帶GARCH誤差項非線性ESTAR模型的單位根檢驗

胡俊娟，王 偉

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

近年來，非線性模型受到了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注[1-3]。然而，對線性模型的單位根檢驗已經(jīng)不適用于非線性STAR模型。因此，許多研究者對指數(shù)STAR(ESTAR)模型進(jìn)行了探討。Kapetanios等[4]提出了Dickey-Fuller型KSS檢驗統(tǒng)計量；Kruse[5]在位置參數(shù)取值任意的情況下，用修正的Wald統(tǒng)計量對ESTAR模型進(jìn)行了研究；Hanck[6]修正了Kapetanios等提出的KSS檢驗統(tǒng)計量在帶趨勢項情況下的極限分布。張凌翔等[7]討論了局部隨機游走STAR模型、局部隨機趨勢STAR模型的線性檢驗問題，構(gòu)造了 Wald類檢驗統(tǒng)計量，提出了在局部平穩(wěn)性未知的條件下進(jìn)行STAR模型的線性檢驗方法。在實際研究中，經(jīng)濟變量的波動在不同時期通常具有時變性和波動集群性，因此非線性STAR-GARCH 模型在現(xiàn)實中有著很重要的應(yīng)用[8]。近年來, 對帶GARCH誤差項模型的單位根檢驗引起了研究者的廣泛關(guān)注，參見Ling和Li[9]、 Wang[10]、 Yuan和Zhang[11]等。這些研究主要針對AR-GARCH模型的單位根檢驗進(jìn)行了研究，然而針對STAR-GARCH模型的單位根檢驗，卻鮮有文獻(xiàn)提及。由于非線性的ESTAR-GARCH過程和帶GARCH的單位根過程數(shù)據(jù)表現(xiàn)非常相近，為了有效地建立合適的模型，在對數(shù)據(jù)建模前應(yīng)對其進(jìn)行單位根檢驗。因此，對ESTAR-GARCH模型的單位根檢驗進(jìn)行研究是必要的。我們擬采用KSS型檢驗統(tǒng)計量，將其表示成自標(biāo)準(zhǔn)化的部分和形式，從而推導(dǎo)出在有均值和無均值2種情況下該統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布。通過蒙特卡羅模擬驗證了該統(tǒng)計量的檢驗效果，并將該檢驗統(tǒng)計量與常規(guī)的DF檢驗統(tǒng)計量進(jìn)行比較。

1 關(guān)于平穩(wěn)ESTAR過程的單位根檢驗

對于時間序列，Kapetanios等[4]361對一階ESTAR模型(ESTAR(1))進(jìn)行檢驗：

Δyt=γyt -1G(yt -1;θ)+εt,t=1,…,T。

(1)

1.1 Kapetanios等關(guān)于平穩(wěn)ESTAR模型的單位根檢驗

進(jìn)一步，為了解決誤差項相關(guān)問題，Kapetanios等[4]365通過增加Δyt的滯后項來消除。即考慮以下ESTAR(k)模型：

(2)

(3)

對模型(2)，Kapetanios等[4]363基于式(3)提出了Dickey-Fuller型t統(tǒng)計量進(jìn)行單位根檢驗：

(4)

1.2 關(guān)于ESTAR-GARCH模型的單位根檢驗

考慮以下帶GARCH誤差項的ESTAR模型(ESTAR(k)-GARCH(p,q)模型)：

(5)

(6)

式(6)中：ω>0；αi≥0；βj≥0；i=1,…,p；j=1,…,q；et為獨立同分布且均值為0，方差為1的序列。顯然，當(dāng)所有的αi和βj為零時，εt變成均值為零，方差為常數(shù)的獨立同分布序列。

對于上述的ESTAR(k)-GARCH(p,q)模型(式(5)～(6))，通過對平滑轉(zhuǎn)換函數(shù)的一階泰勒展開，得到相應(yīng)的輔助方程為：

(7)

相應(yīng)地，在GARCH(p,q)誤差項情況下，采用KSS型檢驗統(tǒng)計量來檢驗原假設(shè)H0:θ=0(即檢驗H0:δ=0)，記為τ：

(8)

(9)

(10)

(11)

接著討論統(tǒng)計量τ和τu的漸進(jìn)分布。為了考察ESTAR-GARCH模型，不妨把GARCH(p,q)模型的嚴(yán)平穩(wěn)性作為必要條件事先給定, 首先給出用于推導(dǎo)漸進(jìn)分布的假設(shè)1和假設(shè)2。

假設(shè)2多項式ρ(z):=1-ρ1z-…-ρkzk滿足ρ(z)=0的根在單位圓外。

引理1在假設(shè)1成立的情況下，則

證明：根據(jù)文獻(xiàn)[11]的引理5.1和引理5.2,可以得出，在假設(shè)1成立的條件下，

且對于任意的x>0,

根據(jù)Hall等[14]的定理4.1，可以得到

得證。

定理1在假設(shè)1和假設(shè)2成立的條件下，考慮非線性ESTAR(k)-GARCH(p,q)模型 (式(5)～(6))，統(tǒng)計量τ在原假設(shè)H0:θ=0下的漸進(jìn)分布為:

(12)

(13)

(14)

進(jìn)一步，則有

Q1+Q2+Q3+Q4

定理2在假設(shè)1和假設(shè)2成立的條件下，考慮非線性ESTAR(k)-GARCH(p,q)模型(式(9)～(11))(u≠0)，統(tǒng)計量τu在原假設(shè)H0:θ=0條件下的漸進(jìn)分布為:

(15)

證明：考慮序列去掉漂移項。在原假設(shè)H0:θ=0的條件下, 根據(jù)最小二乘法，檢驗統(tǒng)計量為：

(16)

根據(jù)引理1和連續(xù)映射定理[18]，則有

得證。

2 Monte Carlo 模擬

從上述檢驗統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布可以看出，在單位根檢驗下, 該分布與模型中的參數(shù)無關(guān)。為此，我們采用Monte Carlo隨機模擬方法，考察檢驗統(tǒng)計量τ和τu的檢驗效果。

首先考察以下幾種不同的數(shù)據(jù)生成過程。數(shù)據(jù)生成過程設(shè)為：

yt=yt -1+εt,

其中：{et}～i.i.d.(0,1)；(ω,α1,β1)={(1,0,0),(0.1,0.2,0.7),(0.1,0.1,0.8),(0.1,0.05,0.9)}。這里考慮不同的GARCH模型系數(shù)(誤差項εt是獨立同分布和異方差情況)。為了考察不同情況統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布，蒙特卡羅模擬過程的數(shù)據(jù)樣本容量設(shè)為1 000，重復(fù)50 000次。從定理1和定理2可以看出，檢驗統(tǒng)計量τ和τu的漸進(jìn)分布與滯后項k無關(guān)，即對模型(5)和模型(10)而言，有無滯后項k都不會影響檢驗統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布。因此，在這里主要關(guān)注沒有滯后項的情況?？紤]到統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布與誤差項GARCH模型中p,q無關(guān)，根據(jù)實際應(yīng)用取p=q=1來進(jìn)行討論。圖1給出了原始數(shù)據(jù)和去均值數(shù)據(jù)對應(yīng)檢驗統(tǒng)計量τ和τu的經(jīng)驗累積分布。顯然，無論在誤差項為獨立同分布序列還是GARCH情況下，檢驗統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布是一致的。相對而言，帶漂移項的情況下，統(tǒng)計量的絕對臨界值比無漂移項情況下稍大。

圖1 不同系數(shù)(ω,α1,β1)下統(tǒng)計量τ和τu的累積分布Fig.1 Cumulative distributions of τ and τu for different coefficients (ω,α1,β1)

由于STAR模型的應(yīng)用領(lǐng)域涉及很多宏觀數(shù)據(jù)是小樣本的情況，比如像失業(yè)率和利率等[5]77。接下來，在小樣本的情況下，對各種數(shù)據(jù)生成過程中檢驗統(tǒng)計量臨界值與漸進(jìn)臨界值進(jìn)行比較。誤差項中GARCH模型的參數(shù)設(shè)為(ω,α1,β1)=(0.1,0.1,0.8)，樣本容量T設(shè)為50、100、200、1 000這4種情況。數(shù)據(jù)生成過程重復(fù)50 000次。圖2給出了不同樣本容量情況下檢驗統(tǒng)計量τ和τu的經(jīng)驗累積分布。對不同樣本量而言，統(tǒng)計量τ和τu的經(jīng)驗累積分布非常接近。特別是對無漂移項的數(shù)據(jù)生成過程，樣本容量的變化對臨界值并沒有造成很大的影響，所以漸進(jìn)臨界值可以用來對不同的樣本進(jìn)行檢驗。進(jìn)一步，從圖2可以看出，如果給定名義水平和該水平下的臨界值，則不同樣本量產(chǎn)生的實際拒絕水平與名義水平接近。所以漸進(jìn)臨界值表在小樣本情況下對檢驗非線性平穩(wěn)的ESTAR-GARCH模型仍然適用。

圖2 不同樣本量下統(tǒng)計量τ 和τu的累積分布Fig.2 Cumulative distributions of τ and τu for different sample sizes

為了評估在備擇假設(shè)下即在平穩(wěn)ESTAR過程中檢驗統(tǒng)計量的勢，不妨設(shè)數(shù)據(jù)生成過程為

其中{et}～i.i.d.(0,1)且γ=-1。在實際應(yīng)用中，通常設(shè)γ=-1(參見文獻(xiàn)[19])。由于在實際應(yīng)用中在給定γ=-1的情況下，θ的估計值通常都比較小(參見Kapetanios等[4]374)，所以在模擬過程中，僅考慮θ={0.01,0.05,0.1}的情況。表1～2中給出了檢驗統(tǒng)計量的勢，并將它們與常規(guī)的DF檢驗統(tǒng)計量(記為DF)進(jìn)行比較，檢驗的實際水平設(shè)為5%。從表中可以看出當(dāng)θ較小時，無論(ω,α1,β1)如何取值，τ和τu比常規(guī)的DF具有更高的勢。舉個例子來說明，觀察表1～2中當(dāng)θ=0.01，(ω,α1,β1)=(0.1,0.2,0.7)時，樣本量從50到100，統(tǒng)計量τ的勢從0.376 9到0.856 6，而DF檢驗的勢是0.217 4到0.762 6；統(tǒng)計量τu的勢從0.211 6到0.531 4，而DF檢驗的勢是0.118 2 到0.329 0。當(dāng)然，當(dāng)θ取值變大，因為模型漸進(jìn)線性，DF檢驗統(tǒng)計量會有更高的勢。當(dāng)樣本量比較大時(比如T=200)，可以看出，所有檢驗統(tǒng)計量的勢都接近1。對比表1和表2可以看出，在原始數(shù)據(jù)和去均值數(shù)據(jù)情況下，前者檢驗統(tǒng)計量的勢更高。

表1 備擇假設(shè)下統(tǒng)計量τ的勢Table 1 Power of τ under alternative hypothesis

注：顯著性水平為5%。

表2 備擇假設(shè)下統(tǒng)計量τu的勢Table 2 Power of τu under alternative hypothesis

3 結(jié) 論

在實際應(yīng)用中，GARCH模型被廣泛地應(yīng)用于對經(jīng)濟(金融)時間序列波動性的研究，它能較好地解決波動群集問題, 即大(小)的波動后緊跟的是大(小)的波動。由于GARCH模型的系數(shù)是未知的，考慮了KSS型檢驗統(tǒng)計量來檢驗，檢驗功效及檢驗水平分析表明，該統(tǒng)計量具有良好的檢驗水平及較高的檢驗功效。因此，在應(yīng)用中，無論數(shù)據(jù)生成過程中誤差項是常數(shù)還是異方差情景，都可以通過模擬對臨界值加以估計。從蒙特卡羅模擬可以得出，KSS型檢驗統(tǒng)計量比常規(guī)的DF檢驗量具有更高的檢驗功效，為誤差項不獨立(相依)的非線性ESTAR模型的單位根檢驗(對這種過程的購買力平價理論的檢驗)提供了一定的參考依據(jù)。

[1] KABIRI S, LOTFOLLAHZADEH T, SHAYESTEH M G, et al. Modelling and forecasting of signal-to-interference plus noise ratio in femtocellular networks using logistic smooth threshold autoregressive model[J]. IET Signal Processing,2015,9(1):48.

[2] CHEN R C Y, LEE C H. The influence of CSR on firm value: an application of panel smooth transition regression on Taiwan[J]. Applied Economics,2017,49(34):1.

[3] UBILAVA D, HELMERS C G. Forecasting ENSO with a smooth transition autoregressive model[J]. Environmental Modelling and Software Volume,2013,40(2):181.

[4] KAPETANIOS G, SHIN Y, SNELL A. Testing for a unit root in the nonlinear STAR framework[J]. Journal of Econometrics,2003,112(2):359.

[5] KRUSE R. A new unit root test against ESTAR based on a class of modified statistics[J]. Statistical Papers,2011,52(1):71.

[6] HANCK C. On the asymptotic distribution of a unit root test against ESTAR alternatives[J]. Statistics and Probability Letters,2012,82(2):360.

[7] 張凌翔,張曉峒. 單位根檢驗中的Wald統(tǒng)計量研究[J]. 數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究,2009,26(7):146.

[8] 宮健,高鐵梅,張澤.匯率波動對我國外匯儲備變動的非對稱傳導(dǎo)效應(yīng)：基于非線性LSTARX-GARCH模型[J].金融研究,2017(2):84.

[9] LING S Q, LI W K. Asymptotic inference for unit root processes with GARCH(1,1) errors[J]. Econometric Theory,2003,19(4):541.

[10] WANG G W. A note on unit root tests with heavy-tailed GARCH errors[J]. Statistics and Probability Letter,2006,76(10):1075.

[11] YUAN Y Z, ZHANG R M. Estimation for nearly unit root processes with GARCH errors[J]. Applied Mathematics: A Journal of Chinese University(Series B),2010,25(3):297.

[12] LUUKKONEN R, SAIKKONEN P, TERSVIRTA T. Testing linearity against smooth transition autoregressive models[J]. Biometrika,1988,75(3):491.

[13] YANG X R, ZHANG L X. A note on self-normalized Dickey-Fuller test for unit root in autoregressive time series with GARCH errors[J]. Applied Mathematics: A Journal of Chinese University(Series B),2008,23(2):197.

[14] HALL P, LUKACS E, BIRNBAUM Z W, et al. Martingale limit theory and its application[J]. Journal of the American Statistical Association,1980,78(78):301.

[15] MüLLER U K, ELLIOTT G. Tests for unit roots and the initial condition[J]. Econometrica,2003,71(4):1269.

[16] PHILLIPS P C B, SOLO V. Asymptotics for linear processes[J]. The Annals of Statistics,1992,20(2):971.

[17] 孫榮恒. 隨機過程及其應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社,2004.

[18] 嚴(yán)士健，劉秀芳. 測度與概率[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社,1994.

[19] TAYLOR M P, PEEL D A, SARNO L. Nonlinear mean-reversion in real exchange rates: toward a solution to the purchasing power parity puzzles[J]. International Economic Review,2001,42(4):1015.