在探究活動中理解數(shù)學(xué)

美國著名教育心理學(xué)家羅伯特·米爾斯·加涅（Robert Mills Gagne）認(rèn)為：教學(xué)就是“使學(xué)生參與到那些促進(jìn)學(xué)習(xí)的事件和活動中去”［1］。數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決數(shù)學(xué)問題的過程。具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。［2］筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動，并通過自主探究、合作交流等方式，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展過程，促使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)。

一、為什么要開展數(shù)學(xué)探究活動

1.從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)來看。

由于數(shù)學(xué)是一門高度抽象的、以符號運(yùn)算為主的、重視邏輯推理和模型思想的學(xué)科，因此數(shù)學(xué)知識有其自身的特點(diǎn)，南京師范大學(xué)喻平教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)知識可分為陳述性知識、程序性知識和過程性知識等三類?！保?］

陳述性知識也叫“描述性知識”，它是指個(gè)人具有有意識地提取線索，并能直接加以回憶和陳述的知識。如“奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”就是一個(gè)陳述性知識。一般地，數(shù)學(xué)的概念、命題都是陳述性知識。而程序性知識則是關(guān)于人們怎樣做事的知識，它是由完成一件事所規(guī)定的程序、步驟和策略等組成的知識。例如“判定某個(gè)函數(shù)的奇偶性”“證明某個(gè)函數(shù)的單調(diào)性”都是程序性知識。因此，陳述性知識是關(guān)于“是什么”的知識，程序性知識則是關(guān)于“怎么辦”的知識。

程序性知識的本質(zhì)是一種技能，它又可以將程序性知識分成兩類：一類是通過練習(xí)，其運(yùn)用能達(dá)到相對自動化，很少或不需要受意識控制的知識；另一類是受意識控制，難以達(dá)到自動化程度的知識。加涅把前者稱為“智慧技能”，后者稱為“認(rèn)知策略”。比如，高中數(shù)學(xué)中的“函數(shù)奇偶性的判斷”“函數(shù)單調(diào)性的證明”等知識就是智慧技能，只要通過一定的訓(xùn)練，就能達(dá)到較為熟練的程度。而“如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”則屬于認(rèn)知策略的范疇。

過程性知識是伴隨著數(shù)學(xué)活動的體驗(yàn)性知識。體驗(yàn)分4個(gè)階段：對知識產(chǎn)生的體驗(yàn)；對知識發(fā)展的體驗(yàn)；對知識結(jié)果的體驗(yàn)；對知識應(yīng)用的體驗(yàn)。［4］過程性知識是一種內(nèi)隱的、動態(tài)的知識，需要學(xué)習(xí)者在自主探究的過程中去經(jīng)歷、感受和體驗(yàn)。

因此，從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)來看，讓學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動，能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)。

2.從教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來看。

數(shù)學(xué)學(xué)科的知識特點(diǎn)使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略也不同于其他學(xué)科，僅僅靠教師的“教”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要學(xué)生主動地“學(xué)”——通過數(shù)學(xué)探究活動、主動參與到數(shù)學(xué)概念（性質(zhì)）的建構(gòu)過程中去。這樣學(xué)生才能夠真正地理解數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)概念（性質(zhì)）本身及其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

需要指出的是，盡管這一輪高中課程改革已經(jīng)經(jīng)歷了十多年時(shí)間，可是，急功近利、“斬頭去尾燒中端”的現(xiàn)象依然相當(dāng)普遍：有不少教師在教學(xué)數(shù)學(xué)概念（性質(zhì)）時(shí)，只是簡單地拋出現(xiàn)成的結(jié)論，不讓學(xué)生經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程（性質(zhì)的推導(dǎo)過程），更不會引導(dǎo)學(xué)生思考新的概念（性質(zhì)）產(chǎn)生的必要性及其作用；在拋出現(xiàn)成的結(jié)論后，往往通過大量簡單、機(jī)械、重復(fù)的練習(xí)來“鞏固”知識。這種教學(xué)，沒有學(xué)生思維的積極參與，更沒有學(xué)生的親身經(jīng)歷與體驗(yàn)，學(xué)生也就難以理解數(shù)學(xué)概念（性質(zhì)），更談不上領(lǐng)會數(shù)學(xué)概念（性質(zhì)）背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法了。這樣的教學(xué)，只能教會學(xué)生進(jìn)行簡單的模仿，而對數(shù)學(xué)概念及其本質(zhì)往往是一知半解。

3.開展數(shù)學(xué)探究的意義。

數(shù)學(xué)探究活動的核心是“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”。在這一過程中，不僅能夠更好促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)建?！钡葦?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，而且也有助于學(xué)生從已有的知識與方法出發(fā)“發(fā)現(xiàn)”新的數(shù)學(xué)概念（結(jié)論），更加深刻地理解新的概念（原理），并從整體上理解、把握數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與體系，體驗(yàn)到創(chuàng)造的快樂，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，形成不怕困難的科學(xué)精神。

二、實(shí)施數(shù)學(xué)探究活動的基本途徑

1.融入課堂的數(shù)學(xué)探究活動。

課堂是師生教學(xué)數(shù)學(xué)的主陣地，“數(shù)學(xué)探究活動應(yīng)根植于日常教學(xué)活動中，在日常教學(xué)活動中不失時(shí)機(jī)地體現(xiàn)”［5］。

（1）選材原則。

①聚焦核心概念與重要定理（性質(zhì)）。

高中數(shù)學(xué)知識是由若干個(gè)核心概念與重要定理（性質(zhì)）構(gòu)成的，這些核心概念與重要定理（性質(zhì)）通常也是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體。因此，將這些核心概念與重要定理（性質(zhì)）作為數(shù)學(xué)探究活動的資源，對學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)概念、形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義。

②重視能體現(xiàn)知識之間關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。

在數(shù)學(xué)知識體系中，有一些知識之間存在著密切的聯(lián)系，因此，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)探究活動，感受到不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，建立完整的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，而非“碎片化”的知識。

③關(guān)注易于學(xué)生質(zhì)疑創(chuàng)新的內(nèi)容。

在高中數(shù)學(xué)教材中，有些教學(xué)內(nèi)容，或編寫者留有余地，或考慮到不同層次學(xué)生的可接受性等原因，使得一部分學(xué)生對這些教學(xué)內(nèi)容有不同于教材的認(rèn)識（或不同的解決問題的方法）。選取這些內(nèi)容，讓學(xué)生開展探究，能夠充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情和質(zhì)疑精神，享受創(chuàng)造的快樂，挖掘創(chuàng)造潛能，有利于學(xué)生從不同的角度思考問題，在形成探究習(xí)慣、提高探究能力的同時(shí)，形成創(chuàng)新意識。

④珍視便于學(xué)生延伸與推廣的內(nèi)容。

在高中數(shù)學(xué)教材中，編寫者還有意識地安排了這樣的兩類內(nèi)容：一類是可以進(jìn)行類比延伸的內(nèi)容，另一類是可以進(jìn)行一般推廣的內(nèi)容。對這一些內(nèi)容開展進(jìn)一步地探究，不僅可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究意識與探究能力，而且可以幫助學(xué)生更加深刻地理解“類比與遷移”“特殊與一般”等數(shù)學(xué)思想。

（2）實(shí)施策略。

①給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題機(jī)會。

提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，是開展數(shù)學(xué)探究活動的起點(diǎn)。因此，在教學(xué)中，既要創(chuàng)造條件、給學(xué)生提出問題的機(jī)會，還要鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑已有的結(jié)論與方法，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和質(zhì)疑精神。

②創(chuàng)設(shè)問題情境，驅(qū)動學(xué)生思維。

“問題”是引發(fā)學(xué)生思考、開展數(shù)學(xué)探究活動的“助推器”。數(shù)學(xué)探究活動，就是學(xué)生圍繞某個(gè)有意義的數(shù)學(xué)問題，通過自主探究、合作研究等學(xué)習(xí)方式，最終解決問題的過程。因此，創(chuàng)設(shè)“好”的數(shù)學(xué)問題情境，對學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動能夠起到推導(dǎo)作用。

③把握問題本質(zhì)，形成認(rèn)知策略。

數(shù)學(xué)探究的關(guān)鍵是形成解決問題的策略，而形成解決問題策略的前提，是要把握問題本質(zhì)。形成解決問題策略，既是完成數(shù)學(xué)探究活動的關(guān)鍵步驟，也是發(fā)展學(xué)生認(rèn)知策略的基本環(huán)節(jié)。認(rèn)知策略是“支配個(gè)體自身學(xué)習(xí)、記憶和思維行為的性能”。“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅只關(guān)注數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，更重要的是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.源于教材的數(shù)學(xué)探究活動。

源于教材的數(shù)學(xué)探究活動，就是結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材的相關(guān)內(nèi)容（可以是教材的一些定理或性質(zhì)，也可以是教材中的例題或習(xí)題），由教師或?qū)W生提出探究主題，開展數(shù)學(xué)探究活動。這樣，既可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，還可以促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)的態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神。

（1）選材原則。

①趣味性原則。

一旦學(xué)生對新知識、新方法充滿了興趣，對現(xiàn)有的客觀世界和未知世界充滿了好奇和探求的欲望，那么，其學(xué)習(xí)的熱情與創(chuàng)新的火花將被點(diǎn)燃并熊熊燃燒。教師要成為學(xué)生探究火花的點(diǎn)燃者、探究激情的促進(jìn)者，這就需要教師能夠從學(xué)生的角度出發(fā)，用稍顯“稚嫩”的眼光，去發(fā)現(xiàn)、提出那些能夠激發(fā)起學(xué)生探究欲望的、有趣的探究主題。

②參與性原則。

開展數(shù)學(xué)探究活動的最終目的，是為了促使學(xué)生形成良好的探究意識，能夠在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，自主地確立探究主題，開展數(shù)學(xué)探究活動，從而使得數(shù)學(xué)探究活動成為學(xué)生的自覺行動。因此，在選取相關(guān)的探究素材時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮學(xué)生主體參與的熱情，讓他們自主地確立探究主題，開展數(shù)學(xué)探究。

③發(fā)展性原則。

開展數(shù)學(xué)探究活動的目的，也是為了充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、挖掘?qū)W習(xí)潛能、提升數(shù)學(xué)能力。因此，在確立探究主題時(shí)，應(yīng)當(dāng)選取那些能夠促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的探究課題。這些探究課題，可以是某些數(shù)學(xué)結(jié)論的深入與推廣，不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系與類比，也可以是發(fā)現(xiàn)或探索對自己而言是“新”的結(jié)果。

（2）實(shí)施策略。

①由教師提出問題到學(xué)生自主提出問題。

“發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題”是開展探究活動的起點(diǎn)，也是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的前提。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生，用好奇的眼光看數(shù)學(xué)，對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識敢于質(zhì)疑并大膽猜想，進(jìn)而能結(jié)合教材的相關(guān)內(nèi)容，自主地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，確立探究主題。教師可以通過諸如“你還有其他的想法嗎”“你有什么疑問嗎”等問題，讓學(xué)生主動質(zhì)疑、提出問題，實(shí)現(xiàn)由教師提出探究主體、學(xué)生被動地開展數(shù)學(xué)探究活動，向由學(xué)生自主開展數(shù)學(xué)探究活動的轉(zhuǎn)變。

②在知識方法類比遷移中形成探究習(xí)慣。

開展數(shù)學(xué)探究活動，一方面可以促進(jìn)學(xué)生深刻地理解領(lǐng)會所學(xué)的知識，掌握知識背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；另一方面，也是讓學(xué)生在一系列的數(shù)學(xué)探究活動中，形成探究習(xí)慣，為創(chuàng)新意識的形成奠定良好的基礎(chǔ)。這樣，既有助于學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)的知識與方法，也有助于學(xué)生形成探究習(xí)慣、發(fā)展探究能力。

經(jīng)過若干年的教學(xué)實(shí)踐，筆者深深地感受到：開展數(shù)學(xué)探究活動，不僅可以讓學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)，而且還能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)形成，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，從而使學(xué)生逐步地“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維分析世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”。