單擺非線性特征的研究

劉正成，李青松，孫迎春,b

(東北師范大學 a.物理學院；b.物理學師范專業(yè)國家級實驗教學示范中心，吉林 長春 130024)

單擺是理想的物理模型[1]，其做簡諧振動(擺角< 5°)時的運動微分方程為線性方程，具有確定的解析解，其振動周期與擺角無關，是常量；而當單擺做大擺角運動時，運動微分方程為非線性方程，很難用通常的解析方法討論其運動，不能獲得解析解. 對此，文獻[2]利用譜分析的方法分析大位移單擺的運動，從理論上獲得了大擺角單擺頻譜響應的相關參量，結果顯示了其運動具有非線性特性[2]. 已有的對單擺非線性運動的討論多限于理論層面[3-5]，且多采用多項式展開后取近似的手段研究單擺的周期[6-8]. Matlab軟件具有強大的計算功能，可以求出非線性方程的數(shù)值解[9-11]，因此，可模擬不同情況下單擺的運動. 同時，利用改進的單擺實驗裝置進行精準測量，可以獲得擺角與周期的關系. 將Matlab軟件模擬的結果與實驗結果對比分析，充分證明了大擺角單擺具有典型的非線性特征.

1 大擺角單擺非線性的理論探討

1.1 單擺運動動力學方程的建立

用一不可伸長的輕質線繩懸掛一小球(見圖1)，當θ<5°時的運動就是單擺. 設小球的質量為m，其質心到擺的固定懸掛點O的距離為l(即擺長). 由受力分析可知，作用在小球上的切向力的大小為mgsinθ，它總是指向平衡點O′. 依據(jù)牛頓第二定律，單擺的運動方程為

ma切+mgsinθ=0.

圖1 單擺運動示意圖

其中

則

即

(1)

式(1)即為單擺在任意擺角情況下的動力學方程，用通常手段很難求出其精確的解析解，往往需進行多項式展開后取近似，所以，無法直接獲得θ與周期T的關系.

1.2 利用Matlab軟件求大擺角單擺運動方程的數(shù)值解

(2)

(a)

(b)圖2 擺角θ與角速度隨時間變化的時域圖 (θ0為起始擺角)

(a)

(b)圖3 θ和在10 000 s內幅值隨時間的變化

(a)10 s

(b)10 000 s圖4 實時θ與相位關系的平面相圖

(a)10 s

(b)10 000 s圖5 實時的θ與相位關系的立體相圖

對圖2中的各個θ0和T進行統(tǒng)計，獲得了θ幅值和T隨單擺擺動次數(shù)N變化的規(guī)律如圖6所示. 結果表明：無論θ0多大，振蕩的峰值和T都隨時間緩慢減小，但T大小是在一個范圍內起伏變化[見圖6(b)中放大的部分].

(a)θ-N

(b)T-N圖6 θ和T隨單擺擺動次數(shù)N的變化關系圖

2 大擺角單擺的實驗研究

2.1 改進的精準測量實驗裝置

在通常單擺裝置上，上下各添加固定1個鋼直尺，用于準確控制θ0的大小. 在實驗裝置模式圖中(見圖7)，S1是單擺固定懸梁的位置，鋼尺1放置在與光電門中心且正交的方向上，S2是鋼尺2的高度位置(可在桿上滑動)，變換單擺角度即通過移動鋼尺2的位置來實現(xiàn)，其好處是可以將選取的角度轉換成直角三角形邊長的關系，能夠更準確地控制θ0. 把擺錘拉到2個鋼尺交叉的點處釋放，用數(shù)字計時計數(shù)測定儀測量T. 每個θ0下測量1個周期5次，結果取算術平均值(用cos函數(shù)來計算每個角度).

圖7 改進的單擺實驗裝置模式圖

2.2 實驗測量與分析

由于實驗條件的可控性和模擬時θ0可隨意的選擇性，因此，選擇了模擬計算和實驗測量θ0相同. 為了更直觀地獲得二者的對比結果，借助于Origin軟件作圖(見圖8)，可見二者吻合較好，曲線趨勢走向一致.θ0≤50°時，理論模擬和實驗測量結果幾乎完全重合，但當θ0>50°時，實驗測量值小于理論模擬值，具有0.2%的相對偏差，這可能是由于以下原因造成：鋼直尺的精度低引入的誤差，實驗測量時空氣阻力等引入的誤差，實驗測量時操作人的操作引入的誤差，測時儀器引入的誤差等.

圖8 T與θ0關系的實驗值與理論值對比關系

3 結束語

從單擺運動的動力學理論方程出發(fā)，求解出了θ和T的數(shù)值解，并模擬出二者隨時間的變化規(guī)律，獲得了θ幅值隨時間增加而減小，T雖然也減小但呈現(xiàn)出不規(guī)則性的結果. 通過改進的實驗設備，對大擺角單擺的T進行精準測量，發(fā)現(xiàn)獲得的結果與理論模擬結果一致，因此，從理論和實驗兩方面證實了大擺角單擺的非線性特征.

[1] 王海期. 非線性振動[M]. 北京：高等教育出版社， 1992：262-278.

[2] 馬汝建，王均剛，趙東. 大位移單擺的非線性分析[C]//第九屆全國振動理論及應用學術會議論文集. 杭州：浙江大學出版社，2007：182-185.

[3] 袁鋼. 單擺實驗研究與分析[J]. 六盤水師范高等?？茖W校學報,2007，19(6)：19-20.

[4] 李元杰. 單擺的規(guī)則、隨機與混沌運動的研究[J]. 大學物理，1998,17(9)：6-8.

[5] 王來英，薛亞宏. 一類基于Matlab的微分方程邊值問題數(shù)值解的算法研究[J]. 中國西部科技,2012，11(8)：48-50.

[6] 譚志中. 求大擺角單擺周期近似解的“局部常化”方法[J]. 大學物理，2005,24(12)：14-17.

[7] 龔善初. 利用線化和校正法求非線性單擺運動的周期[J]. 大學物理，2006,25(2)：16-18.

[8] 李鵬松，孫維鵬，吳柏生. 單擺大振幅振動的解析逼近解[J]. 振動與沖擊，2008,27(2):72-74.

[9] 鄒麗娜，程麗紅，程彥明，等. 單擺非線性振動的計算機輔助測量[J]. 物理實驗，2001，21(8)：23-25.

[10] 李碩，趙彤帆，李根全，等. Matlab軟件在單擺自由振動中的應用[J]. 實驗室研究與探索，2013,12(11)：65-68.

[11] 謝寧，高志華，孫迎春. 利用波耳共振儀研究受迫振動的非線性特性[J]. 物理實驗，2016，36(2)：15-18.

[12] 秦鳴雷，肖一凡，楊海，等. 大角度下阻尼對單擺振動周期的影響[J]. 物理實驗，2012，32(5)：42-45.

[13] 張才國，關小泉，吳森，等. 氣軌上單擺的混沌實驗[J]. 物理實驗，2001,21(6):12-14.