基于主成分分析的學生綜合成績評定

李遠梅+周江霖

摘 要 平均分排名法評定學生不科學，有失公平。本文在考慮試卷難度，課程性質情況下進行無量綱化處理，小樣本情況下引入難度系數，采用主成分分析法進行綜合評定。

關鍵詞 平均分 無量綱化 難度系數 主成分

學生綜合成績評定是對學生學習情況的客觀反應，科學、公平的評價學生綜合成績是營造良好的學習氛圍的必然要求，同時對學校評定獎學金，評優(yōu)評先具有指導意義。但是大多數學校在評定中采用簡單的總分或平均分排名法具有嚴重的不科學性，不合理性，不能真正反應學生的真實水平。特別是對于同一年級，不同專業(yè)，不同課程，不同的考卷，不同的閱卷老師及不同的評卷標準等。本文在克服上述問題的情況下采用主成分分析方法建立綜合評價模型。

1成績評定面臨的問題

每門課程學時的差異，如高等數學180學時，法律基礎40學時，同樣得90分，學習高等數學一定比學法律基礎要付出的多，評價時要考慮每門課程的學分；每門課程難易程度差異，如高等數學平均分60分，最高分100，法律基礎平均分80，最高分也是100，同樣是100分，高數的100分比法律基礎100分，更難獲得，評價時要考慮試卷難易程度，同時克服試卷的難易程度也就克服了專業(yè)的不同，考試科目的不同；考查科目的優(yōu)、良、及格，帶有更多的教師感情色彩及主觀意志。不能簡單的給與95、85、60來加入綜合成績評定，評價時要考慮考查科目與考試科目區(qū)別。

一門全院性的公共課，參考人數多，樣本大，在大樣本的情況下，考試成績的分布趨近于正態(tài)分布，而主成分分析法的一個前提條件是各指標數據的分布應服從正態(tài)分布，同時主成分分析進行多指標評價時，常用到標準分來進行無量綱化處理。因此有必要對標準化考試情況下的數據無量綱化，同時數據的無量綱化處理，也消除了因課程性質、試卷難度、不同科目等差異造成的原始成績不可比較的問題。針對此問題，對考試成績做如下無量綱化處理。

2標準化考試情況下的數據無量綱化

不同科目間，由于課程性質、課程難度、試卷難度和評分標準的不同，各科分數是具有不同“含金量”，即不同量綱，必須要進行無量綱處理。利用Z標準分變換的計算公式為：

式中，zi為標準分，xi為學生該課程的成績，n為考生數，xi為課程成績的平均分，€%li為該課程的全部考生的成績標準差。其中，，計算后各指標數據的平均值為0，方差為1，各變量間有了統(tǒng)一的量綱，消除了由于課程性質不同、試卷難易程度不同和成績分布不一致帶來的問題，且各指標在變化前后的相關程度不變。

3不同課程的數據無量鋼化（考慮難度系數）

不同專業(yè)的不同課程難易程度不一樣，學習效果也不一樣，為了規(guī)避課程的難易程度，將考試成績無量綱化，首先引入難度系數。表明平均分越高難度系數越小，試卷越簡單，反之難度系數越大，試卷就越難。

不同的專業(yè)課 ，學習人數差異大，尤其是學生人數較少的專業(yè)，由于樣本少，通常不符合標準正態(tài)分布，倘若成績出現兩極分化，會使得標準差很大，這時若標準化，數據失真就更大。我們必須考慮難度系數，把成績標準化

即：=*，然后再利用標準正態(tài)的方式無量綱化。

建立相關系數矩陣，求特征值、特征向量和載荷矩陣

（1）在標準化數據矩陣X*=（X1*，X2*，…，Xp*）的基礎上，利用公式R=（X*）X*計算原始指標的相關系數矩陣，其中是指標X1*與Xj*之間的相關系數，則

。根據公式|R€%djE|=0，求出前P個特征值€%d1>€%d2>…>€%dp≥0。

（2）根據公式|R€%djE|xi=0，求出與特征值€%dj相對應的單位正交特征向量Uj=（u1j，u2j，…，upj）。

（3）計算主成分載荷矩陣。根據相關系數矩陣R的特征值€%dj和特征向量u1，…，up，則初等載荷矩陣為€%l=[，，…，]。

4選取主成分

主成分分析將原來有一定關系的多個原始指標轉換成幾個互不相關的主成分的方法，其目的就是降低原始指標的維度，所以一般會選m（m

在選取主成分過程中，應參考以下原則：

（1）通常取m使得累計方差貢獻率達到較高比例（80%）。

（2）選取特征根大于1的主成分

（3）特征根散點圖：將特征值（由大到?。┡c對應特征根繪制一條曲線，觀察是否有明顯“突降點”若有則此點前的特征根個數可取M。

按照以上原則選取的主成分個數不僅能使信息損失較少，而且達到減少變量的目的。

5綜合評價分析

經過計算選取的主成分互不相關且相互獨立，利用原始指標無量綱化后的數據計算各主成分得分即：

Fi=UiX*=u1iX1*+u2iX2*+…+upiXp*

以各主成分的方差貢獻率作為權系數，利用各主成分得分的加權平均值計算綜合成績指數，則綜合成績指數為：

Fi=v1F1+v2F2+…+vpFp

參考文獻

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