靜電力做功與路徑無關(guān)的證明

項芳聰??

摘要：靜電力做功與路徑無關(guān)是引入電勢能概念的前提。本文針對部分師生對非勻強電場中靜電力做功與路徑無關(guān)證明方法的誤解，提出合理的、且能被中學(xué)生接受的證明方法。

關(guān)鍵詞：靜電力；做功；路徑

在必修物理課中我們學(xué)過，正是由于移動物體時重力做功與路徑無關(guān)，同一物體在地面附近的同一位置才具有確定的重力勢能，從而也使重力勢能的概念有了實際意義。

與重力勢能相類比，人民教育出版社教材《物理》選修 3-1第一章第 4 節(jié)“電勢能和電勢”中，在引入電勢能概念前，先行證明靜電力對電荷所做的功與路徑無關(guān)。

試探電荷q在電場強度為E的勻強電場中沿幾條不同路徑從A點移動到B點，我們計算這幾種情況下靜電力所做的功。

q在沿直線從A移往B的過程中（圖1），受到的靜電力F=qE，靜電力與位移AB的夾角為θ，靜電力對q所做的功為W=Fcosθ·|AB|=qE·|AM|。

q在沿折線AMB從A移往B的過程中（圖1），在線段AM上靜電力對q所做的功W1=qE·|AM|。在線段MB上，由于移動方向跟靜電力垂直，靜電力不做功，W2=0。在整個移動過程中靜電力對q所做的功W=W1+W2。所以W=qE·|AM|。

再使q沿任意曲線ANB從A移往B（圖2）。我們可以用無數(shù)組跟靜電力垂直和平行的折線來逼近曲線ANB。只要q的移動方向與靜電力垂直，靜電力都不做功。只要q的移動方向與靜電力平行，靜電力都做功，而這些與靜電力平行的短折線的長度之和等于|AM|。因此，靜電力所做的功還是W=qE·|AM|。

可見，不論q經(jīng)由什么路徑從A點移動到B點，靜電力做的功都是一樣的。因此，在勻強電場中移動電荷時，靜電力做的功與電荷的起始位置和終止位置有關(guān)，但與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)。

這個結(jié)論雖然是從勻強電場中推導(dǎo)出來的，但是可以證明，對于非勻強電場，也是適用的。

對于非勻強電場，可能由于高中數(shù)學(xué)知識所限，教材上只說“可以證明”，至于如何證明，連大致的思路都沒有提供。

筆者聽過一節(jié)公開課，授課老師講到這里時，對同學(xué)們說，在非勻強電場沿某一路徑移動電荷，可以把整個路徑分成許多很短的間隔，只要每一個間隔足夠小，這些間隔中的電場就可以看作勻強電場，這樣就可以用教材中的推導(dǎo)方法證明在每一個小間隔內(nèi)電場力做功都與路徑無關(guān)。最后再將每小段的功取代數(shù)和，就是電荷通過整個路徑時電場力所做的功。因為每個小間隔內(nèi)電場力做功都與路徑無關(guān)，所以全過程電場力做功也就跟路徑無關(guān)了。

這樣的證明思路初一聽，好像很有道理，但細一想，卻是不對的。要是這一老師的思路是正確的，按照這一思路也可以證明在感生電場中的移動電荷，電場力做功與路徑無關(guān)。因為在感生電場中移動電荷，也可以把整個路徑分割成許多小段，每一小段的電場也是可以看成勻強電場的。可實際上，感生電場是磁場變化時在空間激發(fā)的一種電場，它的電場線是閉合的，試想將試探電荷q沿著感生電場的某一條電場線移動一周，電場力做的功為W，那么移動兩周的話，電場力做的功就會是2W。也就是說，感生電場中，電場力做功是與路徑有關(guān)的。

那么，到底如何證明非勻強電場中，靜電力做的功與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)呢？

大學(xué)物理教材中，在證明“靜電場中電場力做功與路徑無關(guān)”的結(jié)論時，思路是從庫侖定律和疊加原理出發(fā)來證明電場力做功與路徑無關(guān)，即先證明點電荷產(chǎn)生的電場中電場力對試探電荷做功與路徑無關(guān)，然后再證明任意帶電體產(chǎn)生的電場中電場力做功與路徑無關(guān)。

因為中學(xué)生沒有學(xué)過微積分，照搬大學(xué)教材中的積分公式，學(xué)生可能聽不懂。不過這一證明思路還是可以向?qū)W生介紹的。筆者在教學(xué)中，借鑒高中教材中的推導(dǎo)方法，向?qū)W生介紹大學(xué)教材中的這一推導(dǎo)思路，效果很好。

參考文獻：

[1]普通高中課程標(biāo)準實驗教科書物理[M].北京：人民教育出版社，2015.

[2]張三慧.大學(xué)物理學(xué).力學(xué)、電磁學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009，2.

作者簡介：

項芳聰，浙江省溫州市，浙江省蒼南中學(xué)。endprint