“圓的切線方程”教學(xué)節(jié)錄及反思

一、教學(xué)節(jié)錄

1.在問題求解中培養(yǎng)思維能力。

師：請大家證明下列例題：已知圓C的方程是 x2＋y2＝r2，求證：經(jīng)過圓 C 上一點(diǎn) M（x0，y0）的切線方程是x0x＋y0y＝r2。（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2第117頁習(xí)題第11題）

（給學(xué)生思考的時間，先由學(xué)生獨(dú)立思考，再相互交流。）

師：請大家思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？

生2：我認(rèn)為他的證明不夠嚴(yán)謹(jǐn)，對y0是否為零沒有進(jìn)行分類討論。他證明的只是y0≠0時的結(jié)論，還要考慮到當(dāng)y0＝0時情形：當(dāng)y0＝0 時，x0＝r或 x0＝－r。當(dāng) x0＝r時，切線方程為 x＝r，滿足方程 x0x＋y0y＝r2；同樣地，當(dāng) x0＝－r時，切線方程也滿足這個方程。

師：那么，我有一個疑問，大家都用這種方法來證明的嗎？

生3：我是用向量來證明的。我覺得利用向量解決兩條直線的垂直關(guān)系更加簡便。因?yàn)榭梢酝ㄟ^向量的點(diǎn)乘積為零，來回避討論直線l的率中的分母y0為零的情形。證明方法如下：設(shè)P（x，y）是切線上的任意一點(diǎn)，則OM⊥MP，即（x0，y0）·（x－x0，y－y0）＝0，化簡，得x0x＋y0y＝r2。所以，點(diǎn) M（x0，y0）的切線方程是x0x＋y0y＝r2。

師：他說得很好！不僅用向量方法解決了問題，還說明了為什么利用向量來解決問題。今后，在解決直線垂直關(guān)系的問題時，大家應(yīng)當(dāng)考慮利用向量這一工具來解決，避免不必要的討論。

2.在解題反思中自主提出問題。

師：大家剛才很好地證明了這個問題，受這個問題啟發(fā)，你還能提出哪些問題？

（在學(xué)生經(jīng)歷思考提出問題的基礎(chǔ)上，對同類問題進(jìn)行整理，得到了以下5個探究問題。）

［探究 1］已知點(diǎn) M（x0，y0）是圓 C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一點(diǎn)，求經(jīng)過點(diǎn)M的圓C的切線方程。

［探究 2］已知點(diǎn) M（x0，y0）是圓 C：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)，求方程x0x＋y0y＝r2所表示的幾何意義。

［探究 3］已知點(diǎn) M（x0，y0）是 C：x2＋y2＝r2內(nèi)一點(diǎn)，求方程x0x＋y0y＝r2所表示的幾何意義。

［探究 4］已知點(diǎn) M（x0，y0）是圓 C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2外一點(diǎn)，求方程（x－a）（x0－a）＋（y－b）（y0－a）＝r2所表示的幾何意義。

［探究 5］已知點(diǎn) M（x0，y0）是圓 C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2內(nèi)一點(diǎn)，求方程（x－a）（x0－a）＋（y－b）（y0－a）＝r2所表示的幾何意義。

3.在探究活動中發(fā)展創(chuàng)造潛能。

師：我們下面來解決大家所提出的問題。首先，探究1大家會解決嗎？

生4：可以用類似于解決前面例1的方法。

師：對的！下面請同學(xué)們重點(diǎn)思考探究2。請大家先獨(dú)立思考，然后再相互交流。

（讓學(xué)生開展自主探究活動，然后再在相應(yīng)的小組內(nèi)進(jìn)行交流，最后請學(xué)生在班級進(jìn)行交流。）

生 5：我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn) M（x0，y0）是圓 C：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)時，由點(diǎn)M能夠向圓C引兩條直線 MA，MB（A，B 為切點(diǎn)），方程 x0x＋y0y＝r2就表示直線AB。

師：是這樣嗎？你是怎樣得到的呢？

［證法 1］生 6：如圖 1，設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），由例題可知，直線 AM：x1x＋y1y＝r2，直線BM：x2x＋y2y＝r2，因?yàn)辄c(diǎn) M（x0，y0）都在兩直線AM 和 BM 上，所以 x1x0＋y1y0＝r2①；x2x0＋y2y0＝r2②。由方程①、②分別可知，點(diǎn)A，B在直線x0x＋y0y＝r2上。又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以直線 AB：x0x＋y0y＝r2。

師：很好！這位同學(xué)從已有的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，得到了結(jié)論。我們在解決數(shù)學(xué)問題時，要善于從已有的結(jié)論出發(fā)，去解決新的問題。

師：還有其他不同的證明方法嗎？

（在隨后的課堂交流環(huán)節(jié)，其他學(xué)生又給出了如下4種證明方法）

圖1

［證法 2］如圖 1，連接 OA，OM，AM，設(shè) A（x1，y1）。因?yàn)?OM⊥AB，所以為直線AB的法向量，于是可設(shè)直線AB：x0x＋y0y＋c＝0 ①。因?yàn)辄c(diǎn)A在直線AB上，所以x0x1＋y0y1＋c＝0 ②。又由AM是圓C在點(diǎn)A處的切線，得 OA⊥AM，所以 OA2＋AM2＝OM2，即 x12＋y12＋（x0－x1）2＋（y0－y1）2＝x02＋y02，即 x0x1＋y0y1=x12＋y12，又 x12＋y12＝r2，所以 x0x1＋y0y1=r2③。把③代入②，得 c＝－r2，再將上式代入①，得直線AB：x0x＋y0y＝r2。

［證法 3］設(shè) A（x1，y1）。連接 OM，以 O 為圓心、OM為半徑作圓，則M點(diǎn)在該圓上，以M點(diǎn)為切點(diǎn)作該圓的切線l，則切線l：x0x＋y0y＝OM2。因?yàn)?OM⊥AB 且 OM⊥l，所以，AB∥l，于是可設(shè)直線 AB：x0x＋y0y＋c＝0，因?yàn)辄c(diǎn) A 在直線AB 上，所以 x0x1＋y0y1＋c＝0 ①。

因?yàn)橹本€ AM：x1x＋y1y＝r2，且點(diǎn) M 在直線AM 上，所以 x1x0＋y1y0＝r2②。

由①②可得 c＝－r2，所以直線 AB：x0x＋y0y＝r2。

［證法 4］如圖 2，連接 OA，OM，AM，AB，在直線AB上任取一點(diǎn) Q（x，y），連OQ。設(shè)AB 交OM于點(diǎn)T。因?yàn)镺M⊥AB于點(diǎn)T，所以由射影定理，得又因?yàn)橛散佗诳芍?，直線AB：x0x＋y0y＝r2。

［證法 5］如圖 2，設(shè) A（x1，y1）。連接 OA，OM，AM。在直線 AB 上任取一點(diǎn) Q（x，y），連OQ。因?yàn)镺M⊥AB，所以即（x－x1，y－y1）·（x0，y0）＝x0x-x0x1+y0y-y0y1＝0，所以 x0x＋y0y＝x0x1＋y0y1①。已知直線 AM：x1x＋y1y＝r2，且點(diǎn)M在直線AM上，所以x1x0＋y1y0＝r2②。由①②可得，直線 AB：x0x＋y0y＝r2。

圖2

師：大家表現(xiàn)得很棒！分別從不同的角度給出了上面5種不同的證法，很有創(chuàng)造性。

4.在課后探究中形成探究意識。

師：這一節(jié)課，同學(xué)們不僅解決了教材上已有的習(xí)題（例題），還從這個問題出發(fā)，提出了新的問題，并且非常成功地完成了探究2，請大家課后繼續(xù)完成其他的幾個探究。

二、教學(xué)反思

1.給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機(jī)會。

發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問題，既是開展數(shù)學(xué)探究活動的前提，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的關(guān)鍵。本節(jié)課，在完成例題之后，讓學(xué)生從已有的問題出發(fā)，提出新的問題，學(xué)生從不同的角度（圓的方程不同形式、定點(diǎn)M相對于已知圓的不同位置），提出了5個有價(jià)值的探究主題。如果教師不給學(xué)生機(jī)會，將會很難預(yù)料到學(xué)生會有這樣的能力。因此，在教學(xué)中，一定要給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機(jī)會，培養(yǎng)他們的質(zhì)疑精神。

2.讓學(xué)生在探究活動中形成探究意識。

本節(jié)課的每一個教學(xué)環(huán)節(jié)，都堅(jiān)持讓學(xué)生開展探究，讓學(xué)生運(yùn)用已有的知識和方法解決問題。首先，讓學(xué)生解決例題；在完成例題之后，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，確立新的探究主題；在此之后，又確立新的探究主題（探究2），讓學(xué)生開展探究活動，學(xué)生從不同的角度對問題展開探究，得到了5種證明方法。通過探究活動，不僅充分調(diào)動了學(xué)生主動運(yùn)用已有的知識和方法解決新的問題的積極性，而且還培養(yǎng)了學(xué)生靈活地運(yùn)用知識、選擇合理的方法解決問題的能力，在解決問題的同時，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新意識；最后，還將剩余的幾個探究主題作為課后作業(yè)，讓學(xué)生開展探究。通過這樣一系列的教學(xué)設(shè)計(jì)，在培養(yǎng)學(xué)生的探究能力的同時，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，形成良好的探究習(xí)慣。

3.使學(xué)生通過探究從整體上理解數(shù)學(xué)。

本節(jié)課，由教材的一道習(xí)題（例題）出發(fā)，通過這一系列的數(shù)學(xué)探究活動，讓學(xué)生對圓的切線有了全面而又深刻的認(rèn)識。需要說明的是：在課后作業(yè)環(huán)節(jié)，對于探究3，學(xué)生們不僅基本上得到并證明了“直線x0x＋y0y＝r2與圓相離”這一結(jié)論，而且，還有將近三分之一的學(xué)生得到并證明了“圓的半徑r是線段OM的長與O到l距離的等比中項(xiàng)”這一結(jié)論；此外，在隨后學(xué)習(xí)圓錐曲線與直線位置關(guān)系時，還可以讓學(xué)生開展類似的數(shù)學(xué)探究活動。因此，通過這樣一系列的數(shù)學(xué)探究活動，能夠幫助學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，形成完整的知識結(jié)構(gòu)，而不是“碎片化”的知識。