空間濾波的實驗研究

于雪冰，王 偉

(東北師范大學(xué) a.物理學(xué)院;b.物理學(xué)國家級實驗教學(xué)示范中心(東北師范大學(xué))，吉林 長春130024)

傅里葉變換光學(xué)是光學(xué)領(lǐng)域的一個分支，它的形成導(dǎo)致了光學(xué)信息處理技術(shù)的興起. 光學(xué)信息處理以其容量大、速度快、并行性等顯著優(yōu)點，在二維圖像信息處理和識別等方面有重要應(yīng)用. 空間濾波是最基本的光學(xué)處理操作之一，其基本原理是根據(jù)具體需要制作適當(dāng)?shù)目臻g濾波器，并將其放在光路中輸入圖像的頻譜平面處，通過對輸入圖像的頻譜進(jìn)行調(diào)制完成某種處理過程，如低通、高通、帶通、邊緣增強、相關(guān)識別等. 其理論基礎(chǔ)是傅里葉變換，實驗基礎(chǔ)為阿貝成像原理，了解相關(guān)理論對掌握光學(xué)信息處理技術(shù)起著至關(guān)重要的作用.

1 實驗原理

1.1 空間頻率與頻譜

任意周期結(jié)構(gòu)的屏函數(shù)均可以展開為傅里葉級數(shù). 傅里葉系數(shù)的集合反映了原函數(shù)各種頻率成分所占的分量，通常稱其為傅里葉譜，簡稱頻譜. 頻譜可以是連續(xù)譜，也可以是離散譜. 周期函數(shù)的頻譜是離散譜，非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)譜. 實際柵函數(shù)為準(zhǔn)周期函數(shù)，其頻譜介于連續(xù)譜與離散譜之間，而更具有離散譜的特征，稱為準(zhǔn)離散譜.

根據(jù)傅里葉分析可知，頻譜面上的光場分布與物的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，原點附近分布著物的低頻信息，即傅里葉低頻分量；離原點較遠(yuǎn)處，分布著物的較高的頻率信息，即傅里葉高頻分量[1].

1.2 阿貝成像原理

阿貝成像原理如圖1所示，從頻譜角度看，阿貝成像原理的基本思想是把相干光照明下的透鏡成像過程分為兩步：

1)物是一系列的不同空間頻率信息的集合，通過物的衍射光在透鏡后焦面(頻譜面)上形成空間頻譜，所以衍射起“分解”頻譜即“分頻”的作用；

2)代表不同空間頻率的各光束在像平面上相干疊加而形成物體的像，因此干涉起“綜合”頻率即“合頻”的作用[2].

圖1 阿貝成像原理圖

1.3 透鏡的相位變化功能

設(shè)物體的復(fù)振幅透射率為t(x0,y0)，物體與透鏡間的距離為d0. 使用振幅為A的單色平面波垂直照射物體，U(x0,y0)為緊靠物體后平面上復(fù)振幅分布，U1(x,y)為緊靠透鏡前平面上復(fù)振幅分布，則有

U(x0,y0)=At(x0,y0),

(1)

F{U0(x,y)}=AF{t(x0,y0)}=AT(fx,fy),

F{U1(x,y)}=F{U0(x0,y0)}L(fx,fy),

(2)

得

(3)

后焦面上的復(fù)振幅分布為

(4)

由上面的分析可見：后焦面上的復(fù)振幅分布正比于物體的傅里葉變換,變換式前的二次相位因子使物體的相位因子產(chǎn)生相位彎曲.

當(dāng)d0=f時，即當(dāng)物體位于透鏡前焦面時：

(5)

1.4 空間濾波

對圖像產(chǎn)生的復(fù)雜波前的傅里葉分析，意味著將其復(fù)雜的衍射場分解為一系列不同方向、不同振幅的平面衍射波，特定方向的平面衍射波，作為載波，攜帶著特定空間頻率的光學(xué)信息，并將其集中于夫瑯禾費衍射場的相應(yīng)位置，實現(xiàn)了分頻. 因為物信息的空間頻譜展現(xiàn)在透鏡的后焦面即傅氏面上，故若在頻譜面上安置不同結(jié)構(gòu)的光闌，以提取或摒棄某些頻譜，從而改變了原物頻譜，再合成于物的共軛像面上即為輸出圖像，這就完成了改造圖像的信息處理. 頻譜面上的光闌起選頻作用，常稱為空間濾波器[1].

1.5 巴比涅原理

2個互補衍射屏在衍射場中某點單獨產(chǎn)生的復(fù)振幅之和等于光波自由傳播時該點的復(fù)振幅，稱為巴比涅原理. 巴比涅原理給出的3個場之間是復(fù)振幅關(guān)系，其中相位差因素也會起作用，故一衍射屏在某處的衍射強度是亮的，其互補屏在該處的衍射強度不一定是暗的.

2 實 驗

2.1 探究分頻、合頻過程

調(diào)整好光路后，用準(zhǔn)直的氦氖激光照明帶網(wǎng)格的“光”字板. 先將白屏放在傅里葉透鏡的后焦平面前且靠近傅里葉透鏡，可看見所成像中央有一輪廓較為清晰的正立、縮小的“光”，并且“光”的周圍有很多重影，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格已經(jīng)分離[圖2(a)]. 當(dāng)將白屏慢慢向后焦平面移動時，中央的“光”已經(jīng)被分解成更多的正立“光”，且輪廓越來越模糊，“光”也變得越來越小[圖2(b)]，直至頻譜面時網(wǎng)格已經(jīng)完全分離成點陣，中央沒有“光”字，只有幾個光強較強的點[圖2(c)]. 繼續(xù)將白屏遠(yuǎn)離頻譜面后方移動，白屏上的點陣逐漸消失，慢慢合成不很清晰的倒立“光”字，將屏后移，出現(xiàn)輪廓分明的倒立、逐漸放大了的“光”字，同時點陣也慢慢擴展復(fù)合成網(wǎng)格的像[圖2(d)]，說明此時發(fā)生了頻率的合成. 當(dāng)把白屏再向后移動時，發(fā)現(xiàn)倒立的“光”越來越大，其上網(wǎng)格也越來越清晰[2][圖2(e)].

(a) (b) (c)

(d) (e) 圖2 探究“分頻”及“合頻”過程

2.2 方向濾波

2.2.1 2f成像系統(tǒng)

物為正交光柵，濾波器為可旋轉(zhuǎn)狹縫. 用準(zhǔn)直的氦氖激光照明光柵，后焦面上出現(xiàn)一系列準(zhǔn)離散的衍射譜斑. 在后焦面上安置可以旋轉(zhuǎn)的狹縫作為濾波器，以選取不同譜斑，從而可以觀測到相應(yīng)不同的輸出圖像. 如果頻譜面上放置的狹縫沿縱向，則輸出圖像只顯示橫條紋；如果狹縫處于水平方位，則輸出圖像只顯示豎條紋；如果狹縫取向傾斜，則輸出圖像顯示為較密而且與狹縫取向垂直的斜條紋. 即改變狹縫方向，觀測到像的延展方向總是與譜斑鋪展方向正交，表明橫向的譜斑攜帶的是縱向信息. 因為斜向譜斑的角間隔比水平或垂直鋪展的角間隔要大，對應(yīng)的基頻較高，所以呈現(xiàn)于像平面上的斜向條紋較密，如圖3～4所示.

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜 圖3 方向濾波圖(透鏡為大孔徑)

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜 圖4 方向濾波圖(透鏡為小孔徑)

2.2.2 4f成像系統(tǒng)

光路圖如圖5所示. 物為正交光柵，濾波器為可旋轉(zhuǎn)狹縫. 用準(zhǔn)直氦氖激光照明光柵，后焦面上出現(xiàn)一系列準(zhǔn)離散的衍射譜斑；在后焦面上安置可旋轉(zhuǎn)狹縫作為濾波器，以選取不同譜斑，從而可觀測到相應(yīng)不同的輸出圖像. 如果頻譜面上放置的狹縫沿縱向，則輸出圖像只顯示橫條紋；如果狹縫處于水平方位，則輸出圖像只顯示豎條紋；如果狹縫取向傾斜，則輸出圖像較為密集且與狹縫取向垂直的斜條紋.

4f系統(tǒng)中的“后焦面”有雙重身份，對L而言是物場的頻譜面；對L′而言是物平面，其頻譜面即為系統(tǒng)的輸出平面. 4f成像系統(tǒng)中，前后2個透鏡共焦組合是必要條件，其保證了前后2次波前變換均為純凈的傅里葉變換. 透鏡的前后2個焦面是1對傅里葉變換面，在4f系統(tǒng)中，像場是一系列不同方向平面波的干涉場，而前半部分的物場被分解為一系列不同方向的平面衍射波，即為阿貝成像原理中的“一分一合”在4f系統(tǒng)中的特別體現(xiàn).

圖5 4f成像系統(tǒng)原理圖

對比分析2f成像系統(tǒng)和4f成像系統(tǒng)透鏡孔徑不同時輸出圖像的差異，發(fā)現(xiàn)透鏡孔徑較大時對應(yīng)的輸出圖像包含更多細(xì)節(jié)，這是因為較大的孔徑可以收集到高頻信息引起的大角度的衍射光，這些衍射光到達(dá)像平面時相干疊加出較多的細(xì)節(jié). 而孔徑較小時，高頻信息引起的大角度衍射無法進(jìn)入鏡頭，頻譜面上缺少了高頻譜，像面上丟失了高頻信息，如圖6～8所示.

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜圖6 方向濾波圖(兩透鏡均為小孔徑)

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜圖7 方向濾波圖(透鏡孔徑為一大一小)

(a)透鏡為小孔徑 (b)透鏡為大孔徑圖8 不同孔徑透鏡對應(yīng)的輸出圖像

2.3 顯色濾波

實驗裝置如圖9所示，采用白光作照明光源，頻譜面上同時展現(xiàn)圖像的時間頻譜與空間頻譜. 在頻譜面上特定位置設(shè)置小孔濾波器，提取特定波長的空間頻率成分，如圖10所示.

圖9 顯色濾波實驗裝置

圖10 截取不同頻率濾波對應(yīng)不同輸出圖像

調(diào)整濾波孔位置，輸出圖像的色彩發(fā)生改變，說明色彩是人為指定的而非天然色.

2.4 利用空間濾波技術(shù)進(jìn)行圖像處理

實驗光路為2f成像系統(tǒng)，物為正交光柵，用孔徑大小可調(diào)的圓孔光闌作濾波器. 實驗中改變光闌孔徑大小，觀測輸出圖像的變化情況. 當(dāng)逐漸縮小孔徑時，觀測到圖像的邊緣逐漸變得柔和，這是因為圖像的傅里葉變換頻譜中的低頻分量反映圖像的背景，高頻分量反映圖像的細(xì)節(jié)、邊緣及其他尖銳跳躍，孔徑縮小，使透過的高頻分量減少，故邊緣變得柔和，如圖11所示.

(a) (b) (c) 圖11 圓孔光闌孔徑逐漸減小對應(yīng)的濾波圖像

2.5 低通濾波

2.5.1 物為帶有周期性網(wǎng)格的“光”字

在2f成像系統(tǒng)中，物為帶有周期性網(wǎng)格的“光”字，采用孔徑很小的圓孔做低通濾波器，觀察后焦面上的頻譜分布，可以看到排成十字形的點陣. 逐步減小圓孔孔徑，觀察輸出圖像變化情況. 孔徑較大時，像中存在網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，逐漸減小孔徑，最終觀測到?jīng)]有網(wǎng)格的“光”字. 因為與網(wǎng)格相比，“光”字的空間頻率較低，集中在光軸附近很小范圍內(nèi)，而孔徑較小的圓孔只通過低頻分量，故可將周期性網(wǎng)格消除，如圖12所示.

(a)孔徑較大 (b)孔徑較小 圖12 不同光闌孔徑的低通濾波圖像

將小圓孔移至頻譜面上中央亮點以外的亮點上時，在輸出平面上仍能看到無網(wǎng)格的“光”字，只是較暗淡. 這說明當(dāng)物為“光”與網(wǎng)格的乘積時，其傅里葉譜是“光”的譜與網(wǎng)格的譜的卷積，因此每個亮點周圍都是“光”的譜，再作傅里葉變換就還原成“光”字[4]，如圖13所示.

(a) (b)圖13 濾波孔不在頻譜中心時對應(yīng)的輸出圖像

2.5.2 物為“大”字與正交光柵組合

在2f成像系統(tǒng)中，將正交光柵與不透明的“大”字重疊放在物面上,選取孔徑很小的圓孔作低通濾波器，觀測到周期性網(wǎng)格被消除[5],如圖14所示.

2.6 利用Matlab模擬傅里葉變換

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)，2個函數(shù)卷積的傅里葉變換等于傅里葉變換的乘積. 在頻譜面上插入空間濾波器相當(dāng)于頻譜分布函數(shù)乘以空間濾波器濾波函數(shù)的復(fù)振幅透過率函數(shù). 空間濾波的光學(xué)處理器的模擬系統(tǒng)簡圖如圖15所示，通過計算機模擬仿真可以完成空間濾波實驗[6].

(a) (b)圖14 低通濾波后的輸出圖像

圖15 空間濾波光學(xué)處理器的模擬系統(tǒng)簡圖

2.6.1 物二維光柵的頻譜

將二維光柵作為物,則可在傅里葉面上觀測到如16圖所示的頻譜分布.

圖16 二維光柵的頻譜圖

2.6.2 低通濾波的模擬結(jié)果

在計算機模擬中，用Photoshop軟件畫出帶有周期性網(wǎng)格的“光”字圖片代替物體，并保存為bmp格式. 通過Matlab編程對這幅圖進(jìn)行傅里葉變換得到相應(yīng)的頻譜分布. 這一步驟相當(dāng)于實驗中透鏡所起的傅里葉變換作用. 圖17所示為原圖像及其頻譜圖分布.

(a)未放置濾波器

(b)放置濾波器后圖17 三維頻譜圖

2.7 巴比涅原理的探究

在2f成像系統(tǒng)中，在物平面分別放置方孔和去除方孔的屏，觀察二者后焦面上夫瑯禾費衍射圖樣的區(qū)別. 在平行光照明時，其自由光場聚焦于透鏡的后焦點，即軸外自由光場為零. 由巴比涅原理知，在平行光照明下，2個互補屏在后焦面上產(chǎn)生的夫瑯禾費衍射強度分布是完全相同的，看起來是完全相同的衍射圖樣，不同的僅僅是像點的光強. 圖18所示實驗現(xiàn)象與理論符合[1].

(a)衍射屏為方孔 (b)衍射屏為方孔的互補屏圖18 巴比涅原理實驗驗證圖

3 結(jié)束語

空間濾波是目前應(yīng)用較為廣泛的光學(xué)信息處理技術(shù)，其理論依據(jù)為阿貝成像原理[7]. 本文通過實驗驗證了阿貝的二次成像原理，通過改變頻譜結(jié)構(gòu)改變了輸出圖像的性質(zhì)，并用Matlab對相關(guān)過程進(jìn)行了模擬. 其中在實現(xiàn)顯色濾波過程中，應(yīng)用自制的小孔濾波器改變頻譜結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了對輸出圖像色彩的改變，該方法操作簡便且得到了明顯的實驗現(xiàn)象.

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