高考數(shù)學排列組合類問題探討

摘要：在高考數(shù)學中，排列組合問題是每年的重要考點。其通常出現(xiàn)在填空題中，屬于中低檔類型的題目，因此其也是考生必須拿分的題型。但該類題目類型比較多，而學生在解答此類問題時往往會因為沒有分清題目類型，錯用解題方法從而導致題目解答錯誤。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學；排列組合；常見題型；解題技巧

排列組合常見的題型有：元素的“在”與“不在”的問題、元素的相鄰問題、元素的相離問題等。雖然排列組合的題目并不難，但是其題型種類較多且比較難判斷。并且不同類型的題目其使用的方法也是不同的。因此在解答此類問題時，先要判斷其題型，然后使用對應的方法，方可正確解題。

一、 元素的“在”與“不在”的問題

在解答元素的“在”與“不在”的問題時，既可以從元素入手，也可以從位置入手，但是必須要始終牢記的是誰“特殊”誰優(yōu)先排列。如果從元素入手，則先給特殊的元素安排位置；而如果從位置入手，則先給特殊位置安排元素。但需要特別注意的是，兩種方法只能獨自使用，不能同時使用。

例1班級上6個人準備拍照，此時將6人排成1排，要求小明既不站在最左邊也不站在最右邊，求共有多少種站法？

解析方法一：從位置入手，通過審題可知，最左邊和最右邊是最為特殊的位置。

第一步：先從其他5個人中選擇2個人分別站在最左邊和最右邊，有A25種站法；

第二步：剩下的4個人站在空著的4個位置，有A44種。從而可得一共有A25A44=480種方法；

方法二：從元素入手，由題干可知，小明同學是最為特殊的一個元素。

第一步：先將小明安排到中間的4個位置的任意一個，有A14種方法；

第二步：剩下的5個人站在空著的5個位置，有A55種方法。從而可得一共有A14A55=480種方法。

點撥本題運用兩種方法解題，通過相比較發(fā)現(xiàn)從元素入手，比較容易理解。此外本題也可以采用間接法進行解題，即先假設6個人的排隊是無限制條件的，從而算出其總有A66種方法；然后再將特殊情況去除掉，即小明站在最左邊和最右邊時6人排隊情況。從而可以算出一共有A66-2A55=480種方法。

二、 相鄰問題

相鄰問題是一種比較常見的排列組合的問題，通常情況下，題設往往會給出同一元素必須要相鄰的限制條件。解答此類問題的方法為“捆綁法”，即將同一元素看成一個整體，將其當作一個元素同其他元素進行排列，然后再將看成整體的部分再排列，即可算出種類。

例2有3個高三（1）班的學生、4個高三（2）班的學生站在一起，其中（1）班同學必須相鄰，（2）班的同學也必須相鄰，求共有多少種排列方法？

解析通過審題可知，此題為相鄰問題。

第一步：將3名高三（1）班的學生看成一個整體，看成一個元素，將4名高三（2）班的學生看成一個整體，看成一個元素。這兩種元素排列一共可有A22種方法；

第二步：將高三（1）班、（2）班的學生分別進行內(nèi)部排列：高三（1）班的學生內(nèi)部排列共有A33種方法，高三（2）班的學生內(nèi)部排列共有A44種方法。所有共有A22·A33·A44=288種方法。

點撥通過此題的解題過程，我們可以發(fā)現(xiàn)運用“捆綁法”進行解題，其思想為先整體再局部。此外需要我們特別注意的是，在使用此方法時一定不能忘記對整體內(nèi)部的排序，特別在有些不只一個整體的題目中，對其內(nèi)部的排序不能有遺漏。

三、 相離問題

相離問題即不相鄰問題，該類問題的模型為將n個不同元素排列，其中有k個元素互不相鄰，求排列方法的種類。解答此類問題的方法為“插空法”，即將無要求的元素先排列，然后將互不相鄰的元素的插到已經(jīng)排好的元素之間的空隙中，即可算出種類。

點撥由題意可知，本題的解題思想為先分步再分類，其中其分步是根據(jù)題干中所要求的偶數(shù)；而分類則是根據(jù)特殊元素來進行分類的。而在解答不相鄰的問題時需要特別注意的是，在進行分類計算時，一定看準有多少空位，特別是在排列的數(shù)量比較多的問題時更需要注意。

綜上所述，在解答排列組合的問題時，其關(guān)鍵就是密切關(guān)注題干中的一些限制條件，從限制條件中判斷題目所屬的類型，然后運用適當?shù)姆椒ㄟM行解題。此外需要學生特別注意的是，在解答此類問題時其解題過程最好分步書寫，這樣往往會使解題思路清晰，從而提高正確率。并且對一些常用的解題方法要有一個很好的認知。

作者簡介：

田飛，甘肅省武威市，民勤縣第四中學。endprint