福建省第21題答題情況的教學反思

摘 要： 2017年福建省中考第一次全省統(tǒng)考，距離考試結(jié)束已經(jīng)告一段落，但作為一名教育工作者，對數(shù)學試題的研究并不能止步，方可不斷改善自身教學中的缺陷。筆者有幸參與市統(tǒng)一改卷，對其中一道幾何題學生的答題情況印象深刻，引發(fā)了一系列教學的反思，現(xiàn)整理成文，與各位同仁分享。

關(guān)鍵詞： 公式推導；能力培養(yǎng)；性質(zhì)定理

一、 試題呈現(xiàn)

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD=45°。

（1）若AB=4，求弧CD的長；

（2）若弧BC=弧AD，AD=AP，求證：PD是⊙O的切線。

設(shè)計意圖： 本題主要考查切線的判定定理，弧長公式，圓周角定理及其推論等基礎(chǔ)的知識，考查推理能力和運算能力，考查劃歸與轉(zhuǎn)化的思想等。本題滿分8分。排在試卷中的倒數(shù)第5題，難度不高但在實際中學生的得分情況卻不怎么理想，平均分過低，那么究竟問題出在哪兒呢？

二、 典型失誤分析

（一） 基本公式不清晰

第（1）問正確答案應該是π，但是很多考生都寫成了 π 2 。有的考生把弧長公式l= nπr 180 記成了 nπr 360 ；有的考生把半徑2用成了直徑4；有的考生不知道如何添加輔助線，導致找不到所求的弧長CD是哪一段；有的考生太粗心，求弧長CD卻用三角函數(shù)求成了弦長CD。

分析： 學生對數(shù)學公式模糊不清，對公式的推理過程即弧長與圓心角、半徑之間的關(guān)系沒掌握透徹，未能結(jié)合圖形畫出正確的輔助線，思維定勢誤認為在圓中研究特殊三角形的問題都是用三角函數(shù)解決，沒認真審題。

（二） 胡亂使用條件

如：因為AB是直徑，所以∠BAC+∠CBA=90度，因為BC =AD ，所以∠BAC=∠PCD，∠PCD+∠CBA=90度，因為∠P=∠DCP，所以∠P+∠CBA=90度，又因為∠CBA=∠ODA，所以∠P+∠ODA=90度，因為AD=AP，所以∠P=∠ADP，所以∠ADP+∠ODA=90度，所以∠ODP=90度，PD是⊙O的切線。

分析： 第（2）問是推理證明題，考生都知道證明切線必須證出∠ODP等于90度，在證明的過程中大體有兩種思路：第一，分別求出∠ODA和∠ADP的度數(shù)；第二，通過證明角的關(guān)系得到角的轉(zhuǎn)化。部分采用第一種思路的考生因為粗心∠ODA=67.5度求成了77.5度，采用第二種思路的考生想當然默許條件∠P=∠DCP，或者默許∠P=∠BAC導致錯誤，事實上這兩組角是相等的，但必須通過證明△OCA和△ADP相似或者證明三角形全等才能進行角的轉(zhuǎn)化，學生缺乏邏輯推理能力，利用條件分析問題還有欠缺。

三、 教學建議

（一） 重視公式的推導過程

數(shù)學公式的形成過程其實也是幾何推理的過程。但現(xiàn)在很多教師為了在課堂上講更多的例題給學生模仿，還要學生提高模仿解題的速度，在上新課中遇到數(shù)學公式的問題例如：弧長公式、扇形面積公式、多邊形內(nèi)角和公式、三角函數(shù)公式等，對公式的推導過程不夠重視，只要求學生背誦公式，實際上這是應試教育舍本逐末的錯誤做法。這樣做產(chǎn)生兩個嚴重的問題，其一誤導學生認為公式的推導過程不重要，甚至覺得只要會背就行，導致對相近的數(shù)學公式模糊不清；其二邏輯思維不嚴密，對公式?jīng)]有透徹的理解，只是看成孤立的個體，使用公式的時候機械化，缺乏知識前后聯(lián)系的探究。例如這道求弧長的題目，只要學生理解弧長是圓的一部分，知道圓心角度數(shù)與弧長的關(guān)系，這樣輔助線的添加就不會成為解題的障礙。因此在數(shù)學公式教學的過程中，要讓學生深刻體會三個問題：第一，為什么要學習新的數(shù)學公式，用新的公式在計算上有什么便捷之處；第二，引導學生思考新公式與舊公式的聯(lián)系，是新定義的公式還是派生推導出的公式，公式可以怎樣推導；第三，借助圖形，通過數(shù)形結(jié)合的方法便于識記公式。這樣學生在得到一個新公式時，還知道如何推導，培養(yǎng)推理能力，也更加熟練使用數(shù)學符號，培養(yǎng)學生符號意識和創(chuàng)新能力。這樣教才有助于提高學生學習的能力，從被動學習轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W習。

（二） 注重推理能力的培養(yǎng)

在教學中，講授數(shù)學核心知識的過程中還要重視學生數(shù)學推理能力的培養(yǎng)。學生推理能力的發(fā)展不是一蹴而成，是應貫穿整個數(shù)學的教學過程，從合情推理循序漸進發(fā)展成演繹推理。培養(yǎng)學生經(jīng)歷猜想、證明的探究過程，大膽地說，把思路用語言表達出來才能逐步形成嚴格的推理過程。

因此，試題講解中問題串的引導要體現(xiàn)培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，例如本題推理能力的培養(yǎng)可以這樣做：第一，引導學生對每一個已知條件能推出的幾何結(jié)論進行羅列，哪些與本題證明思路相關(guān)，哪些次相關(guān)；第二，在探究解題思路中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，通過數(shù)形結(jié)合明確哪些角能實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，哪些不能；第三，板演要精練，避免學生繞彎路；第四，啟發(fā)學生思考此類問題蘊含的數(shù)學思想方法和考查的知識點，加深學生的理解。

（三） 重視課本性質(zhì)定理的推導

數(shù)學語言是數(shù)學交流的特殊工具，很多學生不會用數(shù)學語言演繹推理，覺得跨度太大，原因在于教師在教學中因題說題，學生缺乏數(shù)學探究的過程，尤其是書本定理的證明推導不可忽視，在課堂中真正讓學生探究得到數(shù)學定理，擺脫學生“假探究”，經(jīng)歷必要的數(shù)學推理，學生才能清楚定理推論的前后聯(lián)系，形成數(shù)學結(jié)論的發(fā)生過程，才會在幾何題中進行運用。

四、 總結(jié)

綜上所述，我們在幾何教學過程中重視推理能力的培養(yǎng)，更要注重挖掘教材中的公式和定理推論的證明，引導學生思考知識的發(fā)生發(fā)展過程，形成知識體系，把零散、無規(guī)律的公式、定理用知識串緊密聯(lián)系起來。

參考文獻：

[1]張建華.淮安市第23題[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2016，（11）：50-51.

[2]康葉紅.南京市第21題[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2016，（11）：46-47.

作者簡介：

吳越，福建省漳州市第五中學。endprint