尋其芳蹤去有“圓”自然成

秦威

摘? 要：圖形運動中的幾何問題，有著獨特的數(shù)學(xué)魅力. 同時，這類問題的探究對學(xué)生的觀察能力、想象能力和分析問題能力有著很高的要求，學(xué)生往往望而生畏. 以作輔助圓解決運動圖形中最值問題為題材的拓展教學(xué)，有助于學(xué)生對此類問題的深入理解. 文章通過對三類問題的剖析，挖掘問題本質(zhì)，追溯知識源點，構(gòu)建解決這類問題的一般思路，使學(xué)生積累解題經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：圖形運動;最值問題;圓

在幾何解題教學(xué)中，線段最值問題是一個難點，學(xué)生常常對此類問題感到困惑. 本文突出作輔助圓解決一類線段最值問題的拓展教學(xué)引導(dǎo)，揭示圖形運動變化的特征，發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力，探尋解題思路來源，引導(dǎo)學(xué)生積累解題經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、鋪設(shè)問題引導(dǎo)，解法自然生成

解題是激活已有解題經(jīng)驗，并積累新的解題經(jīng)驗的過程. 在幾何動點問題的解題教學(xué)中，依據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和解題經(jīng)驗，尋求動點的運動特征，有利于發(fā)散學(xué)生的想象思維和推理判斷能力. 教師通過鋪設(shè)有層次的問題引導(dǎo)，可以讓自然解法破土而出.

1. 定點、定長隨圓動

將一個復(fù)雜且陌生的問題變?yōu)楹唵吻沂煜さ膯栴}，把問題從一個高度遞減式分解成若干個符合學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的問題是一種有效的解題策略. 對于此題，教師可以對學(xué)生做以下引導(dǎo).

（1）題目中，哪些點是動點，哪些點是定點？

（2）連接GD. GD的長度在[EF]取不同位置時，發(fā)生變化嗎？點G做怎樣的運動？

（3）如果點G是固定的，如何求PA+PG的最小值？

（4）如果點P是固定的，如何求PG+GD的最小值？

問題（1）引導(dǎo)學(xué)生將題意和圖形相融合，意在讓學(xué)生理清題意. 問題（2）是解決問題的關(guān)鍵點，通過引導(dǎo)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)GD的長度不變. 提出這兩個問題的目的在于引導(dǎo)學(xué)生從圖形的運動中，把握不變的因素，根據(jù)這些不變的量，確定點G的運動形式，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 提出問題（3）（4）的目的是引導(dǎo)學(xué)生回溯已經(jīng)具備的解題經(jīng)驗. 如圖5，以點D為圓心、DG為半徑的作⊙D，延長AB至點A，使AB=AB，連接AP，AD.通過回顧“將軍飲馬”模型和“圓外一點到圓上一點的最短距離”問題的解題思路，讓此題的解題方法漸漸顯露. 在這樣的引導(dǎo)下，學(xué)生的思考經(jīng)歷了“撥云見日”的過程，思維的指向更加明晰.

在求解數(shù)學(xué)問題的過程中，把有難度的問題轉(zhuǎn)化成若干個階梯式小問題，有助于學(xué)生思維向更高一級層次發(fā)展. 例1中通過折疊產(chǎn)生了定長MA，例2在直角三角形中產(chǎn)生了定長DG. 通過問題引導(dǎo)，有助于學(xué)生抓住這些不變的量，根據(jù)“到定點的距離等于定長的點在同一個圓上”添加輔助圓，找出相應(yīng)點的運動特征，轉(zhuǎn)化問題，破解難點.

2. 定角、動弦暗生圓

例3? 如圖6，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，動點E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且∠ABE=∠BFE，?則BF的最小值為?____? .

根據(jù)題目中的信息可以發(fā)現(xiàn)條件∠ABE=∠BFE是解題的關(guān)鍵點，挖掘這一關(guān)系中隱含的信息，有助于突破難點. 因此，教師可以對學(xué)生進(jìn)行如下引導(dǎo).

通過以上問題的引導(dǎo)，學(xué)生的解題思路將拾級而上. 然而，在問題（4）上，學(xué)生容易出錯，直接認(rèn)為當(dāng)[OE⊥AC]時，OE取最小值，這樣的思路是有缺陷的. 問題（4）的給出在于突出易錯點，引發(fā)后續(xù)思考. 因此，教師需要指出，若點O是定點，那么當(dāng)[OE⊥AC]時，OE取最小值，則BF也取最小值. 但是在此題中，隨著點E的運動，點F也是運動的，從而點O也是運動的，所以不能直接說當(dāng)[OE⊥AC]時，OE取最小值. 此題的具體解法如下.

例4? 如圖9，點A是直線y=-x上的一個動點，點[B]是x軸上的動點，若AB=2，則△AOB面積的最大值為_____ .

此題在定角和動弦的對應(yīng)關(guān)系下，添加輔助圓，通過問題的引導(dǎo)，將問題的本質(zhì)挖掘顯現(xiàn)，從面積問題轉(zhuǎn)化為求三角形高的問題，再從三角形的高與所隱含的動圓之間的關(guān)系，去發(fā)現(xiàn)高取最大值時的狀態(tài). 這樣把一個復(fù)雜的問題引向了學(xué)生具備的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，使得學(xué)生在思考中收獲了對知識本質(zhì)的理解.

解決此類問題時，抓住不變的元素是關(guān)鍵，構(gòu)建輔助圓，再根據(jù)條件尋找與已有知識之間的聯(lián)系. 不難發(fā)現(xiàn)，運動中存在角度不變的情況，可能與所學(xué)過的圓周角有聯(lián)系，通過知識篩選，得出問題中的角在某一圓周上，從而使思維進(jìn)一步向問題指向靠近.

3. 動角、定弦圓猶在

二、喚醒解題思路，展現(xiàn)思維流程

1. 問題引導(dǎo)，關(guān)注思維流線

上述的問題引導(dǎo)，立足于思考教學(xué)生如何想，從哪里著手解題，通過具有層次性問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生拾級而上，最終獲得解題思路. 有助于學(xué)生思維的發(fā)展和解題經(jīng)驗的積累. 在例1中，設(shè)置了5個問題，從題目的條件出發(fā)，探索翻折過程中不變的量，引發(fā)學(xué)生對這些不變量之間關(guān)系的本質(zhì)思考，尋求點[A′]的運動特征，在分析的過程中形成有序的思考. 例2的引導(dǎo)是把問題轉(zhuǎn)化成若干個階梯式的小問題，通過問題的層層推進(jìn)，使得學(xué)生的思維向更高一級層次發(fā)展. 這些問題的引導(dǎo)，使得學(xué)生的思維流線更加自然.

2. 問題類比，積累解題經(jīng)驗

在幾何解題教學(xué)中，注重數(shù)學(xué)思想方法的歸納和總結(jié)，通過問題的類比，可以讓學(xué)生對知識的理解更加通透. 例6相對于例5更加復(fù)雜，因為學(xué)生對“90°的圓周角所對的弦是直徑”的理解更為明晰，在例6中，弦AB所對的圓周角為120°，從而得出點P的運動特征，突破問題求解的思維障礙. 對“定點、定長”“定角、動弦”“動角、定弦”三類問題分別展現(xiàn)兩道例題求解的思維過程，有助于學(xué)生掌握不同類型問題的分析方法. 在理解知識的基礎(chǔ)上，探尋運動圖形中的不變元素，發(fā)現(xiàn)動點的運動規(guī)律，進(jìn)而通過知識類比，實現(xiàn)數(shù)學(xué)推理，在這樣的引導(dǎo)過程中，形成一類問題的解法（如圖15）.

3. 抓住本質(zhì)，提升核心素養(yǎng)

上述6道例題，分別從不同角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，通過添加輔助圓實現(xiàn)問題的解決. 將這一內(nèi)容作為拓展教學(xué)，通過條件分析，挖掘運動中不變的元素，探尋知識之間的關(guān)聯(lián)，把新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，進(jìn)而實現(xiàn)問題的求解. 在解題過程中，教師設(shè)置引導(dǎo)式問題，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題思考的切入點，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]錢宜鋒. 一道填空壓軸題解答切入點的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（4）：51-53.