數(shù)形結合思想在高中物理解題中的應用

楊浩哲

（湖南省長沙市明德中學，湖南長沙 410000）

引 言

在物理的學習過程中，我們會經(jīng)常遇到很多物理量與物理圖形，“數(shù)”意指物理量，“形”意指用圖形表達變量之間的關系圖。很多物理量之間的關系，不僅可以采用公式來表示，還可以運用圖形來表達[1]。

一、數(shù)形結合思想在物理解題過程中的體現(xiàn)

數(shù)形結合思想主張在解題的具體過程中通過數(shù)據(jù)與圖形之間的轉換，實現(xiàn)解題過程的清晰化、簡單化。數(shù)據(jù)可以通過圖形的樣式來體現(xiàn)，圖形可以使數(shù)據(jù)變量更加形象化；圖形又可以通過數(shù)據(jù)的高低多少來表達，數(shù)據(jù)能夠使得圖形中表達的數(shù)據(jù)更加準確，該方法能夠幫助我們在解題的過程中提高解題效率[2]。

數(shù)形結合思想最大的好處就在于能幫助我們解決計算量大且煩瑣的問題，用簡潔明了的圖形表示出來。例如：

甲乙兩人在長為L=84 m的游泳池里沿直線游泳，甲的速率V1=1.4 m/s，乙的速率V2=0.6 m/s，他們同時從水池的兩端出發(fā)，來回共游了時間t=25 min，如果不計轉向的時間，那么在這段時間內(nèi)他們共相遇了幾次？若他們同時從同一端出發(fā)，那么在上述時間內(nèi)，他們共相遇了幾次？

設甲、乙二人從游泳池的一端游到另一端所用時間分別為 T1、T2，

則T1=L/V1=84/1.4 s=60 s=1 min，

T2=L/V2=84/0.6 s=140 s=7/3 min，

比較 T1、T2可得：7T1=3T2，

所以經(jīng)14T1（或6T2）即14 min時間甲、乙第一次同時回到各自的出發(fā)點。

以甲的出發(fā)點為坐標原點：

（1）甲、乙二人同時分別從游泳池的兩端出發(fā)，則甲、乙二人的s-t圖線分別如圖1中實線和虛線所示。

圖1

在0～25 min時間內(nèi)兩圖線交點的個數(shù)即為甲、乙二人的相遇次數(shù)。

由圖像可得，在0～14 min時間內(nèi)二人相遇14次，由于14 min時兩人同時回到各自的出發(fā)點，故14～25 min時間內(nèi)二人重復0～11 min時間內(nèi)的運動，相遇11次，所以25 min時間內(nèi)二人共相遇25次。

（2）若甲、乙二人同時從同一端出發(fā)，用圖像法亦可求得二人在25 min時間內(nèi)共相遇21次。

甲、乙二人的s-t圖線分別如圖2中實線和虛線所示（解答過程不再累述）。

圖2

當然，數(shù)形結合也不僅限s-t圖的應用，用一些巧妙的幾何圖形也能快速解決物理問題，介紹一個有趣的定理：等時圓。

設一個圓O，A是圓O的最高點，X是圓上任意一點，一物體從A開始，沿AX下滑到X，所用的時間是相等的，都是從A自由落體到圓最低點用的時間。例如，從A到C所用的時間等于A到D所用時間，也等于從A到B（從A開始的自由落體運動）所用時間。如圖3。

反之，將圓O倒置，亦成立。

圖3

有了這個性質(zhì)，許多問題如比較運動時間長短之類的問題就變成了幾何問題中尋找R值的問題。

例如，兩光滑斜面的高度都為H，OC、OBD的總長度均為L，只是OBD由兩個斜面連接而成，如圖4所示，將甲、乙兩個相同的小球從斜面的頂端O同時由靜止釋放，不計拐角的能量損失，問哪個球先到達斜面底端？

圖4

本題的一般解法是用v-t圖來討論求解，但v-t圖中的面積表示的是位移，而OC、OBD兩斜面的長度相等，小球運動的路程相等，位移并不相等。因此要把v-t圖理解為速率-時間圖像。圖線包圍的面積表示的是路程?？傊?，解釋起來頗費口舌。

我們可以構建如圖5所示的等時圓，交OC于A點，交OB于B 點，由等時圓可知，Tob=Toa，由機械能守恒定律，有VB＞VA，VC=VD，所以VBD＞VAC，又因為兩斜面的總長度相等，故XBD＜XAC，根據(jù)v=s/t得，TBD＜TAC，所以有T乙＜T甲，即乙球先到達斜面的底端。

圖4

二、物理解題中采用數(shù)形結合思想對高中學生的要求

由前文可知，數(shù)形結合思想在物理解題的過程中很重要。在具體的學習過程中，例如，位移具體是指物體從最初的位置移動到第二個位置的運動，如果做出物體位移的有向線段圖就能夠更加直觀地理解位移的概念，有向線段可以直觀地呈現(xiàn)時間、距離、速度之間的關系。再如，在對動能定理的推導過程中，恰當?shù)膱D形能夠幫助學生更加直觀地看出狀態(tài)的改變，理解狀態(tài)量與過程量之間的邏輯關系。同時，數(shù)形結合的方法還能夠清晰地反映出各個矢量的方向與大小。很多結合圖形來解答的題目是出題者比較青睞的對象。

結 語

在具體的解答與應用過程中，需要我們具有以下的能力：要做到會識別圖形，明白圖形所包含的物理意義；要學會構造圖形，能夠根據(jù)題目中傳遞的信息畫出對應的圖形，并且能夠?qū)D形進行轉換；要會用圖，能夠采用圖形分析具體邏輯過程，用圖形解決具體的問題。在具體解答的過程中，需要我們自己去辨別，結合恰當?shù)膱D形去解題。同時，還要求我們在解題的過程中有數(shù)形結合的意識。

[1] 王丹陽.數(shù)形結合思想在高中物理解題中的應用[J].科學大眾(科學教育),2016,(01):22.

[2] 蔡冬蓮.數(shù)形結合思想方法在數(shù)學教學中的應用分析[J].低碳世界,2016,(22):273-274.