Hom-Jordan李代數(shù)的T*-擴(kuò)張

李 強(qiáng), 馬麗麗, 韓 旸, 張 敬

(齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

δ-Jordan李代數(shù)[1]是李代數(shù)的推廣. 當(dāng)δ=1時(shí),δ-Jordan李代數(shù)即為李代數(shù). 關(guān)于δ-Jordan李代數(shù)的研究目前已有很多結(jié)果. 文獻(xiàn)[2]運(yùn)用δ-Jordan李三系構(gòu)造了一類單Jordan超代數(shù); 文獻(xiàn)[3]證明了δ-Jordan李代數(shù)的Engel定理. Hom李代數(shù)[4]是另一類廣義李代數(shù). 當(dāng)Hom李代數(shù)的扭曲映射為恒等映射時(shí), Hom李代數(shù)即為李代數(shù). 目前, Hom李代數(shù)的研究也取得了很多成果[5-7]. 文獻(xiàn)[8]給出了李代數(shù)的T*-擴(kuò)張理論, 并指出T*-擴(kuò)張是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要方法; 文獻(xiàn)[7]定義了Hom-Jordan李代數(shù)的T*-擴(kuò)張. 本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究其性質(zhì). 若無特殊說明, 本文符號(hào)均與文獻(xiàn)[7]一致.

定義1[7]設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是Hom-Jordan李代數(shù). 對(duì)L上的雙線性型f, 如果

L⊥={x∈L|f(x,y)=0, ?y∈L}=0,

則f稱為非退化的; 如果f([x,y],z)=f(x,[y,z]), 則f稱為不變的; 如果?x,y,z∈L,f(x,y)=f(y,x), 則f稱為對(duì)稱的. 對(duì)子空間I, 如果I?I⊥, 則I稱為迷向的.

定義2[7]設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是Hom-Jordan李代數(shù).

1) 若α為同態(tài), 即任取x,y∈L, 均有α([x,y]L)=[α(x),α(y)]L, 則Hom-Jordan李代數(shù)L稱為保積的;

2) 若α(η)?η且?x∈η及?y∈L, [x,y]L∈η, 則子空間η?L稱為(L,[·,·]L,δ,α)的Hom-理想.

定義3[7]設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是域 F上的Hom-Jordan李代數(shù). 若L具有非退化不變對(duì)稱雙線性型f, 則稱(L,f,δ,α)為度量Hom-Jordan李代數(shù).

命題1[7]設(shè)(L,[·,·]L,δ,α)是Hom-Jordan李代數(shù), ad是伴隨表示,ω:L×L→L*是雙線性映射. 假設(shè)余伴隨表示π存在, 即?x,y∈L,π(x)(f)(y)=-δf°ad(x)(y). 對(duì)于向量空間L⊕L*, 定義運(yùn)算和線性映射如下：

[x+f,y+g]L⊕L*=[x,y]L+ω(x,y)+δπ(x)g-π(y)f,α′(x+f)=α(x)+f°α.

則(L⊕L*,[·,·]L⊕L*,δ,α′)是Hom-Jordan李代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)ω是2-上圈:L×L→L*, 即ω∈Z2(L,L*).

定義4[7]設(shè)L是域 F上的Hom-Jordan李代數(shù). 定義一個(gè)導(dǎo)出序列(L(n))n≥0:L(0)=L,L(n+1)=[L(n),L(n)]; 一個(gè)降中心序列(Ln)n≥0:L0=L,Ln+1=[Ln,L]; 一個(gè)升中心序列(Cn(L))n≥0:C0(L)=0,Cn+1(L)=C(Cn(L)). 其中若I是L的子空間, 則定義C(I)={a∈L|[a,L]?I}.

L稱為可解的和冪零的(長度k)當(dāng)且僅當(dāng)存在(最小)整數(shù)k, 使得L(k)=0,Lk=0.

2 主要結(jié)果

證明： 對(duì)n用歸納法. 顯然,n=0時(shí)成立. 下面設(shè)n>0. 由δ-Jordan李代數(shù)的Engel定理[3]知, 存在非零元v0∈V, 使得?φ∈L,φ(v0)=0. 下面分兩種情形討論.

情形1)W≠0或存在非零L-不變向量v∈V(即L(v)?Fv), 使得q(v,v)=0. 因?yàn)閝(w,φw⊥)=δq(φ+w,w⊥)=0, 則 Fv是非零迷向L-不變子空間, 且W⊥是L-不變的. 定義雙線性型:

易證W⊥/W是度量的. 設(shè)p:W⊥→W⊥/W是自然投射, 并定義

由W和W⊥均為L-不變子空間可知,φ′的定義合理. 令L′={φ′|φ∈L}, 則L′是δ-Jordan李代數(shù). 若φ∈L存在m∈+, 使得φm=0, 則(φ′)m=0. 斷言L′具有L的性質(zhì). 事實(shí)上, ?x⊥,y⊥∈W⊥及?φ∈L, 有

從而(φ′)+=(φ+)′∈L′.

若x⊥,y⊥∈Wmax, 由q(x⊥,y⊥)=q′(p(x⊥),p(y⊥))=0可知,Wmax是迷向的. 注意到

+dimW=[n/2],

情形2)W=0且對(duì)任一非零L-不變向量v∈V滿足q(v,v)≠0. 顯然 Fv0是V的非退化L-不變子空間. 由

q(φ((kv0)⊥),v0)=δq((kv0)⊥,φ+(v0))=δq((kv0)⊥,0)=0, ?φ∈L,

定理3設(shè)(L,q,δ,α)是維數(shù)為n的冪零度量保積Hom-Jordan李代數(shù), 基域 F的特征不為2. 若J是L的迷向Hom-理想, 則L中存在一個(gè)包含J的極大迷向Hom-理想I, 且其維數(shù)為[n/2]. 若n為偶數(shù), 則L等距同構(gòu)于L/I的某個(gè)T*-擴(kuò)張; 若n為奇數(shù), 則I⊥是交換的, 且L等距同構(gòu)于L/I的某個(gè)T*-擴(kuò)張非退化的余維數(shù)為1的Hom-理想.

證明： 記adL為L上全體伴隨表示構(gòu)成的δ-Jordan李代數(shù), 則adL與定理2中的L性質(zhì)相同. 由于J是L的迷向Hom-理想, 于是J是L的迷向adL-不變子空間, 且α(J)?J, 從而存在包含J的極大迷向adL-不變Hom-理想I, 使得α(I)?I, dimI=[n/2].

若n為偶數(shù), 由定理1, 則L等距同構(gòu)于L/I的某個(gè)T*-擴(kuò)張； 若n為奇數(shù), 由定理2, 則dimI⊥-dimI=1, adA(I⊥)?I. 考慮到Z(I)=(adL(I))⊥, 則I⊥?(adL(I⊥))⊥=Z(I⊥), 于是I⊥是交換的.

[x+ka,y+k′a]=[x,y],qA′(x+ka,y+k′a)=qA(x,y)+qa(ka,k′a).

則(L′,qA′,α′)是冪零度量保積Hom-Jordan李代數(shù). 事實(shí)上,

且L是L′的余維數(shù)為1的非退化Hom-理想. 由于I⊥是非迷向的, 且 F是代數(shù)閉域, 則存在z∈I⊥, 使得qA(z,z)=-1.

設(shè)β=a+z,I′=I⊕Fβ, 則I′是L′的(n+1)/2維迷向Hom-理想. 事實(shí)上, 任取x+k1a+k1z,y+k2a+k2z∈I′, 則有

由定理1知,L′等距同構(gòu)于L′/I′的某個(gè)T*-擴(kuò)張. 證畢.

由于I⊥是交換的, 且adL(I⊥)?I, 從而Φα=αΦ. 于是Φ是滿射, 且KerΦ=I′, 因此L′/I′?L/I. 下面考慮L/I的冪零長度.

命題2設(shè)(L,q,δ,α)是有限維度量保積Hom-Jordan李代數(shù).

1) 對(duì)任意子空間V?L,C(V)∶={x∈L|[x,L]?V}=[L,V⊥]⊥;

2)Ln=Cn(L)⊥, 其中:C0(L)=0;Ci+1(L)=C(Ci(L));

3) 若L是冪零的且其冪零長度為k, 則Li?Ck-i(L).

證明： 等式q(C(V),[L,V⊥])=q([L,C(V)],V⊥)?q(V,V⊥)=0表明C(V)?[L,V⊥]⊥. 反之, 由

q([L,[L,V⊥]⊥],V⊥)=q([L,V⊥]⊥,[L,V⊥])=0,

可得[L,[L,V⊥]⊥]?(V⊥)⊥=V. 因此[L,V⊥]⊥?C(V), 故1)成立. 由歸納假設(shè)易知, 2),3)成立. 證畢.

由文獻(xiàn)[9]中注4.1可得以下結(jié)論：

命題3設(shè)代數(shù)閉域的特征不為2的有限維冪零度量保積Hom-Jordan李代數(shù)(L,q,δ,α), 且α(L)=L, 則(L,q,δ,α)等距同構(gòu)于冪零保積Hom-Jordan李代數(shù)的T*-擴(kuò)張(或余維數(shù)為1的非退化理想), 且后者的冪零長度不超過前者的1/2.

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