時(shí)間測(cè)度鏈上二階Emden-Fowler型動(dòng)態(tài)方程的振動(dòng)性

楊甲山, 覃桂茳

(梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院, 復(fù)雜系統(tǒng)仿真與智能計(jì)算實(shí)驗(yàn)室, 廣西 梧州 543002)

0 引 言

考慮時(shí)間測(cè)度鏈上一類廣泛的具有阻尼項(xiàng)和非線性中立項(xiàng)的二階非線性變時(shí)滯Emden-Fowler型動(dòng)態(tài)方程:

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))+P(t)F(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T

(1)

(H2) 0≤B(t)<1,b(t)≥0,P(t)>0;

(H3) 當(dāng)u≠0時(shí)g(u)/u≤η,F(u)/u≥L(這里0<η≤1和L>0均為常數(shù));

(H4)A(t)>0,AΔ(t)≥0且-b/A∈+.

方程(1)的解及其振動(dòng)性的定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]. 本文考慮方程(1)的解x(t)當(dāng)t→+∞時(shí)的性質(zhì), 所以假設(shè)時(shí)間測(cè)度鏈 T是無(wú)界的： sup T=+∞. 設(shè)t0∈T且t0>0, 則[t0,+∞)T=[t0,+∞)∩T是時(shí)間測(cè)度鏈區(qū)間. 本文只關(guān)注方程(1)的不最終恒為零的解.

目前, 關(guān)于時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)態(tài)方程的振動(dòng)性研究已有很多成果[1-15], 而關(guān)于方程(1)特殊情形的振動(dòng)性研究也已有很多結(jié)果[2-15], 如: Grace等[2]和Hassan[3]研究了時(shí)間測(cè)度鏈上一類擬線性動(dòng)態(tài)方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+q(t)xγ(t)=0

的振動(dòng)性, 在條件

(2)

下得到了該方程振動(dòng)的一些判別準(zhǔn)則. Erbe等[4]利用時(shí)間測(cè)度鏈上的理論和Riccati變換技術(shù)研究了具阻尼項(xiàng)的二階非線性動(dòng)態(tài)方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)(xΔσ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0

的振動(dòng)性, 在條件

(3)

成立下得到了該方程的一些振動(dòng)準(zhǔn)則, 推廣并改進(jìn)了已有的一些結(jié)果, 這里

張全信等[5-7]利用時(shí)間測(cè)度鏈上的理論和Riccati變換技術(shù)研究了具阻尼項(xiàng)的二階擬線性動(dòng)態(tài)方程

的振動(dòng)性, 在條件

(4)

和

(5)

成立時(shí)得到了該方程振動(dòng)的一些充分條件, 推廣并改進(jìn)了一些已有的結(jié)果, 這里

(6)

對(duì)二階Euler微分方程

(t2x′(t))′+q0x(t)=0,

(7)

文獻(xiàn)[1]在條件

(8)

成立的情況下研究了方程(1)的振動(dòng)性, 獲得了方程(1)振動(dòng)的若干準(zhǔn)則, 推廣并改進(jìn)了已有的相應(yīng)結(jié)果. 本文考慮當(dāng)條件(8)不成立, 而條件(4)成立時(shí)方程(1)的振動(dòng)準(zhǔn)則, 改進(jìn)對(duì)方程的限制條件(如文獻(xiàn)[5-7]中的限制條件“δ(T)=T”； 文獻(xiàn)[8]中的限制條件“τ=δ,δ嚴(yán)格遞增且τ°σ=σ°τ”等), 所得結(jié)果推廣并改進(jìn)了一些已有的結(jié)論.

1 方程振動(dòng)的充分條件

引理1[1]若x(t)是Δ可微的且最終為正或最終為負(fù)時(shí), 則

(9)

引入記號(hào):

(10)

當(dāng)λ>β時(shí), 有

(11)

其中: 常數(shù)k∈(0,1);M>0為某常數(shù). 如果

(12)

則方程(1)在[t0,+∞)T上是振動(dòng)的.

證明: 不失一般性, 設(shè)方程(1)在[t0,+∞)T上有一個(gè)最終正解x(t)(若x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證), 則存在t1∈[t0,+∞)T, 使得當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí),x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0. 于是, 當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí), 有y(t)>0. 由方程(1), 得

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))≤-LP(t)xβ(δ(t))<0,t∈[t1,+∞)T.

(13)

情形1)yΔ(t)>0,t∈[t1,+∞)T. 此時(shí), 與文獻(xiàn)[1]中定理1的證明完全相同. 當(dāng)λ≤β時(shí), 與式(10)矛盾； 當(dāng)λ>β時(shí), 與式(11)矛盾.

情形2)yΔ(t)<0,t∈[t1,+∞)T. 令

(14)

(15)

令u→+∞, 則有

(16)

注意到0

(17)

因此, 由式(17)并注意到式(14), 有

-1≤ω(t)θλ(t)≤0.

(18)

因yΔ(t)<0, 于是由式(9), 易得

(19)

當(dāng)0<λ≤1時(shí), 對(duì)式(14)求Δ-微分, 由式(19)的第二個(gè)式子、yΔ(t)<0及式(13),(14), 有

(20)

當(dāng)λ>1時(shí), 由式(19)的第一個(gè)式子及yΔ(t)<0, 可得式(20)仍然成立. 于是, 由

θΔ(t)=-[A-1(t)e-b/A(t,t0)]1/λ

及式(16), 有

從而

(21)

(22)

yΔ(s)≤-M1/λ[A-1(s)e-b/A(s,t0)]1/λ,

因此

即

令u→+∞, 得

即yβ-λ(t)≥kθβ-λ(t), 這里k=M(β-λ)/λ>0為常數(shù).

綜上及式(21)和函數(shù)π(t)的定義, 有

(23)

此外, 由y(t)/θ(t)單調(diào)增加可得

(24)

將式(23),(24)代入式(20), 得

(25)

將式(25)中的t改成s, 兩邊同時(shí)乘以θλ(σ(s))后再積分, 并利用時(shí)間測(cè)度鏈上的分部積分公式, 即

注意到

(26)

將式(18)用于式(26), 有

與式(12)矛盾. 證畢.

(27)

其中函數(shù)θ(t)和π(t)如定理1,

則方程(1)在[t0,+∞)T上是振動(dòng)的.

證明: 不失一般性, 設(shè)方程(1)在[t0,+∞)T上有一個(gè)最終正解x(t)(若x(t)為最終負(fù)解時(shí)類似可證), 則存在t1∈[t0,+∞)T, 使得當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí),x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0. 由定理1的證明知, 只有下列兩種情形：

1) 當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí),y(t)>0,yΔ(t)>0, [A(t)φ1(yΔ(t))]Δ<0;

2) 當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí),y(t)>0,yΔ(t)<0, [A(t)φ1(yΔ(t))]Δ<0.

情形1)yΔ(t)>0(t∈[t1,+∞)T). 此時(shí), 與文獻(xiàn)[1]中定理1的證明完全相同, 當(dāng)λ≤β時(shí), 與式(10)矛盾； 當(dāng)λ>β時(shí), 與式(11)矛盾.

情形2)yΔ(t)<0(t∈[t1,+∞)T). 此時(shí),A(t)φ1(yΔ(t))<0, 由式(17)知,yλ(t)≥A(t)(-yΔ(t))λθλ(t), 即

(28)

引入廣義的Riccati變換:

(29)

則由式(28)知v(t)≥0(t∈[t1,+∞)T). 由式(13),(19),(28),(29)有

(30)

得

(31)

將式(23),(24),(31)代入式(30), 得

(32)

將式(32)中的t改成s, 兩邊同時(shí)乘以θλ(σ(s))后再積分, 并注意到引理2, 可得

所以

與式(27)矛盾. 證畢.

注1定理1及定理2均沒(méi)有“δ是嚴(yán)格遞增的可微函數(shù), 且δ(T)=T”或“τ=δ,δ嚴(yán)格遞增且τ°σ=σ°τ”等限制條件.

例1考慮二階Euler微分方程(7), 即

(t2x′(t))′+q0x(t)=0,t≥1,

其中常數(shù)q0>0. 這里A(t)=t2,b(t)=0,B(t)恒為0,P(t)=q0,τ(t)=δ(t)=t,F(u)=u,λ=β=1,t0=1. 顯然滿足條件(H1)～(H4)和式(4). 取φ(t)=1, 由于 T=, 故

所以, 當(dāng)q0>1/4時(shí), 有

且

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