非線性多階分?jǐn)?shù)階微分方程組正解的存在性

代 群, 李輝來, 孫 艷, 高瑞梅

(1. 長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

分?jǐn)?shù)階微分方程在物理學(xué)、 化學(xué)、 工程學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-4]. 文獻(xiàn)[5-8]應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理研究了非線性微分方程正解的存在性和唯一性; Alsaedi等[9]研究了如下非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程組解的存在性和爆破解問題：

本文考慮如下非線性多階分?jǐn)?shù)階微分方程組正解的存在性問題：

(1)

其中:

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3-4]函數(shù)y: (0,+∞)→的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)內(nèi)有定義.

定義2[3-4]具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y: (0,+∞)→的α>0階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

定義3[3-4]設(shè)K為Banach空間E中的一個(gè)閉錐, 在E中偏序≤定義為： 對(duì)于x,y∈E, 如果y-x∈K, 有x≤y, 則稱(E,K)為一個(gè)偏序Banach空間.

定義4[3-4]對(duì)于x,y∈E, 偏序區(qū)間〈x,y〉定義為〈x,y〉={z∈E:x≤z≤y}.

引理1[3-4]設(shè)(E,K)是一個(gè)偏序Banach空間,x0,y0∈K,x0≤y0,F: 〈x0,y0〉→〈x0,y0〉是一個(gè)增算子, 且Fx0≥x0,Fy0≤y0. 如果F是一個(gè)連續(xù)緊算子, 并且K是一個(gè)正規(guī)錐, 則F在〈x0,y0〉中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

1) ‖F(xiàn)u‖≤‖u‖,u∈K∩?U1, 且‖F(xiàn)u‖≥‖u‖,u∈K∩?U2;

2) ‖F(xiàn)u‖≥‖u‖,u∈K∩?U1, 且‖F(xiàn)u‖≤‖u‖,u∈K∩?U2.

則F有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

設(shè)空間X={u(t):u(t)∈C1[0,1]}, 在X中定義范數(shù)

‖u‖=max{|u(t)|>:t∈[0,1]}.

令

K={u(t)∈X:u(t)≥0, 0≤t≤1}.

顯然,K是一個(gè)正規(guī)錐.

2 主要結(jié)果

引理3方程組(1)等價(jià)于如下積分方程組:

(2)

(3)

從而

同理可得方程(3).

算子F,G:K→K定義為

證明： 只需證明F,G:K→K是全連續(xù)算子.

首先, 證明F(M)是有界集. 令

則有

同理, 有

因此,F(M),G(M)是有界集.

其次, 證明算子F是等度連續(xù)的. 令u,v∈M, 對(duì)任意的0≤t1<δ, 則

同理, 可得

|Gv(t1)-Gv(t2)|>≤W2|t1-t2|>Km-Km-1,

引理5u′<0,v′<0.

證明： 對(duì)方程(2)兩邊同時(shí)求t的導(dǎo)數(shù), 有

同理, 有v′<0.

則方程組(1)有正解.

證明： 只需證明F,G有不動(dòng)點(diǎn)即可. 由引理4,F,G是全連續(xù)算子. 對(duì)于00,q>0, 有

從而Fu2(t)>Fu1(t). 同理可得Gv2(t)>Gv1(t). 因此,F,G是增算子.

由定理中的條件, 可得

?t∈[0,1].

令

則方程組(1)有正解.

證明： 令

對(duì)于u,v∈K∩?U2, 有

?t∈[0,1].

因此,

?u∈K∩?U2.

同理, 有‖Gv‖≤‖v‖, ?v∈K∩?U2.

另一方面, 對(duì)于u∈K∩?U1, 有

?t∈[0,1].

因此,

?u∈K∩?U1.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1考慮分?jǐn)?shù)階微分方程組：

由引理5,u′<0,v′<0, 有

u(0)≥u(t)≥u(1),v(0)≥v(t)≥v(1),

因此

η1/2v1/5(1)≤u1/2(t)v1/5(t)≤u1/2(0)v1/5(0),η=min{1,u(1)}.

又由定理2知, 該分?jǐn)?shù)階微分方程組存在正解.

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