讓高考復習從研究教材習題開始

唐明超+龔雪平

摘 要：高考注重基礎知識與基本技能的考查，強調(diào)數(shù)學思想的滲透；備考過程要回歸教材、研究教材，提煉數(shù)學思想和基本方法，立足基礎，適當拓展；本文以函數(shù)與導數(shù)為例，探究復習從課本抓起的具體做法和有效性。

關(guān)鍵詞：高考復習；回歸教材；母題拓展

一、 從教材中尋找高考母題

真題1 （2015·全國卷Ⅱ）設函數(shù)f（x）=1+log2（2-x），x<1

2x-1，x≥1則f（-2）+f（log212）= 。

母題1 （新人教A版必修1 P45B組T4）

已知函數(shù)f（x）=x（x+4），x≥0x（x-4），x<0求f（1），f（-3），f（a+1）。

真題2 （2014·全國卷Ⅱ）已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，f（2）=0，若f（x-1）>0，則x的取值范圍是 。

母題2 （新人教A版必修1 P39B組T3）已知函數(shù)

f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+

SymboleB@ ）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（- SymboleB@ ，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷。

真題3 （2015·全國卷Ⅰ） 若函數(shù)f（x）=xln（x+a+x2） 為偶函數(shù)，則a= 。

母題3 （新人教A版必修1P83B組T3）對于函數(shù)

f（x）=a-22x+1（a∈R）。

（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

真題4 （2014·全國卷Ⅱ）設曲線y=ax-ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x，則a= 。

母題4 （新人教A版選修2-2P18A組T6）已知函數(shù)y=xlnx。

（1）求這個函數(shù)的導數(shù)；

（2）求這個函數(shù)圖像在點x=1處的切線方程。

二、 高考題與教材母題對比分析

真題1 考查分段函數(shù)的概念與性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，考查學生的計算能力，難度不大，直接代入相應解析式求解，結(jié)果為9。

母題1 課本復習B組題，考查學生對分段函數(shù)概念的理解，要求能夠求出具體函數(shù)值，會用分類討論的思想解決含參數(shù)問題。

真題2 考查對函數(shù)性質(zhì)的理解，主要體現(xiàn)在函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性；強調(diào)一題多解。

解法1 因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）=f（|x|）；

故不等式f（x-1）>0可化為f（|x-1|）>0；因為f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（2）=0，故|x-1|<2，得-1

解法2：因為f（x）為偶函數(shù)，且f（2）=0，所以f（-2）=0，作出大致圖像可知取值范圍是（-1，3）。（圖略）

母題2 該題考查學生對函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的準確理解。

真題3 類比母題2，主要考查函數(shù)奇偶性和對數(shù)的運算法則。

母題3 該題考查如何用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，同時考查學生對函數(shù)奇偶性的靈活運用。

真題4 該題考查導數(shù)的幾何意義及切線方程的求解方法。

母題4 該題考查導數(shù)的計算，幾何意義的理解和運用。

三、 高考復習中教材習題的拓展舉例

母題1 （新人教A版必修1 P25B組T3）

函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)；例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2；當x∈（-2.5，3]時，寫出函數(shù)解析式，并作出函數(shù)圖像。

拓展1 已知函數(shù)f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)。若關(guān)于x的方程f（x）=kx+k有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是 。

拓展意圖：在能夠解決課本習題的基礎之上，引導學生歸納處理同類問題的基本方法，沿著母題的設計思路將題目適當?shù)赝卣古c延伸，目的在于突出數(shù)形結(jié)合思想的應用。通過引導學生作出圖像，利用幾何直觀，不難得出直線f（x）=kx+k過定點（-1，0），從而結(jié)合圖像不難得出答案

-1，-12∪14，13。

拓展2 對于任意實數(shù)x，[x]是不超過x的最大整數(shù)。那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+

[log21024]= 。

拓展意圖：考查函數(shù)的求值問題時，對數(shù)運算對于基礎較薄弱的同學來說是一個難點，不妨借此機會綜合對數(shù)運算和數(shù)列求和來考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力。易知

[log21]=0，

[log22]=[log23]=1，[log24]=…=[log27]=2，

[log28]=…=[log215]=3，

[log216]=…=[log231]=4…[log21023]=9，

[log21024]=10，則原式=1×2+2×22+3×22+4×24+…+9×29+10，用“錯位相減法”可以求出結(jié)果8204。

拓展3 設f（x）=[x·[x]]，x∈[1，3].則f（x）的值域為 。

改編意圖：借取整函數(shù)，幫助學生再次理解函數(shù)的概念，鞏固與提升學生的抽象能力和邏輯推理能力.解得x∈[1，3]時，f（x）的值域為{1，4，5，9}

母題2 （新人教A版必修1 P44A組T8）設

f（x）=1+x21-x2，求證：（1）f（-x）=f（x）；（2）f1x=-f（x）。

拓展4 設在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（tanx）=1cos2x，則

f（2）+f（3）+…+f（2012）+f12+f13+…+f12012= 。

拓展5 函數(shù)f（x）對于任意實數(shù)x滿足條件f（x+2）=1f（x），若f（1）=-5，則f（f（5））= 。

拓展6 若奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（2）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）= 。

拓展7 偶函數(shù)f（x）與奇函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=1x-1，則f（x）= 。

拓展意圖：由母題2的證明過程得到啟發(fā)，可以巧妙地利用這一性質(zhì)特點適當拓展母題得到新題，考查求值，從而得到拓展1，這既總結(jié)了處理課本習題的基本思路和方法，也實現(xiàn)了對基礎知識的拓展和提升，鍛煉了學生的思維，開拓了學生的視野.基于歷年對函數(shù)奇偶性這一知識的考查，側(cè)重點均在于利用性質(zhì)解決抽象函數(shù)的相關(guān)問題，為了幫助學生更能適應高考，借助常見模型給予改編，從而得到拓展2，3，4；以期培養(yǎng)學生善于觀察比較，靈活變通的思維能力，打破思維定勢，通過拓展，幫助學生體會高考題的命題思想，逐漸掌握命題規(guī)律。

母題3 （新課標人教A版必修1 P83B組T4）設

h（x）=ex-e-x2，求證：

（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1；

（2）f（2x）=2f（x）·g（x）；

（3）g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2。

拓展8 設f（x）=ex-e-x2，

g（x）=ex+e-x2，給出如下結(jié)論：①對任意x∈R，有[g（x）]2-[f（x）]2=1；②存在實數(shù)

x0，使得f（2x0）>2f（x0）g（x0）；③不存在實數(shù)x0使得g（2x0）<[g（x0）]2+[f（x）]2；④對任意x∈R，有f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=0；

其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）

拓展9 已知函數(shù)F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若x∈[1，2]使得不等式g

（2x）-ah（x）≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 。

解析：由F（x）=g（x）+h（x）=ex得F（-x）=g（-x）+h（-x）=e-x；從而解得g（x）=ex+e-x2，h（x）=ex-e-x2；

由g（2x）-ah（x）≥0得e2x+e-2x2-aex-e-x2≥0。參數(shù)分離得a≤ex-e-x+2ex-e-x，當且僅當

ex-e-x=2時取“=”滿足[1，2]，故a≤22。

拓展意圖：如果將結(jié)論作為備選條件，就可以改編成客觀題，此時題目的難度將會有所降低，靈活性將會增強，學生更容易下手，從而得到拓展1；保證題設不變，巧妙構(gòu)造函數(shù)，設計不等式恒成立問題，培養(yǎng)學生構(gòu)造函數(shù)的能力，利用分離參數(shù)法解決不等式恒成立問題得到拓展2。

真題探源，尋找真題與母題的相似性和改編規(guī)律；再結(jié)合平時教學過程中常見到的設問技巧和方法，嘗試將教材上一些比較典型的題目加以改造，得到一些課本改編題，都是同樣的知識和理論方法，稍微改變設問方式，題目的表現(xiàn)形式卻大有不同，這樣做一方面可以鞏固學生已有知識經(jīng)驗，另一方面可以加深學生對已有知識和基本方法的理解與掌握，注重課堂生成，總結(jié)一般規(guī)律，跳出題海，引導學生真正感受一題多變，多題一解的基本規(guī)律，有助于鍛煉學生的思維能力，提升學生的解題技巧和解題效率，減輕學生的學習負擔；當然，對于培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)也是功不可沒。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.

作者簡介：唐明超，龔雪平，云南省昆明市云南師范大學。endprint