復(fù)數(shù)共軛運(yùn)算的推廣及應(yīng)用

趙曉輝，楊廣武

（1.河北工程技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河北 石家莊 050091；2.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北 石家莊 050018）

0 引言

復(fù)變函數(shù)中的共軛運(yùn)算在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及有關(guān)二維場(chǎng)等實(shí)際問題中有重要應(yīng)用。但目前有關(guān)的研究中僅討論了在有限運(yùn)算情形下的共軛問題［1-2］。本文研究了各種極限情形中最重要的共軛運(yùn)算，得到了相關(guān)的結(jié)果，并舉例說明了其應(yīng)用。

1 運(yùn)算的推廣及簡(jiǎn)單應(yīng)用

在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中關(guān)于數(shù)的運(yùn)算的研究，尤其是關(guān)系到由有限到無限的飛躍，具有重要意義。為區(qū)別于側(cè)重代數(shù)方面的討論［3-4］，本文討論了共軛復(fù)數(shù)列、函數(shù)的極限及共軛運(yùn)算在函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)、級(jí)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的積分等方面的相關(guān)問題，進(jìn)行了一定的推廣［5-8］，簡(jiǎn)列于下：

2）若f(z)=u+iv在z0=x0+iy0可導(dǎo)，則關(guān)于在處可導(dǎo)，且

此由定義可證。另若u，v在(x0,y0)可微，且滿足Cauchy-Riemann偏微分方程組，可證u，-v在點(diǎn)(x0,-y0)關(guān)于x,-y亦然。

由和、積的共軛運(yùn)算及1）可知

另外，若化為對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，則有

其中f(z)=u+iv，z=x+iy。

而

可知

5）作為復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算在積分、級(jí)數(shù)方面的應(yīng)用舉例

對(duì)于幾何級(jí)數(shù)，假定||z＜1，則有

同時(shí)考慮

由復(fù)數(shù)的三角表示及棣莫夫定理知

和

（1）、（2）式兩邊分別相加，有

從而得到

同樣，由（1）式減（2）式可得

級(jí)數(shù)（3）、（4）中既含有r，又含有θ，它們?cè)谟嘘P(guān)級(jí)數(shù)理論的研究中有重要意義。

2 主要結(jié)果

Poisson積分公式在函數(shù)論、微分方程中有著重要應(yīng)用［9］，原證法主要有三種，此處給出一個(gè)新的證法。

定理（Poisson積分公式） 設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)=u+iv在圓內(nèi)解析，在閉圓盤上連續(xù)，則當(dāng) 0＜r＜R時(shí)，有

證明記Γ為圓周| |?-z0=R。由柯西積分公式，有

此處u(?)=Ref(?)。由（8）式以及有

因此（8）式可改寫為

這里，經(jīng)計(jì)算知實(shí)常數(shù)C=Imf(z0)。

將z-z0=reiθ，z-z0=Reiθ代入（9）式，則有

故得

（References）

［1］喬治·波里亞，戈登·拉達(dá).復(fù)變函數(shù)［M］.路見可，余家，林玉波，等，譯.北京：高等教育出版社，1985.

［2］胡文茜.復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何特征及實(shí)踐研究［D］.長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)，2016.

［3］王會(huì)珍.共軛積框架下復(fù)多項(xiàng)式矩陣的實(shí)表示［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

［4］焦騰騰.復(fù)數(shù)知識(shí)與數(shù)學(xué)研究［D］.西安：西北大學(xué)，2016.

［5］李立珺.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的優(yōu)化方法研究與實(shí)現(xiàn)［J］.電子設(shè)計(jì)工程，2013，21（13）：157-161.

［6］孟令彬.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用［J］.邢臺(tái)師范高專學(xué)報(bào)，2000，15（2）：74-77.

［7］李鴻儀.方程共軛復(fù)數(shù)解在實(shí)平面上的幾何意義［J］.上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23（3）：177-187.

［8］WANG J.Bound the number of limit cycles bifurcating from center of polynomial Hamiltonian system via interval analysis［J］.Chaos Solutions&Fractals，2016，87（6）：30-38.

［9］R·柯朗，D·希爾伯特.數(shù)學(xué)物理方法［M］.錢敏，郭敦仁,譯.北京：科學(xué)出版社，1981.