三角形的內(nèi)角和

邢繪君

教學(xué)內(nèi)容：人教版四年級(jí)數(shù)學(xué)教材P67例6：三角形的內(nèi)角和。

教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)生通過(guò)畫(huà)、量、折、分等多種驗(yàn)證活動(dòng)，證明“三角形內(nèi)角和是180°”，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.在探究活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力和初步的邏輯推理能力。

3.滲透用事實(shí)說(shuō)話的科學(xué)精神，在證明過(guò)程中，懂得要有理有據(jù)地分析問(wèn)題，提高學(xué)生的說(shuō)理能力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷“三角形內(nèi)角和180°”驗(yàn)證過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)難點(diǎn)：借助折的方法、推理證明的方法，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硪庾R(shí)。

教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、學(xué)具。

教學(xué)過(guò)程：

一、出示課題、了解學(xué)情

①今天這節(jié)課我們要一起研究“三角形的內(nèi)角和”。板書(shū)：三角形的內(nèi)角和。

②提問(wèn)：看到這個(gè)課題，你們有不明白的詞嗎？

預(yù)設(shè)：都沒(méi)有，那我問(wèn)問(wèn)，內(nèi)角？?jī)?nèi)角和又是什么意思？

要求：教師貼出一個(gè)三角形，學(xué)生到前面指內(nèi)角，內(nèi)角和。

③對(duì)三角形的內(nèi)角和你有哪些了解？

預(yù)設(shè)：我知道三角板上三個(gè)角的和是180°

追問(wèn)：你是怎么知道的？

預(yù)設(shè)：我還知道所有三角形的內(nèi)角和都是180°

追問(wèn)：你又是怎么知道的？

④三角形的內(nèi)角和就是180°沒(méi)錯(cuò)！那，大家都知道三角形內(nèi)角和是180°了，這節(jié)課還有什么可以研究的呢？

預(yù)設(shè)：我想知道是不是所有三角形內(nèi)角和都是180°？我想研究“證明”三角形內(nèi)角和是180°的方法。

小結(jié)：特別好，我們不僅要知其然，還要知其所以然。

二、借助多種方法證明三角形內(nèi)角和是180°，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，懂得用事實(shí)說(shuō)話

（一）提出驗(yàn)證的初步設(shè)想

①要證明所有三角形都是180°，你們有什么想法呀？

預(yù)設(shè)1：所有三角形都驗(yàn)證一下。銳角、直角、鈍角、等邊、等腰，學(xué)生質(zhì)疑，銳角三角形也有等邊三角形，所以到底需要驗(yàn)證哪幾種三角形就證明所有三角形了？

分三類：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角。

預(yù)設(shè)2：

學(xué)生說(shuō)：指需要驗(yàn)證銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形。老師追問(wèn)：他說(shuō)只驗(yàn)證三類就行了？你們的意見(jiàn)呢？（也同意，因?yàn)槿切伟唇欠诸?，就分為這三類，只要驗(yàn)證這三類就包含所有了）。

②思考：你有什么方法證明呢？（先自己獨(dú)立思考一下，有想法了兩個(gè)人交流一下）

預(yù)設(shè)：可能提出量一量、剪+拼等方法。

評(píng)價(jià)：短短兩分鐘時(shí)間同學(xué)想到了這么多驗(yàn)證的方法，特別了不起。

（二）用多種實(shí)驗(yàn)操作的方法證明

①用“量一量”的方法驗(yàn)證

1.有想法就要大膽嘗試了，我們先嘗試哪種驗(yàn)證方法比較簡(jiǎn)單呢？

聽(tīng)大家的，那我們就先用量一量的方法。

2.現(xiàn)場(chǎng)量一個(gè)三角形，匯報(bào)三角形三個(gè)內(nèi)角，驗(yàn)證內(nèi)角和。

匯報(bào)順序：先匯報(bào)是180°的，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和內(nèi)角和。再匯報(bào)有誤差的。

3.看結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)什么？（發(fā)現(xiàn)有的正好是180°，有的不是，但很接近）。

小結(jié)：量也是一種方法，但確實(shí)發(fā)現(xiàn)和180°很接近，或等于180度。但是由于有誤差，量出的數(shù)據(jù)不太準(zhǔn)確，看來(lái)用這種方法證明有些困難。

②用“拼一拼”的方法驗(yàn)證

1.剪或撕下來(lái)拼一下試一試。（小組分工合作驗(yàn)證，每人挑一個(gè)，做完之后和組長(zhǎng)匯報(bào)一下）。

2.匯報(bào)，因?yàn)槠浇菫?80°，所以三角形內(nèi)角和也是180°。

監(jiān)控：

第一，匯報(bào)說(shuō)清用什么三角形，怎么操作的。

第二，對(duì)于他們組的匯報(bào)你有什么補(bǔ)充或質(zhì)疑。

第三，有沒(méi)有也是剪和他們的思路略有不同的？

小結(jié)：這種方法證明確實(shí)感覺(jué)到趨近于180度，但是有的同學(xué)提出也可能有誤差。

③用“拉動(dòng)三角形”的方法驗(yàn)證

1.運(yùn)用幾何畫(huà)板觀察三角形，如果拉動(dòng)三角形的頂角，一直往下壓。想一下這個(gè)角會(huì)怎么變化，另外兩個(gè)角會(huì)怎么變化呢？

預(yù)設(shè)：一個(gè)角越來(lái)越大，另外兩個(gè)角會(huì)越來(lái)越小。

2.是不是像同學(xué)們想的這樣呢？

3.教師演示幾何畫(huà)板觀察驗(yàn)證。

4.通過(guò)觀察你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：三角形的內(nèi)角和不變。

（三）用推理驗(yàn)證的方法證明

①借助長(zhǎng)方形推理證明驗(yàn)證

第一，思考：能不能借助長(zhǎng)方形證明三角形內(nèi)角和是180°呢？

預(yù)設(shè)：只能證明直角三角形內(nèi)角和180°。

第二，研討：怎么證明銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和也是180°呢？

第三，介紹數(shù)學(xué)家“帕斯卡”的證明方法。

②介紹添輔助線的證明方法

③對(duì)比前兩種方法和后兩種方法有什么不同

師：前兩種實(shí)驗(yàn)證明、推理證明。

小結(jié)：將來(lái)到初中大家還將進(jìn)一步研究更多推理證明的方法。

三、回顧反思，拓展提升

第一，同學(xué)們回憶一下，這節(jié)課我們是怎么研究三角形內(nèi)角和的？先提出猜想，用多種方法證明猜想。

第二，學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和是180°，以后它就是一條定理，你還想用它研究點(diǎn)兒什么？

監(jiān)控：四邊形內(nèi)角和是多少度？六邊形內(nèi)角和多少度？多邊形的內(nèi)角和？?jī)?nèi)角與外角的關(guān)系。

師：剛才大家所說(shuō)的比較感興趣的內(nèi)容，有的是在我們后面的學(xué)習(xí)中要研究的，也有的是將來(lái)我們到了中學(xué)再去研究的，有興趣的同學(xué)自己可以上網(wǎng)進(jìn)行自學(xué)，然后我們利用數(shù)學(xué)活動(dòng)課的時(shí)間跟大家做一個(gè)知識(shí)的交流，也可以做成數(shù)學(xué)手抄報(bào)，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)。

第三，有人也提出是不是三角形的內(nèi)角和永遠(yuǎn)是180°？

歐式幾何（平面）：三角形的內(nèi)角和等于180°；

羅氏幾何（凹面）：三角形的內(nèi)角和小于180°；

黎曼幾何（凸面）：三角形的內(nèi)角和大于180°。