橢圓及其標準方程教學設計

摘 要：在新課改的要求下，該設計本著以學生為主，主要采用學生動手探究的方法，在活動中探索新知，結合多媒體展示，使用幾何畫板畫制橢圓的圖像，引導學生推導出橢圓公式。

關鍵詞：探究；發(fā)現；推導

一、 設計背景

隨著教材、教學、高考的改革不斷深入，高中數學教育對教師的要求已進入了一個新的時期。傳統(tǒng)教學中，學生被動接受教師灌輸的知識，限制了學生的思維，也限制了老師的主導作用。那么如何關注學生的發(fā)展，構建有效課堂，是我們一線老師需要思考的。站在學科的高度，從整體和聯(lián)系的觀點，本著高效、創(chuàng)新的理念，我設計了這節(jié)課。

二、 學情分析

本節(jié)是北師大版選修2-1第三章圓錐曲線第一節(jié)橢圓的第一課時，是本章的重點內容。在高考中也是重點考查內容之一。學生前面已經掌握了“圓及其標準方程”的知識，本節(jié)是作為承上啟下的重要內容，既類比圓的探索過程，又為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎。

三、 教學用具

1. 多媒體課件。

在課件中使用幾何畫板向學生進行動畫展示：（1）籃球在陽光下的投影；（2）畫橢圓的過程。

2. 學生手動畫圖工具：木板、線、圖釘、白紙。

四、 教學過程

（一） 課件展示、引入新課

課件展示太陽系運行圖，先讓學生感受星空的壯麗，觀察行星運行的軌道圖形，認識橢圓，感受橢圓的對稱美。然后讓學生舉生活中的橢圓，我再用課件展示我所發(fā)現的生活中的橢圓的例子。教師與學生互動，生活中的實例及多彩的多媒體圖片可激發(fā)學生的學習興趣，充分調動學生主動參與的積極性。引出課題，帶領學生去探索這個美麗的圖形。在這里，從生活中的實例入手，體現了“數學源于生活，又高于生活”的本色。

（二） 動手畫圖、得出結論

1. 課件展示籃球在陽光下的投影模型動畫，讓學生感受幾何畫板的魅力，在這個模型中，教師引導學生發(fā)現橢圓的定義，并實際動手操作，自己畫橢圓。

2. 學生實驗：三人一組，每組一塊木板，一根無彈性的繩子，兩顆圖釘。結合圓的作圖方法和剛才發(fā)現的橢圓的定義，動手畫圖。畫圖的過程中，老師引導學生固定兩點，用筆尖勾直線，移動筆尖，觀察得到的軌跡是什么圖形。

3. 學生畫好之后老師也參與其中，使用幾何畫板畫出橢圓，激發(fā)學生的興趣。然后老師提問：剛才在畫圖的過程中，線的長度一定說明什么？學生回答：筆尖到兩定點的距離之和為定值。老師使用計算機，利用幾何畫板展示測量，從數據上來看看是否和為定值。發(fā)現結果一致從而引導學生得到橢圓的定義。在這個過程中，讓學生從實踐中體會橢圓上的點所滿足的條件，逐漸把圖形語言轉化為文字語言。當學生定義不準確時，不否定學生，以提問的方式提醒學生注意定義中的關鍵詞，引導學生繼續(xù)探索。例如：距離之和的常數不大于兩定點之間的距離，會怎樣？讓學生利用手中的工具，動手操作，通過不斷的移動兩點的距離，畫出扁圓程度不同的橢圓，從而得到結論：當2a=2c時畫出的是線段；當2a<2c，畫不出圖形；通過這樣的實踐，讓學生理解條件2a>2c。

（三） 合理建系、推導方程

橢圓標準方程的推導是本節(jié)課的難點?；貞泩A的標準方程的推導過程，總結步驟：建系→設點→列式→化簡。類比圓的方程的推導過程，先引導學生如何建系。在這里，我盡可能的給學生建系的機會，利用課件展示學生可能出現的建系情況，發(fā)揮學生的直覺思維，在比較的過程中發(fā)現最優(yōu)的建系方法，體會對稱和簡潔美。

建好坐標系（焦點在x軸），學生可以自主完成設點、列式，在化簡的過程中，學生會出現困難的地方是在寫出方程（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a后，需要進行化簡時。有的同學會出現直接平方的現象，教師應鼓勵他繼續(xù)，發(fā)現矛盾：直接平方，左邊會出現更大的根號運算；尋求解決問題的方法：先移項，得到

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2再進行平方，化簡后得到

a2-cx=a（x-c）2+y2，再次平方，根號就沒有了。讓學生到臺上使用投影儀展示他推導的過程。

除了學生推導的方法外，我又引導學生發(fā)現其他的推導方法，解法2：啟發(fā)學生觀察（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（1）左邊的式子的特點，將分子有理化，即可得到

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa（2），然后進一步引導學生發(fā)現，將（1）式減（2）式，得到（x-c）2+y2=a-cxa（3），這樣，我們就將兩個根號轉化成一個根號了，體現了化歸與轉換的數學思想，然后兩邊平方。在這里，進一步拓展學生的知識面：在數學中，（2）式是（1）式的對偶式，在這里用了數學里的對偶思想，而（3）式進一步可以得到橢圓的第二定義。在這里主要想培養(yǎng)學生的探究能力，發(fā)現式子中的矛盾，并想辦法解決。解法3：由已知等式（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，引導學生發(fā)現：（x-c）2+y2，a，（x+c）2+y2構成等差數列，設此等差數列的公差為d，則

（x-c）2+y2=a-d（3）（x+c）2+y2=a+d（4），將（3）（4）分別平方相減得

d=cax，即（x+c）2+y2=a+cax，然后兩邊平方整理即可。得到焦點在x軸的標準方程后，同理再得到焦點在y軸的標準方程。

在本節(jié)課的最后由學生進行反思和評價。由學生談學習本節(jié)課的最大收獲，可以是知識上的，也可以是方法能力上的。

五、 教學反思

1. 本節(jié)借助幾何畫板的演示功能，使學生通過點的運動，觀察到橢圓的軌跡的特征。多媒體創(chuàng)設問題的情境，讓探究式教學走進課堂，喚醒學生的主體意識，發(fā)展學生的主體能力，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創(chuàng)新。

2. 學生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認識，缺少理性的思考、探索和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數學思想和方法密切相關。本節(jié)課從實例出發(fā)，用多媒體結合本課題設計了一對動點有規(guī)律的運動作一些理性的探索和研究。

3. 在教材處理上，大膽創(chuàng)新，根據橢圓定義的特點，結合學生的認識能力和思維習慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎上再完善“常數”取值范圍。在標準方程的推導上，并不是直接給出教材中的“建系”方式，而是讓學生自主地“建系”，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數學中的對稱美和簡潔美。在對教材中“令a2-c2=b2”的處理并不是生硬地過渡，而是通過課件讓學生觀察在當M為橢圓短軸端點時（但這一幾何性質并不向學生交待），特征三角形所體現出來的幾何關系，再做變換。

參考文獻：

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作者簡介：

張海靜，安徽省阜陽市，阜陽市第五中學。endprint