加權(quán)平均指數(shù)跳—擴(kuò)散模型下障礙期權(quán)的數(shù)值解

摘 要 路徑依賴型期權(quán)的解析定價(jià)是期權(quán)定價(jià)的核心問題。將雙指數(shù)-跳擴(kuò)散模型進(jìn)行延伸，提出加權(quán)平均指數(shù)跳-擴(kuò)散模型。模型中，資產(chǎn)價(jià)格的跳躍為指數(shù)分布的加權(quán)平均。在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，給出上升入局看漲障礙期權(quán)的定價(jià)公式，然后對(duì)上升入局看漲障礙期權(quán)價(jià)格做二重拉普拉斯變換，并利用歐拉反演算和蒙特卡羅模擬兩方法種得到了上升入局看漲障礙期權(quán)價(jià)格的數(shù)值結(jié)果。數(shù)值結(jié)果表明，歐拉反演算法得到的數(shù)值結(jié)果均在用蒙特卡羅模擬法得到的數(shù)值結(jié)果的置信水平為95%的置信區(qū)間內(nèi)。其它障礙期權(quán)的價(jià)格可類似得到。

關(guān)鍵詞 加權(quán)平均指數(shù) 跳-擴(kuò)散模型 障礙期權(quán) 二重拉普拉斯變換 歐拉反演算 蒙特卡羅模擬

中圖分類號(hào)：O241 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.12.024

Abstract The analytical pricing of path-dependent options is the core issue of option pricing. The dual index - jump diffusion model is extended， and the weighted average index jump - diffusion model is proposed. In the model， the jump in asset prices is a weighted average of exponential distributions. Under the risk-neutral measure， we give the pricing formula of the ascending call-in-option and do the double Laplace transform to the price of the ascending call-in option. We use the Euler inverse and Monte Carlo simulations the numerical result of an ascending call-in-option price. The numerical results show that the numerical results obtained by the Eulerian inversion algorithm are all within the 95% confidence interval of the confidence level of the numerical results obtained by the Monte Carlo simulation. Other barrier options can be similarly priced.

Keywords weighed average exponential； jump-diffusion model； barrier option， double laplace transform； Euler inversion algorithm； Monte Carlo simulation

眾所周知，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型是在一些理想的假設(shè)條件下給出的，如假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從正態(tài)分布，這些理想條件使得基于Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的期權(quán)價(jià)格與實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格有明顯的偏差。很多金融學(xué)者對(duì)B-S模型進(jìn)行了推廣，如Merton的跳擴(kuò)散模型、[1]S. Kou的跳擴(kuò)散模型[2]和雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型[3]等，這些模型中假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的跳躍高度是獨(dú)立同分布的，這與實(shí)際情況也有較大偏差。事實(shí)上，與正態(tài)分布相比，資產(chǎn)收益分布有厚尾現(xiàn)象，但到底有多“厚”是不清晰的。

障礙期權(quán)是一種路徑依賴型期權(quán)，這種期權(quán)是否有效取決于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在一段特定時(shí)間內(nèi)是否達(dá)到了某個(gè)特定的水平（臨界值），這個(gè)臨界值就稱為障礙水平。繼Black-Scholes模型后的很多模型能給出歐式看漲和看跌期權(quán)的解析解，但對(duì)于路徑依賴型期權(quán)的解析定價(jià)卻很難，甚至對(duì)這些衍生物的數(shù)值方法也不容易，如P. Carr的Levy過(guò)程下的障礙期權(quán)定價(jià)、[4]L.Nguyen-Ngoc的指數(shù)Levy過(guò)程下奇異期權(quán)的定價(jià)，[5]D. Davydov的CEV過(guò)程下路徑依賴型期權(quán)定價(jià)、[6]張利花在路徑依賴型期權(quán)定價(jià)模型和方法研究[7]中用總體最小二乘擬蒙特卡洛模擬方法對(duì)期權(quán)定價(jià)等。因此，給出一類跳躍幅度能接近任意分布且容易得到路徑依賴型期權(quán)的解析解的跳-擴(kuò)散模型是必需的。由于加權(quán)平均指數(shù)分布能近似任何分布，包括正態(tài)分布、各種各樣的厚尾分布和離散分布。因此我們給出加權(quán)平均指數(shù)跳-擴(kuò)散模型，模型中，資產(chǎn)價(jià)格的跳躍為指數(shù)分布的加權(quán)平均。

4 障礙期權(quán)價(jià)格的數(shù)值結(jié)果

為了得到上升入局看漲障礙期權(quán)價(jià)格的數(shù)值解，我們用雙向二維歐拉反演算[14]和蒙特卡羅模擬[15][16]兩種方法反求（6），數(shù)值結(jié)果見表（1）。表中EI表示歐拉反演算法，MC表示蒙特卡羅方法，MCSE表示蒙特卡羅標(biāo)準(zhǔn)誤差。MC模擬值是通過(guò)模擬10000次和使用步長(zhǎng)為0.00005估計(jì)得到的，為控制變量。所計(jì)算EI數(shù)值解和MC模擬值的運(yùn)行時(shí)間分別為6秒和2分，MC模擬值運(yùn)行時(shí)間相對(duì)長(zhǎng)一些。從表1中可以看到，利用歐拉反演算法得到的數(shù)值結(jié)果均在用蒙特卡羅模擬法得到的數(shù)值結(jié)果的置信水平為95%的置信區(qū)間內(nèi)。

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