“中點(diǎn)”暢想促生長(zhǎng) “圖形”演化識(shí)本源

溫晶晶

摘? 要：以“中點(diǎn)”圖形的構(gòu)造為抓手，由點(diǎn)和線整合知識(shí). 以三角形一邊的中點(diǎn)、中位線的串聯(lián)整合為載體，由線至形提煉性質(zhì). 結(jié)合旋轉(zhuǎn)和平移演變圖形的位置與形狀，一題多變，以變求通. 融入“生長(zhǎng)”理念，廣聯(lián)圖形，從三角形拓展至五邊形相關(guān)中點(diǎn)問題，并通過歸納、提煉基本圖形，融通思維路徑，回歸知識(shí)本源.

關(guān)鍵詞：生長(zhǎng)課堂;整體建構(gòu);聯(lián)想歸納

一、緣起

隨著課程改革的逐步深化，學(xué)生單純依靠模仿和記憶解題的現(xiàn)象有所緩解，但是在當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“重結(jié)果、輕過程，重形式、輕內(nèi)涵，重解法、輕本質(zhì)”的現(xiàn)象在一定程度上仍然存在，學(xué)生所做的練習(xí)并沒有完全轉(zhuǎn)化為能力. 究其原因，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在各章節(jié)所習(xí)得的知識(shí)點(diǎn)孤立而零散，知識(shí)與技能沒有得到有序?qū)优c有機(jī)整合，缺乏聚焦局部、回溯本源和遷移拓展的分析問題的能力. 在“生長(zhǎng)”理念下的課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該以學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)由內(nèi)而外地自然“生長(zhǎng)”，優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，抓住知識(shí)的重要節(jié)點(diǎn)，變式串聯(lián)思維，挖掘問題本質(zhì)，解決靈動(dòng)變化的數(shù)學(xué)問題. 通過引領(lǐng)學(xué)生欣賞問題背后折射出的數(shù)學(xué)美，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)和能力的自主生長(zhǎng)，化教學(xué)過程為教學(xué)技藝.

二、“生長(zhǎng)”理念課堂的構(gòu)建和實(shí)施

思維的自然生長(zhǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言意義重大，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)愿景應(yīng)起步于自然生長(zhǎng)，歸根于立德樹人. 筆者綜觀初中數(shù)學(xué)教材，圍繞核心知識(shí)，踐行“生長(zhǎng)”理念，認(rèn)為在構(gòu)建和實(shí)施生長(zhǎng)型課堂的過程中，教師要十分注重知識(shí)之間的“聯(lián)—變—?dú)w—遷”，做到不同教學(xué)內(nèi)容之間的無縫對(duì)接與有序呈現(xiàn). 以下筆者結(jié)合中考專題復(fù)習(xí)課“中點(diǎn)的暢想”，例談如何在幾何教學(xué)中構(gòu)建生長(zhǎng)型課堂，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

1.“聯(lián)”——聯(lián)想活化知識(shí)，多維架設(shè)生長(zhǎng)鏈

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生不斷完善自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，學(xué)生將頭腦中的知識(shí)通過感知、理解，歸納組合成不同深度和廣度的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu). 有序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于知識(shí)的貯存和提取. 在解決具體問題時(shí)，學(xué)生往往根據(jù)已知條件展開聯(lián)想，當(dāng)已知條件與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某個(gè)點(diǎn)發(fā)生關(guān)聯(lián)時(shí)，也就找到了問題的突破口和解法的生長(zhǎng)點(diǎn). 因此，從“生長(zhǎng)”的角度出發(fā)，將同一知識(shí)點(diǎn)所能導(dǎo)出的上位知識(shí)加以整合，能夠幫助學(xué)生建構(gòu)更加牢固的知識(shí)體系，為知識(shí)和方法的進(jìn)一步衍生提供堅(jiān)實(shí)的知識(shí)主干.

策略1：優(yōu)化整合知識(shí)網(wǎng)，重塑知識(shí)主干.

環(huán)節(jié)1：中點(diǎn)暢想引入.

以中點(diǎn)為認(rèn)知起點(diǎn)引領(lǐng)學(xué)生展開聯(lián)想，圍繞最基本的三角形衍生出一系列開放性問題，能夠有效激活學(xué)生的思維.

問題：如圖1，已知D為△ABC的邊BC上的中點(diǎn)，可以聯(lián)想到哪些重要線段？試概述其性質(zhì).

中點(diǎn)知識(shí)自然生長(zhǎng)，引出中線、中位線. 通過研究相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，進(jìn)一步喚醒學(xué)生記憶存儲(chǔ)中的相關(guān)信息，將散落在記憶角落的點(diǎn)狀知識(shí)聯(lián)結(jié)成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu). 為了讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)相關(guān)知識(shí)，將三角形的邊、角特殊化，帶動(dòng)圖形特殊化（如圖4），由一般聯(lián)想特殊，啟思引探. 通過對(duì)舊知識(shí)的結(jié)構(gòu)化梳理，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)和方法凝煉成一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)體系，廣開眼界和思路，從新的高度看待問題，以新的視角挖掘問題的各個(gè)方面.

為了讓學(xué)生體驗(yàn)兩種特殊圖形的關(guān)聯(lián)，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)中點(diǎn)知識(shí)的初步綜合應(yīng)用能力，整合優(yōu)化、以變促思，將兩個(gè)直角三角形重組，形成共斜邊基本圖形，如圖6所示.

由中點(diǎn)衍生出的基本圖形需要讓學(xué)生加以整合，以便對(duì)知識(shí)進(jìn)行整體感知和宏觀把握，使得原本看似零散的知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過有序梳理后渾然一體. 在解決具體問題時(shí)，學(xué)生腦海中能夠自然而清晰地浮現(xiàn)出相關(guān)的解題方法. 通過元認(rèn)知問題，由點(diǎn)到線再到形，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想、發(fā)散思維，凸顯知識(shí)的思維鏈，優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的深度思維.

2.“變”——變式串聯(lián)思維，層層拔高生長(zhǎng)節(jié)

波利亞在《怎樣解題》中指出，問題應(yīng)當(dāng)精選，所選的題目不應(yīng)該太難但也不要太容易，應(yīng)順乎自然而且趣味盎然. 由此可見，教師要構(gòu)建生長(zhǎng)型課堂，選擇呈現(xiàn)的問題應(yīng)該是順乎自然、符合情理的，為此可以基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)量身設(shè)計(jì)問題，通過變式串聯(lián)思維，尋求自然求解之道，層層拔高生長(zhǎng)節(jié)，以促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng). 然而，每名學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同，面對(duì)具體問題會(huì)有不同的解法，正是由于解法的多樣性，才促使生長(zhǎng)型課堂豐富多彩.

策略2：有序設(shè)置問題鏈，延展思維枝蔓.

從生活情境入手，以常見的三角板為載體，將其抽象成幾何圖形，針對(duì)不同位置關(guān)系設(shè)置問題，利用共點(diǎn)、共邊等特殊位置構(gòu)圖，同時(shí)注入中點(diǎn)元素，在不增加條件的情況下，發(fā)揮母題的最大效能，有效鍛煉學(xué)生的思維. 讓學(xué)生以中點(diǎn)為線索，梳理已知條件，展開合理、有序的自然聯(lián)想，尋求自然解法，鍛煉學(xué)生挖掘問題本質(zhì)的能力.

環(huán)節(jié)2：中點(diǎn)暢想例題及變式.

例1? 兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板如圖7所示放置，圖8是由它抽象出的幾何圖形. 已知[△ABC]和[△CDE]為等腰直角三角形，點(diǎn)C，B，D在同一條直線上，連接AE，DF，取AE中點(diǎn)F，連接BF，DF.

（1）猜想BF和CE有怎樣的位置關(guān)系？

（2）BF和DF之間有哪些特殊關(guān)系？

通過對(duì)中點(diǎn)知識(shí)的深度理解和基本圖形的巧妙構(gòu)造，往往能逐步接近問題的本質(zhì). 教師在講評(píng)過程中應(yīng)注重解題思路分析和問題模型概括.

思路1：中點(diǎn) + 中點(diǎn) → 中位線.

如圖9，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)G. 易得點(diǎn)B為AG的中點(diǎn). 在△AGE中，由中位線定理，得BF∥CE.

由此推出的基本模型如圖10所示.

思路2：中點(diǎn) + 直角三角形 → 斜邊中線.

如圖11，連接CF. 易證△ABF≌△CBF.所以∠AFB=∠CFB.所以BF平分∠AFC.在等腰三角形ACF中，由三線合一，得BF⊥AC.?由已知易得CE⊥AC.所以BF∥CE.

由此推出的基本模型如圖12所示.

思路3：中點(diǎn) + 平行 →“X”型全等.

由此推出的基本模型如圖14所示.

在第（1）小題3種解題思路探討的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)深入了解了圖形的相關(guān)特性，第（2）小題的求解過程也變得順其自然. 可以直接借助思路3的圖形和結(jié)論，證得△DBH為等腰直角三角形且BF=FH.由等腰直角三角形三線合一，得DF=BF且DF⊥BF.

以上思路的共同點(diǎn)是活用中點(diǎn)，通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形，明晰解題方向. 中點(diǎn)因其所涉及的核心知識(shí)點(diǎn)多、范圍廣，思考路徑多樣，往往成為相關(guān)幾何題的“題眼”所在. 學(xué)生要解決問題，需合理利用中點(diǎn)性質(zhì)，將圖形中蘊(yùn)含的信息與已知條件融會(huì)貫通，對(duì)問題進(jìn)行多角度分析，挖掘問題中所隱藏的中點(diǎn)痕跡，驅(qū)動(dòng)思維起航，將相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)匯聚到一起，必要時(shí)適當(dāng)構(gòu)線造角，從復(fù)雜圖形中抽離出基本圖形，方能使問題化繁為簡(jiǎn).

為了進(jìn)一步提升學(xué)生思維的靈活性和深刻性，將例1中的條件弱化，通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)一步改變兩個(gè)共頂點(diǎn)等腰直角三角形的位置，使其失去共邊的特性，得到如下變式.

變式1：如圖15，已知△ABC和△CDE為等腰直角三角形，BC⊥CE，連接AE，取AE中點(diǎn)F，連接BF，DF，試問BF和DF之間有哪些特殊關(guān)系？

變式2：如圖17，已知[△ABC]和[△CDE]為等腰直角三角形，連接AE，取AE中點(diǎn)F，連接BF，DF，試問BF和DF之間有哪些特殊關(guān)系？

一題多解，啟智生慧;一題多變，觸類旁通;多題歸一，追本溯源. 通過對(duì)例1的橫向拓展和縱向加深，從特殊到一般、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，啟發(fā)學(xué)生體悟研究數(shù)學(xué)問題的一般路徑，激發(fā)學(xué)生對(duì)問題的深層次思考，有效促進(jìn)學(xué)生思維和能力的生長(zhǎng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)本質(zhì)認(rèn)同，讓立德樹人的教育目標(biāo)在課堂上生根發(fā)芽.

3.“歸”——?dú)w納內(nèi)化素養(yǎng)，回溯滋養(yǎng)生長(zhǎng)源

華羅庚曾說，復(fù)雜的問題要善于退，退到原始而不失重要性的地方. 當(dāng)前許多幾何探究題的命制往往是對(duì)問題進(jìn)行一系列變式，更換其非本質(zhì)特征. 與之對(duì)應(yīng)，解題教學(xué)要善于洞悉問題聯(lián)系，透析本源、聯(lián)想化歸，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)本位到素養(yǎng)本位的轉(zhuǎn)化.

策略3：尋蹤覓跡識(shí)本質(zhì)，厚植思想根基.

幾何學(xué)是研究物體大小、形狀及位置關(guān)系的學(xué)科，圖形千變?nèi)f化，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的眼光分析問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷由靜到動(dòng)的探究過程，多角度思考圖形變化規(guī)律，深挖問題本質(zhì)（如圖19）.

環(huán)節(jié)3：中點(diǎn)相關(guān)思維拓展.

以上解法由中點(diǎn)結(jié)合圓的軸對(duì)稱性，添加輔助線分割線段，并借助設(shè)元、列方程組的方法求解，屬于通性、通法. 也可以利用平移的觀點(diǎn)直達(dá)本質(zhì).

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開智慧的啟迪，在日常教學(xué)中，教師要時(shí)常以數(shù)學(xué)的精巧來強(qiáng)化知識(shí)的生長(zhǎng)源，這個(gè)“源”既是知識(shí)向上生長(zhǎng)的力量源泉，也是核心素養(yǎng)的根基所在.

4.“遷”——遷移拓展能力，深挖培植生長(zhǎng)力

問題的生長(zhǎng)方向決定思維的生長(zhǎng)高度，教師作為課堂問題生長(zhǎng)的總設(shè)計(jì)師，以及學(xué)生思維成長(zhǎng)的總規(guī)劃師，要時(shí)刻具備數(shù)學(xué)教學(xué)的全局觀，將解題理念從“知識(shí)本位”逐步引向“能力本位”，將問題解決過程中所用的思想方法提煉、融通，以最自然的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在題源類比、拓展延伸的過程中活化思維，提升對(duì)知識(shí)的理解深度.

綜觀初中幾何知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)，由點(diǎn)到線再到形，線段和角是構(gòu)成幾何圖形基本要素，平面幾何的學(xué)習(xí)主要以三角形、四邊形、圓為主，這些繁雜圖形背后蘊(yùn)含著相同的特質(zhì)，相似的研究方法和求解路徑. 從具體到抽象、從特殊到一般，三角形內(nèi)部橫向拓展，再到四邊形、多邊形，從特殊到一般，縱向延伸，可以將四邊形、五邊形等多邊形問題最終化歸為三角形知識(shí)去解決.

策略4：提煉融通思維鏈，催生能力果實(shí).

解題教學(xué)不能拘泥于“怎樣做”，而是要教會(huì)學(xué)生“怎樣想”. 教師不僅要傳授知識(shí)，更應(yīng)該傳達(dá)思想方法，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo). 要充分挖掘題目中的隱含條件，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別或構(gòu)造基本圖形，探尋問題解決的基本規(guī)律，讓解法自然生成，提升學(xué)生的類比、遷移能力，以其達(dá)到“做一題，通一類”的境界.

環(huán)節(jié)4：中點(diǎn)知識(shí)連線結(jié)網(wǎng).

當(dāng)中點(diǎn)隱藏在四邊形、五邊形等多邊形中時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生深入思考如何將其分解成若干個(gè)三角形，回歸三角形中點(diǎn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深入挖掘有價(jià)值的結(jié)論，探究問題本質(zhì). 從三角形一路拓展到四邊形、五邊形等多邊形，教師應(yīng)以中點(diǎn)知識(shí)轉(zhuǎn)化為思路引領(lǐng)，追根溯源，教會(huì)學(xué)生巧用中點(diǎn)，廣聯(lián)想、促發(fā)現(xiàn)，回歸基本圖形（如圖24）.

生長(zhǎng)型課堂以核心知識(shí)為起點(diǎn)，通過巧聯(lián)想、構(gòu)體系，在知識(shí)點(diǎn)間建立聯(lián)系，立足高觀點(diǎn)，深入剖析知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，融通思維路徑，回歸知識(shí)本源. 多維架設(shè)“教”的策略，以適應(yīng)“學(xué)”的需求，通過尋蹤覓跡識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)核心素養(yǎng)的提升.

生長(zhǎng)型課堂是一片沃土，在這一領(lǐng)域還缺乏文獻(xiàn)和實(shí)踐指引，本文也只是結(jié)合筆者自身的幾何教學(xué)實(shí)踐例談對(duì)生長(zhǎng)型課堂的一些看法，具有一定的局限性，不同教師對(duì)教材的理解不同，整合方式各異. 生長(zhǎng)型課堂教學(xué)對(duì)師生都提出了更高要求，需要我們站在更高的角度看問題.

然而，在當(dāng)前“學(xué)為中心”的理念下，生長(zhǎng)型課堂有其積極的存在意義. 其基于生活經(jīng)驗(yàn)明確目標(biāo)，從一個(gè)概念出發(fā)聯(lián)結(jié)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合有效策略，促使學(xué)生在知識(shí)、思維、能力等方面不斷成長(zhǎng)，內(nèi)化素養(yǎng)，從而提高整個(gè)初中階段學(xué)習(xí)力，這對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展是非常有利的.

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