；同時以含間隙RU-RPR(R為轉(zhuǎn)動副，U為虎克鉸，P為移動副)并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，應(yīng)用該修正的接觸力模型對機構(gòu)的動態(tài)特性予以分析。

1 含間隙RU-RPR的并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)方程的建立

如圖1所示，RU-RPR兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)由固定平臺、動平臺以及連接兩平臺的兩條支鏈組成，其中，分支2的移動副E的移動方向與該分支兩轉(zhuǎn)動副C、D軸線的公垂線平行，兩分支中與固定平臺相連的兩轉(zhuǎn)動副A、D的軸線相互平行且與虎克鉸B的一條軸線平行，虎克鉸的另一條軸線與轉(zhuǎn)動副C的軸線重合[17]。固定坐標系o0x0y0z0與定平臺相固連，o2x2y2z2為與動平臺2相固連的局部坐標系，oixiyizi(i=1,3,4)為與構(gòu)件i質(zhì)心固連的局部坐標系，坐標原點oi為構(gòu)件i的質(zhì)心點，且各坐標系原點位于同一平面內(nèi)。

圖1 RU-RPR兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of RU-RPR 2-DOFrotational parallel mechanism

RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)含有4個活動構(gòu)件，本文假設(shè)D處的轉(zhuǎn)動副存在間隙，其他運動副處于理想狀態(tài)。為便于描述該機構(gòu)運動學(xué)狀態(tài)，取機構(gòu)的廣義坐標為

(1)

式中，qj為構(gòu)件j的質(zhì)心坐標，j=1,2,3,4。

由于構(gòu)件1、3、4均在xioiyi平面內(nèi)運動，故構(gòu)件1、3、4在定坐標系中可寫成矩陣形式：

qi=[xiyiθi]T

(2)

式中，(xi，yi)為構(gòu)件i的質(zhì)心在定坐標系下的坐標；θi為局部坐標系在定坐標系下相對于z0的轉(zhuǎn)角。

機構(gòu)動平臺具有2個轉(zhuǎn)動自由度，可以先繞z2軸轉(zhuǎn)動，再繞y2軸轉(zhuǎn)動。若以z-y-x型歐拉角表示動平臺上局部坐標系相對于定坐標系的轉(zhuǎn)動，則可以寫成矩陣形式 [θ2β20]T，因此動平臺在定坐標系中可表示為

q2=[x2y2θ2β2]T

(3)

RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)中關(guān)節(jié)點A、B、C處的約束方程可寫為

ΦP=rl+AlrPl-rh-AhrPh=02×1

(4)

式中，rl、rh為鉸鏈連接的兩個構(gòu)件l和h質(zhì)心點的位置坐標，rl=[xlyl]T，rh=[xhyh]T；rPl、rPh為關(guān)節(jié)點A、B、C分別在局部坐標系ol和oh下的位置；Al、Ah為旋轉(zhuǎn)矩陣。

構(gòu)件2與3始終垂直，因此有

Φ23=θ2-θ3-π/2=0

(5)

由機構(gòu)結(jié)構(gòu)組成可知，E處移動副導(dǎo)路方向和C處轉(zhuǎn)動副軸線垂直，則連線o2C與連線o3o4垂直。令d、s分別為o2C與o3o4的方向向量，且構(gòu)件3、構(gòu)件4轉(zhuǎn)動角度相同，即可得到E處移動副的2個約束關(guān)系ΦE1、ΦE2：

ΦE1=s·d=0

(6)

ΦE2=θ4-θ3=0

(7)

此外，還有2個驅(qū)動約束方程：

(8)

(9)

D處轉(zhuǎn)動副含有間隙，由接觸力進行約束；式(4)～式(9)組成含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的整體約束方程(包含理想運動副約束與驅(qū)動約束)：

(10)

式(10)關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)即為該并聯(lián)機構(gòu)的速度約束方程：

(11)

式(10)關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)即為該并聯(lián)機構(gòu)的加速度約束方程：

(12)

利用牛頓-歐拉法建立系統(tǒng)帶拉格朗日乘子的動力學(xué)方程：

(13)

式中，M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；λ為拉格朗日乘子矢量，與和運動副相連的構(gòu)件之間的內(nèi)力、內(nèi)力矩相關(guān)；g為廣義力矢量，包含外力、外力矩。

式(12)、式(13)可以組成一個微分代數(shù)方程：

(14)

(15)

式中，α、ξ為大于0的修正參數(shù)。

從而達到衰減系統(tǒng)違約量的目的。

2 轉(zhuǎn)動副間隙建模

轉(zhuǎn)動副間隙模型如圖2所示，其中，Ou、Ow分別表示構(gòu)件u上軸承和構(gòu)件w上軸的中心位置，rOu、rOw分別是軸承和軸的中心在固定坐標系下的位置矢量，則軸承和軸的間隙矢量為

e=rOk-rOu

(16)

其單位矢量為

n=e/e

(17)

式中，e為間隙矢量的幅值。

Qu、Qw分別表示軸承和軸碰撞時的碰撞點，rQu、rQw分別為軸承和軸碰撞時相應(yīng)的碰撞點在固定坐標系下的位置矢量，即

rQk=rOw+Rkn

(18)

k=u,w

式中，Ru、Rw分別為軸承與軸的半徑。

圖2 轉(zhuǎn)動副間隙模型Fig.2 Gap model of the rotation pair

式(18)兩邊對時間求導(dǎo)，可得碰撞點速度：

(19)

將碰撞點的相對速度投影到碰撞平面的切向和法向平面，可得相對的法向速度vn和切向速度vt：

(20)

其中，切向矢量t可以通過將n逆時針旋轉(zhuǎn)90°獲得。

軸承和軸的穿透深度為

δ=e-r

(21)

式中，r為半徑間隙，r=Ru-Rw。

δ≥0時，軸承與軸接觸，反之，軸承與軸沒有接觸。

分析每次碰撞的初始碰撞速度及碰撞面的方向時，精確檢測出碰撞點非常重要。軸承與軸發(fā)生碰撞的條件是

δ(tn)δ(tn+1)≤0

(22)

式中，δ(tn)、δ(tn+1)分別為碰撞前后的穿透深度。

碰撞過程中必然產(chǎn)生碰撞力，此處應(yīng)用修正的接觸力模型來計算法向接觸力(后文將詳細介紹)并用AMBRSIO[19]提出的修正Coulomb摩擦力法則來計算切向接觸力，軸對軸承的切向接觸力的表達式為

Ft=-cfcdFnvt/|vt|

(23)

(24)

式中，cf為摩擦因數(shù)；cd為動態(tài)修正系數(shù)；v0、v1為給定的速度界限。

3 接觸力模型的修正與校驗

3.1 接觸力模型的修正

Lankarani-Nikravesh接觸力模型既涉及碰撞過程中的能量損失，又考慮碰撞體的材料屬性、局部彈性變形以及碰撞速度等信息[2]，廣泛用于含間隙機構(gòu)的分析中，其表達式為

(25)

剛度系數(shù)表達式為

(26)

式中，νk、Ek、Rk分別為泊松比、彈性模量和半徑；下標u、w分別表示構(gòu)件u上的軸承和構(gòu)件w上的軸。

阻尼系數(shù)可表示為

(27)

Lankarani-Nikravesh接觸力模型還存在一些不足：一方面，其剛度系數(shù)忽略了碰撞體間嵌入深度與接觸剛度的耦合關(guān)系，僅適用于大間隙、小載荷的接觸問題；另一方面，其阻尼系數(shù)使用范圍受恢復(fù)系數(shù)的限制，僅適用于恢復(fù)系數(shù)較大(碰撞體的材料為硬材料)的情況，不適用于恢復(fù)系數(shù)較小(碰撞體的材料為軟材料)的碰撞問題。

式(26)所示的Hertz剛度系數(shù)K為一定值，僅與碰撞體的材料屬性、曲率半徑相關(guān)，而未考慮與碰撞體之間嵌入深度的關(guān)系。另外，Hertz接觸公式僅適用于大間隙、小載荷的接觸問題[2]。

文獻[20]基于改進的彈性基礎(chǔ)模型得到了載荷P與變形量(穿透深度)δ間的關(guān)系為

(28)

式中，ΔR為軸承與軸之間的半徑差。

文獻[2]根據(jù)式(28)，提出了非線性剛度系數(shù)，擴展了剛度系數(shù)適用間隙尺寸的范圍，可以應(yīng)用于各種尺寸大小的轉(zhuǎn)動副間隙，其剛度系數(shù)的表達式為

(29)

文獻[21]對絕大多數(shù)含有阻尼項的接觸力模型進行了對比研究，結(jié)果表明Lankarani-Nikravesh接觸力模型僅適用于恢復(fù)系數(shù)較大的情況，并且建議恢復(fù)系數(shù)大于0.7。此外，通過該文得到的不同接觸力模型下的力與壓痕關(guān)系可以推得，Lankarani-Nikravesh接觸力模型耗散較少能量，文獻[22]也表達了相同的觀點。

相比Lankarani-Nikravesh接觸力模型，F(xiàn)lores接觸力模型的結(jié)構(gòu)形式相對簡單，便于數(shù)值計算，而且使用范圍不受恢復(fù)系數(shù)的限制，并適用于軟材料、硬材料的接觸碰撞情形。Flores的接觸力表達式中的阻尼項為

(30)

針對Lankarani-Nikravesh接觸力模型的不足，本文結(jié)合式(29)、式(30)提出修正的接觸力模型的表達式為

(31)

3.2 修正接觸力模型的校驗

文獻[23]以曲柄滑塊機構(gòu)為研究對象，考慮轉(zhuǎn)動副間隙，基于Lankarani-Nikravesh接觸力模型，針對不同的間隙大小與驅(qū)動速度進行動力學(xué)仿真計算，對比數(shù)值仿真與實驗分析得到的滑塊加速度，從而驗證含間隙轉(zhuǎn)動副模型的有效性。本文基于修正的接觸力模型(式(31))，將仿真分析結(jié)果與文獻[23]的實驗數(shù)據(jù)進行對比，以驗證修正模型的有效性。

含間隙曲柄滑塊機構(gòu)如圖3所示，曲柄滑塊機構(gòu)的基本參數(shù)、動力學(xué)仿真參數(shù)分別如表1、表2所示，與文獻[23]一致。

圖3 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of slider crank mechanism with clearance

部件長度(m)質(zhì)量(kg)慣量(kg·m2)曲柄0．0517．9000．460327連桿0．301．1300．015300滑塊1．0130．000772

圖4、圖5所示分別為驅(qū)動速度200 r/min時不同的間隙尺寸下的實驗分析結(jié)果[23]與修正模型的仿真分析結(jié)果。仿真結(jié)果表明，含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的滑塊加速度相對于無間隙的滑塊加速度有所波動，且隨著間隙的增大，滑塊的加速度波動更加劇烈，波動頻率則下降；同時，波動的幅值與實驗數(shù)據(jù)相一致，而數(shù)據(jù)上的偏差則是由模型中桿件、關(guān)節(jié)的柔性及測量因素等導(dǎo)致的。對比結(jié)果表明，修正的接觸力模型可以有效分析含間隙機構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)。

表2 含間隙曲柄滑塊機構(gòu)動力學(xué)參數(shù)

(a)間隙為0.1 mm

(b)間隙為0.25 mm

(c)間隙為0.5 mm

(d)間隙為1 mm圖4 不同間隙尺寸下的實驗分析結(jié)果[23]Fig.4 Experimental data with different clearances[23]

圖5 不同間隙尺寸下的修正接觸力模型仿真分析結(jié)果Fig.5 Simulation results of modified contact force models with different clearances

4 含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)仿真

考慮避開機構(gòu)奇異位形[24]，不妨設(shè)定RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)的運動規(guī)律為

(32)

RU-RPR機構(gòu)桿件形狀見圖1，多選用長方形和圓柱形，其材料為45鋼，則可得到RU-RPR機構(gòu)基本參數(shù)，如表3所示，機構(gòu)動力學(xué)數(shù)值求解流程如圖6所示，機構(gòu)動力學(xué)仿真參數(shù)如表4所示。

根據(jù)流程圖應(yīng)用四階Runge-Kutta法予以求解，借助MATLAB軟件編制程序并進行計算，求得兩種不同摩擦因數(shù)下(cf=0.01，0.05)間隙并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)特性；同時，在ADAMS動力學(xué)仿真軟件中建立RU-RPR機構(gòu)理想運動副的動力學(xué)模型，求得理想運動副條件下機構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)并將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB軟件中，與間隙運動副條件下的響應(yīng)曲線進行對比，結(jié)果分別如圖7、圖8所示。

圖7表示摩擦因數(shù)cf=0.01時D處轉(zhuǎn)動副間隙對該并聯(lián)機構(gòu)動態(tài)特性的影響。由圖7a～圖7c可以看出，含間隙條件下并聯(lián)機構(gòu)的角加速度、加速度和驅(qū)動力矩的變化曲線與理想條件下的整體運動趨勢一致，在一定程度上說明了所建立的機構(gòu)動力學(xué)方程及其求解的正確性。圖7a顯示，間隙的存在會使動平臺繞z0軸轉(zhuǎn)動的角加速度相對于無間隙時的角加速度發(fā)生劇烈的波動，此時角加速度的峰值達到5973 rad/s2；角加速度劇烈波動的時間點與圖7d中嵌入深度變化較快的時間點是吻合的，如在t=1.07 s附近，嵌入深度發(fā)生突變，軸與軸承之間分離之后劇烈碰撞，此時角加速度曲線也發(fā)生突變，說明碰撞是導(dǎo)致速度波動的原因；圖7b中動平臺沿x方向的加速度曲線、圖7c中A處驅(qū)動力矩曲線變化趨勢與圖7a中的一致，機構(gòu)呈現(xiàn)出非線性。

表3 RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)基本參數(shù)

圖6 含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)數(shù)值求解流程圖Fig.6 Flow diagram of numerical solution of RU-RPR parallel mechanism with clearance

參數(shù)數(shù)值軸承半徑Ru(mm)15恢復(fù)系數(shù)ce0．6間隙大小r(mm)0．3驅(qū)動頻率ω(rad/s)20πBaumgarte修正系數(shù)α30Baumgarte修正系數(shù)β30彈性模量Eu、Ew(GPa)200泊松比νu、νw0．3積分步長dt(ms)0．01

(a)動平臺繞z0軸轉(zhuǎn)動的角加速度曲線

(b)動平臺沿x方向的加速度曲線

(c)A處驅(qū)動力矩曲線

(d)嵌入深度曲線圖7 cf =0.01時RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動態(tài)特性Fig.7 Dynamic characteristics of the RU-RPR parallel mechanism with cf=0.01

(a)動平臺繞z0軸轉(zhuǎn)動的角加速度曲線

(b)動平臺沿x方向的加速度曲線

(c)A處驅(qū)動力矩曲線

相比于圖7，圖8a中角加速度曲線非線性特性減弱，呈現(xiàn)出明顯的周期性，而其峰值為9948 rad/s2，增大了66.5%，圖8b～圖8d亦表現(xiàn)出相似特性。

(d)嵌入深度曲線圖8 cf =0.05時RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動態(tài)特性Fig.8 Dynamic characteristics of the RU-RPR parallel mechanism with cf=0.05

對比不同摩擦因數(shù)下機構(gòu)的動態(tài)特性可以得出：隨著摩擦因數(shù)的增大，機構(gòu)非線性特性減弱，但沖擊程度變得更為嚴重，其原因是摩擦因數(shù)的增大導(dǎo)致系統(tǒng)耗散更多的能量，從而變得穩(wěn)定；摩擦因數(shù)的增大導(dǎo)致切向接觸力增大，進而加重了接觸碰撞的程度。

5 結(jié)論

(1)采用微分代數(shù)形式的方程建立了含間隙RU-RPR并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型，并針對Lankarani-Nikravesh接觸力模型的不足，提出一種修正的接觸力模型，并校驗其有效性，擴展了應(yīng)用間隙的適用范圍。

(2)應(yīng)用修正的接觸力模型并借助四階Runge-Kutta法對不同摩擦因數(shù)下含間隙RU-RPR的并聯(lián)機構(gòu)進行動態(tài)特性仿真分析，結(jié)果表明摩擦因數(shù)的增大使系統(tǒng)耗散更多的能量且切向接觸力增大，機構(gòu)表現(xiàn)出非線性特性減弱，而沖擊程度增大的現(xiàn)象。

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