數(shù)列周期性的應(yīng)用略談

呂若虛??

摘要：數(shù)列具有函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)來求和、求數(shù)列的通項(xiàng)公式、求數(shù)列中的某些項(xiàng)，可以大大減小運(yùn)算量，簡化過程，從而有效地解決諸多的數(shù)學(xué)難題，收到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；函數(shù)；周期性

一、 求和問題中的應(yīng)用

例如已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，an=an-1-an-2（n∈N+且n≥3）。（1）求a3，a4，a5的值，（2）求S100的值。

解：（1）由已知的遞推關(guān)系得：a3=a2 -a1 = 2-1=1，

a4= a3-a2 =1-2=-1，a5=a4 - a3=-1-1=-2.

（2）由遞推關(guān)系an=an-1-an-2，學(xué)生會(huì)感覺跟斐波那契數(shù)列十分相似，但其實(shí)二者本質(zhì)上是不同的。后者Fn+2=Fn+1+Fn（n=0，1，2，…）是典型的遞增的數(shù)列，而前者則是周期數(shù)列。

an=an-1-an-2= （an-2-an-3） -an-2=-an-3

得：an=- an-3，同理得：an-3 =-an-6

所以an = an-6

因此認(rèn)為數(shù)列的周期T=6

a6= a5- a4=-2-（-1）=-1

方法一：an=an-1-an-2， an-1= an-2-an-3，…，a3=a2 -a1，這n-1個(gè)式子相加得：an+an-1+…+a3=an-1-a1

Sn=an-1+ a2（n∈N+且n≥2）

S100=a99+a2=a16×6+3+a2=a3+a2=1+2=3=a16×6+3+a2

=a3+a2=3

數(shù)列{an}的周期T=6，由此可以求出數(shù)列{an}通項(xiàng)an=a6k+r=ar（r=1，2，3，4，5，6），數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn=an-1+ a2（n∈N+且n≥2）。

二、 應(yīng)用周期性求數(shù)列的通項(xiàng)公式

例如：有數(shù)列如下，求其一個(gè)可能的通項(xiàng)公式：

（1）1，0，-1，0，1，0，-1，0，…﹔

（2） a，b，a，b，a，b，…；

解：（1）數(shù)列的前八項(xiàng)，每隔四項(xiàng)就重復(fù)出現(xiàn)一次，所以可以認(rèn)為數(shù)列的周期是T=4，由此可以聯(lián)想起三角函數(shù)，振幅為A=1，設(shè)y=sinωx

由于周期T=4，得：4=2πω，ω=π2

因此可能的一個(gè)通項(xiàng)公式為：an=sinnπ2（n∈N+）

（2）本題的通項(xiàng)公式有多種；

①an =a+b2+（-1）na-b2（n∈N+）；

② 認(rèn)為是分段函數(shù)

an∈2k+1k∈N+

bn∈2kk∈N+

③數(shù)列的前六項(xiàng)，每隔兩項(xiàng)就重復(fù)出現(xiàn)一次，所以可以認(rèn)為數(shù)列的周期是T=2，由此會(huì)聯(lián)想到三角函數(shù)。

an= a+b2-a-b2cosnπ（n∈N+）

三、 求數(shù)列中的某些項(xiàng)的應(yīng)用

已知實(shí)數(shù)列{an}滿足a0=a，a為實(shí)數(shù)，an=3an-1+13-an-1（n∈N）求a2009。

原來的解法： a1=3a0+13-a0=3a+13-a

a2=3a1+13-a1=a+31-3a，a3=3a2+13-a2=-1a

a4=3a3+13-a3=3-1a+13--1a=-3+a3a+1

a5=3a4+13-a4=3a-1a+3

a6=3a5+13-a5=33a-1a+3+13-3a-1a+3=a

∴a7=a1a8=a2a9=a3…

于是對于任意正整數(shù)k有 a6k+r=ar（r=0，1，2，3，4， …）

2009=6×334+5

∴a2009=a5=3a-1a+3

上述解題過程和最后得出的答案并沒有問題，但是多是機(jī)械操作，計(jì)算量也較大，顯得繁瑣。如果利用函數(shù)的思想和方法來解決問題，就簡捷得多了。

方法一：

如果將上面的a3替換為an，a0替換為an-3得到：

an=-1an-3同理得：an-3=-1an-6

所以得到：an=an-6

用函數(shù)的思想認(rèn)識(shí)an=an-6時(shí)，很顯然數(shù)列{an}的周期T=6。

2009=6×334+5

∴a2009=a5=3a-1a+3

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉培杰.數(shù)列的周期性.中等數(shù)學(xué)，2015，6.

[2] 朱樹兵.數(shù)列的周期性及其應(yīng)用.第二課堂（高中版），2007，1.

作者簡介：呂若虛，山東省東營市，山東省廣饒縣第一中學(xué)。endprint