在柱面坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算的一種新方法

鄧進(jìn)

【摘 要】三重積分計(jì)算的常規(guī)思路是將其轉(zhuǎn)化為累次積分，其中的關(guān)鍵是確定累次積分各自的積分上限和積分下限。本文運(yùn)用數(shù)學(xué)中的類比思想，對(duì)直角坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算的經(jīng)典投影法進(jìn)行類比，研究柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算，得到一種新的投影法。本文結(jié)果將完善柱面坐標(biāo)下三重積分計(jì)算的投影法。

【關(guān)鍵詞】三重積分；累次積分；積分上限；積分下限；投影法

中圖分類號(hào)： O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）30-0170-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.30.074

A New Method for Triple Integral Calculation in Cylindrical Coordinates

DENG Jin

（School of science，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan Hunan 411104，China）

【Abstract】The conventional way of triple integral calculation is to transform it into successive integrals，and the key is to determine the upper and lower bounds of these integrals respectively.In this paper，the classical projection method for calculating triple integral in rectangular coordinates is analogized by using the analogy idea in mathematics，and the calculation of triple integral in cylindrical coordinate system is studied，and a new projection method is obtained.The results of this paper will make the projection method for calculating the triple integral in cylindrical coordinates more complete.

【Key words】Triple integral；Upper bound of integration；Lower bound of integration；Projection method

0 引言

多元積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，而三重積分的計(jì)算是其重點(diǎn)和難點(diǎn)。教學(xué)實(shí)踐中，從教學(xué)反饋和考試情況來看，學(xué)生往往反映難度很大，特別是在將三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分時(shí)，很難順利地確定累次積分的積分上限和積分下限；主要原因在于沒有真正理解教材中的投影法和截面法。而一般教材和已有文獻(xiàn)多是簡單地介紹在直角坐標(biāo)下三重積分的投影法和截面法，[2]介紹了在柱面坐標(biāo)下的一個(gè)投影法，即將積分區(qū)域投影到極坐標(biāo)面上，將三重積分轉(zhuǎn)化為先一后二的積分，再將外層的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，最終實(shí)現(xiàn)將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分。然而，柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法還不夠完善。

本文首先給出柱面坐標(biāo)中的一種新的投影的概念，繼而通過運(yùn)用數(shù)學(xué)中的類比思想，對(duì)直角坐標(biāo)系下三重積分的經(jīng)典投影法進(jìn)行類比，研究柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算，得到柱面坐標(biāo)下將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分的一種新的投影法，即首先將積分區(qū)域投影到圓柱面上，把三重積分轉(zhuǎn)化為先一后二的積分，再將外層的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，最終實(shí)現(xiàn)將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分。

1 柱面坐標(biāo)系[1，2]

為完整起見，首先簡單介紹柱面坐標(biāo)系。設(shè)M（x，y，z）是空間中一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線和坐標(biāo)面xOy垂直相交于點(diǎn)M'，稱點(diǎn)M'為點(diǎn)M在坐標(biāo)面xOy上的投影；設(shè)點(diǎn)M'的極坐標(biāo)是（r，？茲），稱有序三元數(shù)組（r，z）為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)（如圖1所示）。

一般假定r，？茲，z的變化范圍分別為：

柱面坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)面分別為：以z軸為中心軸的圓柱面（r為常數(shù)），過z軸的半平面（？茲為常數(shù)），與xOy面平行的平面（z為常數(shù)）.

由圖1易知，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)（x，y，z）和柱面坐標(biāo)（r，？茲，z）有如下關(guān)系：

不難知道，柱面坐標(biāo)下三重積分的體積微元dv=rdrd？茲dz，因此可將一般形式的三重積分轉(zhuǎn)化為柱面坐標(biāo)下的三重積分，即：

2 投影法

[2]介紹了在柱面坐標(biāo)下的一個(gè)投影法，即將積分區(qū)域投影到極坐標(biāo)面上，將三重積分轉(zhuǎn)化為先一后二的積分，再將外層的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，最終實(shí)現(xiàn)將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分。

下面介紹柱面坐標(biāo)下將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分的一種新的投影法。首先給出一種新的投影概念。

定義 設(shè)r=r0>0為固定的圓柱面，過點(diǎn)M作直線垂直z軸于點(diǎn)O'，射線O'M交圓柱面r=r0于點(diǎn)M'，稱點(diǎn)M'為點(diǎn)M在圓柱面r=r0上的投影（如圖2所示）。

圖2 點(diǎn)M在圓柱面r=r0上的投影點(diǎn)M'示意圖

將空間區(qū)域？贅內(nèi)任一點(diǎn)均投影到圓柱面r=r0上，就得到空間區(qū)域？贅在圓柱面r=r0上的投影區(qū)域D（？茲，z）。

一般而言，選取圓柱面r=1為所需要的固定圓柱面。

由三重積分的物理意義可知， 是密度為連續(xù)函數(shù)f（rcos？茲，rsin？茲，z）r的空間立體？贅（r，？茲，z）的質(zhì)量M。設(shè)從z軸上的點(diǎn)為起點(diǎn)并且和z軸垂直的射線與空間區(qū)域？贅的邊界曲面相交于不超過兩點(diǎn)（位于？贅的邊界上的直線段除外），把空間區(qū)域？贅按前述的定義投影到圓柱面r=1上，得到圓柱面上的一個(gè)區(qū)域D（？茲，z），過區(qū)域D（？茲，z）內(nèi)任一點(diǎn)P（ ）作和z軸垂直相交于O'的直線，射線O'P和空間區(qū)域？贅的邊界曲面相交于兩點(diǎn)，和z軸的距離較小的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為P （r （，z）z），和z軸的距離較大的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為P2（r2（z），）（如圖3及圖4所示），從而空間區(qū)域表示為：

此時(shí)，區(qū)域？贅的邊界面上有兩個(gè)曲面r=r （，z），r=r （ ），此外，還有可能有一部分的邊界面位于下面這類曲面上：過投影區(qū)域D的邊界曲線上的點(diǎn)Q，作直線和z軸垂直相交于Q'，所有這類直線Q'Q形成了一個(gè)曲面。如圖3和圖4所示的兩種情形。

空間立體？贅的質(zhì)量可以看作密度不均勻的柱面薄片D（z）的質(zhì)量，求出面密度？籽（z）后就可以進(jìn)而求出空間立體？贅的質(zhì)量。對(duì)區(qū)域D（z）內(nèi)的任一點(diǎn)（z）， 從而

這樣，將柱面坐標(biāo)下的三重積分轉(zhuǎn)化為先一后二的積分：

進(jìn)一步，可將外層的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分。如果投影區(qū)域D（ ）的形式為，

則

從而，把三重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì)r，再對(duì)z，最后對(duì)？茲的三次積分。

如果投影區(qū)域D（ ）的形式為

則

從而，把三重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì)r，再對(duì)？茲，最后對(duì)z的三次積分。

特別地，如果積分區(qū)域?yàn)椋?/p>

則三重積分可轉(zhuǎn)化為：

或者：

綜上所述，柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法可以總結(jié)為一句口訣，即“一投二交三積分”。

在上面的討論中，假定了從z軸上的點(diǎn)為起點(diǎn)并且和z軸垂直的射線與空間區(qū)域？贅的邊界曲面相交于不超過兩點(diǎn)（位于？贅的邊界上的直線段除外）。對(duì)于更一般情形，利用三重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，只需將？贅分為滿足上述條件的若干個(gè)區(qū)域的和，對(duì)各個(gè)區(qū)域按上述方法將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分后相加即可。在將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分時(shí)，假定了投影區(qū)域?yàn)閳A柱面上的凸區(qū)域，對(duì)于更一般的情形，可以將投影區(qū)域分為若干個(gè)凸區(qū)域的和，然后利用二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，分別將各個(gè)積分區(qū)域上的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分后相加即可。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)（第七版下冊(cè)）.北京：高等教育出版社，2014.

[2]吳贛昌主編.高等數(shù)學(xué)（理工類第四版下冊(cè)）.北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.