一個(gè)(3+1)維非線性演化方程的周期波解

郭婷婷

(山西大學(xué) 商務(wù)學(xué)院， 山西 太原 030031)

0 引 言

求解非線性偏微分方程的精確解是研究非線性物理科學(xué)的重要組成部分， 現(xiàn)階段已經(jīng)求出的精確解有孤立波解， 有理解， 周期波解， negaton解， peakon解， complexiton解等[1-3]. 這些解的獲得對非線性物理現(xiàn)象的研究意義重大， 譬如， 精確解中的鐘狀孤波解可以用來模擬流體動(dòng)力學(xué)中所觀測到的波動(dòng)現(xiàn)象. 這些不同類型的精確解之間也有一定的關(guān)系， 可以通過研究解的一致性進(jìn)而構(gòu)造新的精確解. 文中涉足高維非線性演化方程， 針對一個(gè)非線性(3+1)維演化方程[4]進(jìn)行研究， 給出其1-周期波解和2-周期波解， 結(jié)合該方程的1-孤波解和2-孤波解來研究這兩種解的關(guān)系， 并進(jìn)行解的漸近性分析.

M維黎曼theta函數(shù)[5]以傅里葉級數(shù)的形式定義如下：

式中：β=(β1,β2,…,βM)T∈CM為M維復(fù)位移向量；v為M維正定實(shí)值對稱矩陣；p=(p1,p2,…,PM)T∈ZM為M維整數(shù)向量. 其中兩個(gè)向量的內(nèi)積運(yùn)算定義如下： 如果a=(a1,a2,…,aM)T,b=(b1,b2,…,bM)T為2個(gè)向量， 那么向量a與b的內(nèi)積為〈a,b〉=a1b1+a2b2+…+aMbM. 黎曼theta函數(shù)具有周期性[6]

L(β+1+v,v)=e-iπv-2πiβL(β,v).

(1)

關(guān)于Dx1,Dx2,…,DxM,Dt的雙線性算子[7]給出如下

由算子定義可以得出以下運(yùn)算性質(zhì)[8]： 假設(shè)αj=pjx1+qjx2+…+rjxM+sjt+wj,j=1,2, 則

(p1-p2)a(q1-q2)b…(r1-r2)c(s1-s2)deα1+α2,

(2)

式中：pj,qj…,rj,sj,wj為常數(shù). 這個(gè)性質(zhì)在獲取方程的周期波解和雙線性表示的構(gòu)造過程中都起到很重要的作用.

對于(3+1)維非線性演化方程

3ψyy+3ψzz+(ψ3x+6ψψx+ψt)x=0,

(3)

我們可以作對數(shù)變換ψ=(2lnH)xx, 并結(jié)合雙線性算子的關(guān)系式[9]

把非線性方程雙線性化為

H(x,y,z,t)=0,

(4)

式中：C為積分常數(shù). 根據(jù)Hirota雙線性方法[10]， 如果將H(x,y,z,t)取為δ的冪級數(shù)形式H(x,y,z,t)=1+δH1+δ2H2+o(δ2), 代入式(4)中整理關(guān)于δ的冪次項(xiàng)， 假設(shè)H1=eα,α=ax+by+cz+dt+e, 取δ=1可得出非線性(3+1)維演化方程式(3)的1-孤子解

ψ=2[ln(1+eα)]xx,

α=ax+by+cz+dt+e.

(5)

假設(shè)H1=eα1+eα2,αj=ajx+bjy+cjz+djt+ej,j=1,2. 經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算， 可得出非線性(3+1)維演化方程式(3)的2-孤子解

(6)

1 (3+1)維非線性演化方程的1-周期波解

假設(shè)一維黎曼theta函數(shù)

(7)

是該雙線性方程的解， 其中β=fx+gy+hz+lt+m, 那么

由Hirota算子的運(yùn)算性質(zhì)式(2)， 上式可化為

4π2[2q′-(p′-2)]2fl+C}eiπv{q′2+[q′-(p′-2)]2}e2πi(p′-1)v=R(p′-2)e2πi(p′-1)v=0.

當(dāng)p′為奇數(shù)時(shí)，R(p′)=R(1)eπi(p′+1)v, 當(dāng)p′為偶數(shù)時(shí)，R(p′)=R(0)eπip′v, 那么要使一維黎曼theta函數(shù)式(7)是雙線性(3+1)維方程式(4)的解， 就要使R(p′)為0， 即

(8)

4π2(2q-1)2fl+C]eiπv·(2q2-2q+1)=0.

(9)

為簡單起見， 將式(8)～(9)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)

(10)

16π4(2q-1)4f4]η2q2-2q+1,eiπv=η.

為求解以上線性方程組來確定黎曼theta函數(shù)中的參數(shù)l和積分常量C， 先將線性系統(tǒng)式(10)中的系數(shù)矩陣與常數(shù)項(xiàng)矩陣的所有元素展開成η的冪級數(shù)形式

r11=-32π2fη2-128π2fη8+o(η8),

r12=1+2η2+2η8+o(η8),

(11)

r21=-8π2fη-72π2fη5+o(η5),

r22=2η+2η5+o(η5),

(12)

S1=32π2(3h2+3g2-16π2f4)η2-

128π2(3h2+3g2-64π2f4)η8+o(η8),

(13)

S2=[24π2(h2+g2)-32π4f4]η+

[216π2(h2+g2)-2 592π4f4]η5+o(η5)，

(14)

于是線性系統(tǒng)式(10)的各項(xiàng)將可以變形為等價(jià)形式

將展開式(11)～(14)代入R(l,C)T=S中， 其中R=(rij)2×2,S=(S1,S2)T, 整理η的相同冪次項(xiàng)得

l1=0, C2=192π2(h2+g2)-640π4f4,

即

C=[192π2(h2+g2)-640π4f4]η2+o(η2),

(15)

于是一維黎曼theta函數(shù)式(7)是雙線性方程式(4)的解， 其中l(wèi)和積分常量C由式(15)確定， 而f,g,h,m,v為自由變量. 由黎曼theta函數(shù)的周期性式(1)得

β=fx+gy+hz+lt+m,

(16)

是(3+1)維非線性演化方程式(3)的1-周期波解.

2 (3+1)維非線性發(fā)展方程的2-周期波解

假設(shè)二維黎曼函數(shù)

βj=fjx+gjy+hjz+ljt+mj,j=1,2，

(17)

是雙線性(3+1)維演化方程(4)的解， 由雙線性算子的運(yùn)算性質(zhì)式(2)得

12π2〈p-q,h〉2+16π4〈p-q,a〉4-4π2〈p-q,f〉〈p-q,l〉+C]e2πi〈β,q+p〉+πi(〈vq,q〉+〈vp,p〉)·

4π2〈2p-η1,f〉〈2p-η1,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η1),(p-η1)〉)=0,

(18)

4π2〈2p-η2,f〉〈2p-η2,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η2),(p-η2)〉)=0,

(19)

4π2〈2p-η3,f〉〈2p-η3,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η3),(p-η3)〉)=0,

(20)

4π2〈2p-η4,f〉〈2p-η4,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η4),(p-η4)〉)=0,

(21)

〈vp,p〉+〈v(p-ηk),(p-ηk)〉=

(12π2〈2p-η1,g〉2+12π2〈2p-η1,h〉2-16π4〈2p-η1,f〉4)ε1(p),

(22)

(23)

(24)

(25)

為求解的方便， 將較復(fù)雜的式(22)～(25)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)

R(l1,l2,0,C)T=S,

(26)

式中：

R=(rij)4×4,S=(S1,S2,S3,S4)T，

這里?為任意常數(shù). 這樣， 可以通過求解線性系統(tǒng)確定積分常量C和黎曼theta函數(shù)中參數(shù)l1,l2的值， 以確保式(17)是該雙線性(3+1)維方程式(4)的解. 分析系數(shù)矩陣R， 常數(shù)項(xiàng)矩陣S中各個(gè)

元素， 注意到η1=(0,0)T,η2=(1,0)T,η3=(0,1)T,η4=(1,1)T, 結(jié)合式(22)～(25)， 將線性系統(tǒng)式(26)中的各部分記為關(guān)于ε1,ε2的冪級數(shù)， 形式如下

將以上的3個(gè)展開式代入線性系統(tǒng)式(26)并整理關(guān)于ε1,ε2的各項(xiàng)系數(shù)， 得

C0=C1=C2=C12=0,

那么

w+v≥2,

(27)

(28)

于是二維黎曼theta函數(shù)式(17)是雙線性方程式(4)的解， 這里積分常量C和lj,j=1,2, 由式(27)～(28)確定，fj,gj,hj,mj為自由變量，v為自由實(shí)對稱矩陣. 由黎曼theta函數(shù)的周期性式(1)并結(jié)合對數(shù)變換可以得出j=1,2時(shí)

βj=fjx+gjy+hjz+ljt+mj，

(29)

是非線性(3+1)維演化方程式(3)的2-周期波解.

3 解的一致性討論

如果將波的振幅做如下限制， 當(dāng)εj→0時(shí)，j=1,2，

1+(e2πiβ1+e-2πiβ1)eπiv11+(e2πiβ2+e-2πiβ2)eπiv22+[e2πi(β1+β2)+e-2πi(β1+β2)]eπi(v11+2v12+v22)+…=

因此當(dāng)參數(shù)ε1,ε2趨近于0時(shí)， (3+1)維非線性方程式(3)的2-周期波解式(29)將趨近于2-孤子解式(6).

綜上， 對(3+1)維非線性發(fā)展方程式(3)進(jìn)行分析， 給出其相應(yīng)的雙線性表示式(4)， 1-孤子解式(5)和2-孤子解式(6). 結(jié)合黎曼theta函數(shù)的周期性質(zhì)， 給出方程(3)的1-周期波解(16)式和2-周期波解(29)式， 并在限制波的振幅條件時(shí)， 對周期波解進(jìn)行了漸近性的分析， 得出當(dāng)參數(shù)η趨于0時(shí)， 該方程的1-周期波解式(16)將趨于1-孤子解式(5)， 當(dāng)參數(shù)ε1, ε2趨近于0時(shí)， 該非線性方程的2-周期波解式(29)將趨于2-孤子解式(6).

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