水下縱肋加強(qiáng)圓柱殼低頻振動與聲輻射

張 超 ， 商德江 ， 李 琪

（哈爾濱工程大學(xué)a.水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.水聲工程學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引 言

圓柱殼采用肋骨加強(qiáng)，增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)抗壓能力的同時，也在一定程度上改變了其水下振動與聲輻射特性，因此，肋骨加強(qiáng)圓柱殼一直是水下結(jié)構(gòu)振動聲輻射研究的熱點(diǎn)。肋骨有環(huán)肋和縱肋之分，目前國內(nèi)外大量的研究集中于環(huán)肋加強(qiáng)圓柱殼[1-2]，對于縱肋加強(qiáng)圓柱殼的研究則相對較少，但是相關(guān)的研究也已逐漸開展。Ramachandran[3]采用統(tǒng)計(jì)能量法計(jì)算了縱向加強(qiáng)圓柱殼的模態(tài)密度、輻射效率和聲響應(yīng)，并與試驗(yàn)測量結(jié)果進(jìn)行了比較。由于加肋后圓柱殼結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，國內(nèi)有人采用有限元結(jié)合邊界元方法和計(jì)算加肋圓柱殼的振動與聲輻射特性[4-5]，其中王路才[6]采用結(jié)構(gòu)有限元耦合流體邊界元的附加質(zhì)量和附加阻尼算法，對具有不同數(shù)量縱桁的加筋環(huán)肋圓柱殼水下振動與聲輻射噪聲進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，指出縱桁對水下圓柱殼具有較好的減振降噪效果，且縱桁數(shù)量越多減振降噪效果越好。另外，由于解析法具有物理概念清晰、易于揭示物理本質(zhì)的優(yōu)點(diǎn)，解析法也被多個學(xué)者采用。曾革委[7]研究了外殼板加縱骨的雙層圓柱殼的水下聲輻射問題，指出在較低頻率段外殼板加縱骨使雙層加肋圓柱殼水下輻射聲壓增大。謝官模[8]建立了采用環(huán)肋、艙壁和縱骨加強(qiáng)的無限長圓柱殼的水下聲輻射模型，研究了其聲輻射特性。廖長江[9]建立了有限長縱向加肋圓柱殼的振動與聲輻射模型，分析了縱肋數(shù)目和損耗因子對圓柱殼輻射聲功率和均方振速的影響。以上解析計(jì)算中，縱肋均被簡化為Euler-Bernoulli梁，且僅考慮了縱肋對圓柱殼的徑向作用，未考慮縱肋的對圓柱殼其它方向的作用，也未考慮縱肋的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動。

鑒于目前縱肋對圓柱殼低頻振動和聲輻射機(jī)理的研究相對較少，且縱肋對加圓柱殼作用的解析建模忽略因素較多，本文對縱肋的建模進(jìn)行了深入分析，采用Timoshenko梁理論建立縱肋的彎曲振動方程，同時考慮縱肋的軸向縱振動和扭轉(zhuǎn)振動，建立了縱肋加強(qiáng)圓柱殼振動聲輻射的解析計(jì)算模型，分析了低頻段縱肋對圓柱殼振動聲輻射的影響。

1 理論建模

1.1 圓柱殼振動聲輻射建模

有限長縱肋加強(qiáng)圓柱殼模型及坐標(biāo)系如圖1所示。圓柱殼兩端簡支在半無限長剛硬圓柱障板上，內(nèi)部真空，置于無限大理想水介質(zhì)中。

圖1 縱肋加強(qiáng)圓柱殼模型及坐標(biāo)系Fig.1 Longitudinally stiffened cylindrical shell model and coordinate system

圓柱殼運(yùn)動采用經(jīng)典薄殼理論描述，將縱肋和外流體對圓柱殼的作用力表示為圓柱殼位移的函數(shù)并施加到圓柱殼上，采用模態(tài)疊加法建立縱肋加強(qiáng)圓柱殼計(jì)算模型。圓柱殼運(yùn)動方程采用Flügge薄殼理論描述如下[10]：

根據(jù)圓柱殼兩端簡支條件，圓柱殼位移可以表示為如下模態(tài)疊加的形式：

其中：km=mπ/L，L為圓柱殼軸向長度。對圓柱殼上各作用力也進(jìn)行類似的模態(tài)分解，并連同（2）式代入（1）式可得：

其中：sij為展開系數(shù)，為外激勵力和外流體對圓柱殼作用力的模態(tài)展開系數(shù)，和分別為縱肋對圓柱殼各個作用力的模態(tài)展開系數(shù)。外激勵力作用在圓柱殼面中心，其模態(tài)分解在諸多文獻(xiàn)中都有描述[10]，不再贅述。外流體以作用反力的形式施加在圓柱殼上，其模態(tài)分解系數(shù)可寫為[11]

當(dāng)求得各作用力的模態(tài)展開系數(shù)（縱肋對圓柱殼作用力模態(tài)系數(shù)將在后面詳細(xì)介紹）并代入（3）式可求得各位移模態(tài)系數(shù)，從而解得圓柱殼位移，代入外流體作用力公式，可求得圓柱殼表面聲壓，進(jìn)一步結(jié)合圓柱殼表面位移一起可求得圓柱殼輻射聲功率：

其中：Re表示取實(shí)部，ω 為角頻率，n=0 時 εn=2，n≠0 時 εn=1。

經(jīng)推導(dǎo)圓柱殼表面均方振速寫為

1.2 縱肋對圓柱殼作用建模

考慮縱肋的細(xì)長結(jié)構(gòu)，縱肋往往被簡化為梁，通常采用Euler-Bernoulli梁方程，僅考慮梁在圓柱殼中的徑向振動，其運(yùn)動方程如下：

其中：E、Ir、ρ和A分別為縱肋的楊氏模量、徑向彎曲截面慣性矩、密度和截面積，分別為縱肋徑向位移和所受的徑向作用力。

實(shí)際上，縱肋的徑向、周向彎曲、軸向縱振動以及扭轉(zhuǎn)都會與圓柱殼產(chǎn)生相互作用力，這里充分考慮縱肋以上運(yùn)動，且采用更嚴(yán)格的Timoshenko梁理論描述縱肋的彎曲運(yùn)動，得到縱肋運(yùn)動方程如下[12-13]：

其中：Iφ、Iω分別為縱肋的周向彎曲截面慣性矩、截面扇性慣性矩，Ip、J為截面極慣性矩、扭轉(zhuǎn)常數(shù)，G為剪切模量，κ2為Timoshenko剪切系數(shù)為縱肋的周向、軸向位移以及扭轉(zhuǎn)角和為縱肋受到的周向外力、軸向外力和扭轉(zhuǎn)力矩。

設(shè)縱肋在圓柱殼的周向坐標(biāo)為φr，在φ=φr處，縱肋與圓柱殼滿足位移連續(xù)和相互作用力大小相等方向相反的邊界條件：

將（9）式代入（8）式，并考慮時間因子exp jω（）t和殼體位移展開函數(shù)式（2），可得：

經(jīng)推導(dǎo)，縱肋扭轉(zhuǎn)引起的施加在圓柱殼上的徑向力frM與縱肋反作用到圓柱殼上的彎矩M有如下關(guān)系：

其中：δ為Dirac函數(shù)。（9）式中各量均在φ=φr處成立，利用Dirac函數(shù)，可以得到：

綜合（10）-（12）式，并代入（2）式即可得到縱肋對圓柱殼的各個作用力用圓柱殼位移u、v和w表示的形式，對其進(jìn)行模態(tài)正交分解，即可求得各縱肋作用力模態(tài)系數(shù)和用圓柱殼模態(tài)位移系數(shù)和表示的形式，這里僅給出的計(jì)算結(jié)果，其它可類似地得出。

如有多條縱肋，可按上述方法，只需改變不同縱肋的位置φr，然后將不同位置縱肋的相應(yīng)作用力系數(shù)累加即可。如果僅考慮縱肋的徑向彎曲運(yùn)動，由（7）式經(jīng)過本文類似的推導(dǎo)，即可得到縱肋的傳統(tǒng)簡化梁計(jì)算方法。

2 建模計(jì)算分析

為驗(yàn)證本文理論建模的合理性，建立一水下縱肋加強(qiáng)圓柱殼模型，殼體參數(shù)如表1所示，周向均勻分布4條縱肋，殼體材料為鋼。徑向點(diǎn)激勵力位于一條縱肋所在位置的圓柱殼面中心，幅值為1 N。

表1 縱肋加強(qiáng)圓柱殼模型參數(shù)Tab.1 Parameters of longitudinally stiffened cylindrical shell model

由于簡支圓柱殼聲輻射的解析計(jì)算已非常成熟[10-11]，這里僅從振動響應(yīng)的角度對模型進(jìn)行驗(yàn)證。分別采用ANSYS有限元法和不同簡化的解析法，計(jì)算激勵點(diǎn)處的振動響應(yīng)并進(jìn)行比較，如圖2所示，其中ANSYS有限元法采用shell63單元和beam4單元進(jìn)行建模?？梢钥闯?，采用Euler-Bernoulli理論僅考慮縱肋徑向彎曲運(yùn)動的傳統(tǒng)建模方法，能基本反應(yīng)縱肋對圓柱殼的作用，但是未計(jì)及軸向縱振動等其它振動模式，會產(chǎn)生不同程度的頻率計(jì)算偏差。改用Timoshenko理論，以及再同時計(jì)及縱肋的周向彎曲運(yùn)動，在研究頻段內(nèi)解析計(jì)算結(jié)果沒有明顯改善。同時考慮縱肋徑向和周向彎曲以及軸向縱振動時，解析計(jì)算結(jié)果有明顯改善，但是依然存在一定的頻偏誤差，當(dāng)同時考慮縱肋徑向彎曲以及軸向縱振動及扭轉(zhuǎn)時，解析計(jì)算結(jié)果有更進(jìn)一步的改善，當(dāng)同時考慮縱肋的各種作用力后，解析解與有限元解吻合最好。因此，在研究頻段內(nèi)，縱肋的徑向彎曲是最主要的，但是軸向縱振動和扭轉(zhuǎn)振動會顯著影響到計(jì)算結(jié)果的頻率偏移，對于更精確的計(jì)算，則需同時考慮縱肋各個方向的作用力。對于輻射聲功率的分析如圖3所示，可見，縱肋的傳統(tǒng)建模方法能夠反映縱肋加強(qiáng)圓柱殼輻射聲功率的基本趨勢，但是在低頻段差別較大，出現(xiàn)了明顯了頻偏誤差，在更高頻段上，無阻尼時，部分輻射峰頻率及幅值計(jì)算誤差也比較明顯，加入阻尼后，誤差稍小但依然存在。因此，縱肋徑向彎曲之外的其它振動模式對圓柱殼的諧振峰頻率及幅值也存在一定的影響，在要求更精確計(jì)算時，尤其在低頻段，應(yīng)采用本文綜合建模方法。

圖2 不同縱肋建模方式圓柱殼振動響應(yīng)與有限元結(jié)果比較Fig.2 Comparison of displacement responses of longitudinally stiffened cylindrical shell by different analytical methods and by finite element method

圖3 不同縱肋建模方法圓柱殼輻射聲功率比較Fig.3 Comparison of sound radiated power from cylindrical shell by different longitudinal stiffener modeling

3 振動及聲輻射計(jì)算分析

在表1模型的基礎(chǔ)上，殼體引入0.01的阻尼損耗因子，改變縱肋數(shù)目，在低頻段，計(jì)算縱肋加強(qiáng)圓柱殼的輻射聲功率和殼面均方振速，分析縱肋對圓柱殼振動聲輻射的影響規(guī)律?？v肋建模方法基于Timoshenko梁理論，并同時考慮了縱肋對圓柱殼各個方向的作用力。

3.1 模態(tài)分析

圖4給出了兩條縱肋加強(qiáng)圓柱殼空氣中的部分典型振動模態(tài)，并與無肋圓柱殼的振動模態(tài)進(jìn)行了比較。大量的模態(tài)比較發(fā)現(xiàn)，在低頻段，對于一個無肋圓柱殼模態(tài)，一般都能發(fā)現(xiàn)與之模態(tài)振形對應(yīng)的加縱肋圓柱殼模態(tài)，如圖 4 中（b）、（c）與（a），（e）、（f）與（d），但是由于縱肋在模態(tài)振形中所處位置不同，相應(yīng)的模態(tài)頻率也不同。當(dāng)縱肋在波腹位置時，更多程度上起質(zhì)量負(fù)載的作用，模態(tài)頻率相應(yīng)低一些，當(dāng)縱肋在波節(jié)位置時，對殼體模態(tài)振動影響較小，模態(tài)頻率與無肋殼接近。隨著模態(tài)階數(shù)的升高，縱肋的存在會導(dǎo)致原本的圓柱殼模態(tài)發(fā)生畸變，如圖4（e）?？傊?，加入縱肋后，圓柱殼的低頻振動模態(tài)數(shù)增多，模態(tài)頻率也發(fā)生了不同程度的偏移，這將會在一定程度上影響到殼體振動響應(yīng)和輻射聲功率。

圖4 縱肋對圓柱殼振動模態(tài)的影響Fig.4 Effect of longitudinal stiffener to vibration mode of cylindrical shell

3.2 振動分析

在空氣中振動模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了水下殼體振動分析，圖5給出了不同縱肋數(shù)目下圓柱殼的殼體均方振速，在200 Hz以下的低頻段，加入縱肋后，均方振速諧振峰發(fā)生了一定的頻移，幅值也有不同程度的改變；在200 Hz以上的高頻段，加入縱肋后，結(jié)合軸向振型變化分析，殼體均方振速明顯降低，并且縱肋數(shù)目越多降低程度越大。總體上，縱肋對中高頻圓柱殼均方振速抑制作用比較明顯。

圖5 縱肋對圓柱殼均方振速的影響Fig.5 Effect of longitudinal stiffener to mean radial quadratic velocity of cylindrical shell

為進(jìn)一步分析縱肋加強(qiáng)圓柱殼的低頻振動特性，對比分析了加肋前后圓柱殼表面位移分布，這里以90 Hz和215 Hz兩個頻率為例，恰為加入縱肋后出現(xiàn)新的輻射聲功率峰的位置，更能反應(yīng)出加縱肋前后圓柱殼振動與聲輻射特性的差異，位移分布如圖6所示，其中激勵力在（φ=0，z=0），兩條縱肋分別位于φ=0和φ=π?？梢园l(fā)現(xiàn)，加入縱肋后，圓柱殼表面位移分布呈現(xiàn)出更加明顯的軸向條紋特性，與無肋殼相比，加肋殼的表面振動分布更加均勻，并且振動幅值也更大，這與高頻段縱肋使圓柱殼均方振速降低的特性是相反的。圖7進(jìn)一步從圓柱殼表面聲強(qiáng)分布的角度，對比分析了縱肋對圓柱殼聲輻射能的影響，可以發(fā)現(xiàn)，低頻段加肋后圓柱殼的表面聲強(qiáng)分布形狀改變不大，但是聲強(qiáng)幅值明顯增加。因此，當(dāng)激勵力作用在縱肋上時，縱肋帶動殼體整體運(yùn)動，在部分頻率處，縱肋可使殼面振動增強(qiáng)，耦合聲能也相應(yīng)更加。

圖6 圓柱殼表面位移分布Fig.6 Distribution of displacement on cylindrical shell surface

圖7 圓柱殼表面聲強(qiáng)分布Fig.7 Distribution of sound intensity on cylindrical shell surface

3.3 聲輻射分析

首先從模態(tài)疊加的角度分析縱肋對圓柱殼聲輻射的影響。由（5）式可知，輻射聲功率可由多個輻射聲功率模態(tài)線性疊加而成，稱為（n，m）階輻射聲功率模態(tài)。圖8給出了光殼時圓柱殼總的輻射聲功率和前幾階輻射聲功率模態(tài)，可以看出，在低頻段，總輻射聲功率主要由前幾階輻射聲功率模態(tài)構(gòu)成，且每個輻射聲功率模態(tài)曲線比較平滑，僅有一個峰。圖9給出了含2條縱肋加強(qiáng)圓柱殼的不同輻射聲功率模態(tài)，可以看到每個輻射聲功率模態(tài)有一個主峰的同時，還出現(xiàn)了很多個次峰，在更多縱肋數(shù)目加強(qiáng)圓柱殼的分析中也發(fā)現(xiàn)了類似的現(xiàn)象，這與光殼明顯不同。還可以發(fā)現(xiàn)部分次峰數(shù)值較大，已成為構(gòu)成總輻射聲功率的重要部分。對于光殼而言，雙三角函數(shù)描述的圓柱殼模態(tài)是正交的，加入縱肋后，圓柱殼周向不再均勻，仍采用雙三角函數(shù)描述的圓柱殼模態(tài)將導(dǎo)致模態(tài)耦合，由（12）式可知，縱肋對圓柱殼的第m階模態(tài)的作用力不僅與第m階模態(tài)的位移有關(guān)，還與其它模態(tài)的位移有關(guān)，因此，加入縱肋后圓柱殼的周向模態(tài)發(fā)生了耦合，這就使得第m階輻射聲功率模態(tài)不再僅與第m階振動模態(tài)有關(guān)，還與其它的振動模態(tài)有關(guān)，從而每個輻射聲功率模態(tài)出現(xiàn)了很多個諧振峰。

圖8 光殼圓柱殼輻射聲功率模態(tài)分析Fig.8 Modal analysis of sound radiated power of bare cylindrical shell

圖9 含2條縱肋加強(qiáng)圓柱殼輻射聲功率模態(tài)分析Fig.9 Modal analysis of sound radiated power of cylindrical shell with two longitudinal stiffeners

下面從聲輻射效率的角度分析縱肋對圓柱殼聲輻射的影響。圖10給出了無肋殼與加肋殼聲輻射效率的比較，可以看出，總體上加肋殼的聲輻射效率要高于無肋殼，這是由于加肋后，肋帶動殼體整體振動，使得殼體振動分布更加均勻，這在圖6中可以得到印證，從而加肋后殼體的聲輻射效率更高。但在高于1 000 Hz的頻段上，加肋后聲輻射效率有所降低，這是由于在高頻段主要以高階模態(tài)為主，波長相對較短，使得肋的作用沒有低頻明顯，導(dǎo)致加肋殼的聲輻射效率趨于無肋殼。

圖10 縱肋對圓柱殼聲輻射效率的影響Fig.10 Effect of longitudinal stiffener to sound radiation efficiency of cylindrical shell

圖11 縱肋對圓柱殼輻射聲功率的影響Fig.11 Effect of longitudinal stiffener to sound radiated power of cylindrical shell

在模態(tài)分析、聲輻射效率分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對總的輻射聲功率進(jìn)行分析，圖11分別計(jì)算了2條、4條和8條縱肋加強(qiáng)圓柱殼的輻射聲功率，并與無肋圓柱殼進(jìn)行了對比。可以發(fā)現(xiàn)，在1 000 Hz以下的低頻段，加入縱肋后圓柱殼輻射聲功率產(chǎn)生了許多新的峰，通過前文分析可知，新峰是由于縱肋的引入使得圓柱殼周向產(chǎn)生了不均勻性，使得周向模態(tài)發(fā)生耦合，在多個頻率處發(fā)生聲輻射諧振導(dǎo)致的，另外從低頻殼體振動分布來看，部分頻率處加肋后殼面振動增強(qiáng)，也導(dǎo)致了部分頻率處輻射聲功率的增加。低頻新輻射峰的出現(xiàn)，使得加肋圓柱殼的低頻輻射聲功率線譜更加豐富，這對降低圓柱殼低頻聲輻射是不利的，但隨著縱肋數(shù)目的增加，圓柱殼周向不均勻性減小，輻射聲功率峰也逐漸減少。在1 000 Hz以上的高頻段，加縱肋后，由于聲輻射效率趨于無肋殼，而殼面均方振速卻明顯低于無肋殼，所以導(dǎo)致加肋后輻射聲功率明顯降低，這對降低圓柱殼聲輻射是有利的。

4 結(jié) 論

對傳統(tǒng)的縱肋建模方法進(jìn)行改進(jìn)，建立了水下縱肋加強(qiáng)圓柱殼振動與聲輻射解析計(jì)算模型，研究了低頻段縱肋對圓柱殼振動聲輻射的影響規(guī)律，得到如下結(jié)論：

（1）采用Euler-Bernoulli梁理論，僅考慮縱肋徑向彎曲振動，能反應(yīng)縱肋對圓柱殼作用的基本趨勢，但會導(dǎo)致不同程度的諧振峰頻偏誤差，研究表明，縱肋的軸向縱振動和扭轉(zhuǎn)振動也是重要的，本文采用Timoshenko梁理論，同時考慮縱肋各種作用力的建模與有限元數(shù)值解吻合較好；

（2）在低頻段，縱肋使得圓柱殼振動模態(tài)更加豐富，殼面振動更加均勻，部分頻率附近振動增強(qiáng)；在高頻段，縱肋對圓柱殼均方振速具有明顯的抑制作用；

（3）在低頻段，縱肋使得圓柱殼周向模態(tài)互相耦合，輻射聲功率形成許多新的峰，這對圓柱殼低頻減振降噪是不利的；在更高頻段上，加入縱肋后輻射聲功率會明顯降低，這對圓柱殼減振降噪是有利的。

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