讓數(shù)學(xué)思維在辯論中閃光

□ 楊 平

隨著新一輪課程改革的深入推進(jìn)，在全新教育理念的指引下，許多教師都在轉(zhuǎn)變自己的教學(xué)方式，改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)手段，開(kāi)展豐富多彩的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，營(yíng)造興趣盎然的學(xué)習(xí)環(huán)境，在形式多樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，辯論是一種頗受廣大師生青睞的形式。在辯論中，不同的看法在你來(lái)我往的唇槍舌劍的激烈碰撞中呈現(xiàn)出耀眼的光芒，學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性和批判性等品質(zhì)也得到了培養(yǎng)。

一、在突出重點(diǎn)時(shí)辯論，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性

在以往的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算圓錐體積時(shí)，只是將圓錐的底乘以高，而沒(méi)有乘以三分之一，針對(duì)這一情況，在教學(xué)圓錐體積和圓柱體積之間的關(guān)系時(shí)，筆者采用“猜想、驗(yàn)證、得出結(jié)論”的方法探究新知，在教學(xué)過(guò)程中，有意識(shí)地為學(xué)生搭建一個(gè)質(zhì)疑辯論的平臺(tái)。在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的個(gè)性得以張揚(yáng)，新知得以強(qiáng)化，思維得以碰撞，從而發(fā)出絢麗多彩的思維火花。

【課堂回放】

在探索等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系時(shí)，筆者要求學(xué)生在小組里利用學(xué)具，合作實(shí)驗(yàn):將空?qǐng)A錐里裝滿沙子，然后倒入空?qǐng)A柱，看看幾次正好裝滿（學(xué)具箱中的圓柱和圓錐有的等底等高，有的不是等底等高）。

師（:實(shí)驗(yàn)后）你們認(rèn)為圓柱和圓錐之間有什么關(guān)系?

生:我們?cè)谝粋€(gè)空?qǐng)A錐里裝滿沙子，然后倒入空?qǐng)A柱，三次差不多裝滿，說(shuō)明圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

師（板書(shū)結(jié)論）:圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

馬上就有學(xué)生反對(duì)。于是，筆者把學(xué)生分成兩組。同意“圓錐的體積是圓柱體積的三分之一”的為正方，不同意的為反方。由于觀點(diǎn)不同，雙方展開(kāi)了激烈的辯論。

正方:我們組和他們組一樣，在圓柱里裝滿沙子倒入圓錐，倒了三次，剛好倒完，說(shuō)明圓柱體積是圓錐體積的3倍。

反方:我們的情況與他們不一樣，你們看，我們將其中一個(gè)空?qǐng)A錐里裝滿沙子往空?qǐng)A柱里倒，結(jié)果倒了四次，說(shuō)明圓柱體積是圓錐體積的4倍。

反方:我們倒了兩次就倒?jié)M了，圓柱的體積可能是圓錐體積的2倍。

正方:老師，剛才前面同學(xué)用的圓柱太大，這位同學(xué)用的圓柱太小了。

師:那你來(lái)選一下，用哪個(gè)合適?

正方:（挑選了等底等高的圓柱和圓錐）再試一次。

師:看來(lái)，不是隨便兩個(gè)圓柱和圓錐的體積就有三分之一的關(guān)系的。

正方：圓柱和圓錐必須是等底等高才會(huì)有這種關(guān)系。

反方:現(xiàn)在，我們明白了，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一，但前提條件是這個(gè)圓柱和圓錐必須等底等高。所以老師板書(shū)的那句話應(yīng)改為“圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一”或“圓柱的體積是等底等高圓錐體積的3倍”。

……

【思考】

以上的辯論過(guò)程，學(xué)生興趣濃，思維活，辯論時(shí)，學(xué)生各抒己見(jiàn)，努力尋找圓柱和圓錐體積之間的某種相似性，溝通圓柱和圓錐體積之間的相關(guān)性，在辯論中不斷反思操作結(jié)果，深刻理解圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，思維訓(xùn)練落到實(shí)處，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性等品質(zhì)在辯論的過(guò)程中得到錘煉和提升。

二、在突破難點(diǎn)處辯論，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性

在教學(xué)時(shí)，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，有些知識(shí)學(xué)生不易理解和掌握，我們稱之為教學(xué)難點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)是一堂課成功的關(guān)鍵因素之一。因此，教師應(yīng)開(kāi)動(dòng)腦筋，運(yùn)用有效手段加以突破，辯論就是一種比較好的方法。例如，平均數(shù)的概念很抽象，為了讓學(xué)生能深刻理解平均數(shù)的意義，并運(yùn)用平均數(shù)的意義解決一些問(wèn)題，教學(xué)這節(jié)課時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)環(huán)節(jié)。

【課堂回放】

課件出示情境圖:小河平均水深130厘米，小明的身高是150厘米，他下河游泳會(huì)有危險(xiǎn)嗎？此題一出，學(xué)生有的說(shuō)有危險(xiǎn)，有的說(shuō)沒(méi)危險(xiǎn)，意見(jiàn)分歧很大。

師:看來(lái)大家意見(jiàn)分歧很大，那我們就來(lái)開(kāi)個(gè)小小辯論會(huì)，請(qǐng)正、反兩方分別推選代表，闡述自己的理由，其他同學(xué)隨時(shí)可以補(bǔ)充。

正方:我認(rèn)為沒(méi)有危險(xiǎn)，因?yàn)樾∶鞯纳砀呤?50厘米，小河平均水深130厘米，身高比水深大，所以不會(huì)有危險(xiǎn)。

反方:不對(duì)，平均水深是130厘米，并不是說(shuō)小河所有地方的水深都是130厘米，有的地方可能很淺，不到130厘米，有的地方可能會(huì)超過(guò)130厘米。

反方:對(duì)，還有可能會(huì)超過(guò)很多，所以我認(rèn)為有危險(xiǎn)。

正方:既然有的地方很淺不到130厘米，小明在水淺的地方游，不就沒(méi)危險(xiǎn)了嗎？

反方:如果小明不了解河床的情況，那不就出危險(xiǎn)了嗎？

正方（思考后）:那應(yīng)該是可能有危險(xiǎn)，也可能沒(méi)有危險(xiǎn)，為了安全起見(jiàn)，我們都不要到這樣的河里去游泳。

師問(wèn)反方:你們同意嗎?（反方點(diǎn)頭表示同意）

【思考】

在上述的案例中，對(duì)于兩種截然不同的觀點(diǎn)，教師沒(méi)有簡(jiǎn)單地評(píng)價(jià)誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)，而是以錯(cuò)誤思維為契機(jī)，組織了一場(chǎng)精彩紛呈的辯論會(huì)，學(xué)生在說(shuō)理由、評(píng)思路的過(guò)程中，深化了對(duì)平均數(shù)概念的理解，這樣的課堂，每個(gè)學(xué)生都有展示自己的機(jī)會(huì)，也能暴露自己最真實(shí)的問(wèn)題，他們?cè)诜e極的思辨過(guò)程中進(jìn)行智慧的碰撞、觀點(diǎn)的交鋒和心靈的溝通，這樣一來(lái)，他們收獲的不僅僅是知識(shí)，還有思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性的提升。

三、在思維障礙處辯論，培養(yǎng)思維的深刻性和批判性

在教學(xué)時(shí)，有些知識(shí)不易理解和掌握，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的知識(shí)內(nèi)容，如果處理不當(dāng)，將會(huì)成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的嚴(yán)重障礙。因此，教學(xué)時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑辯論的活動(dòng)，引發(fā)認(rèn)知沖突，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，將數(shù)學(xué)思維不斷引向深入，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)問(wèn)題探究的沖突性和挑戰(zhàn)性。學(xué)完加法交換律、結(jié)合律和乘法交換律、結(jié)合律后，學(xué)生受思維定勢(shì)的影響，認(rèn)為除法也有結(jié)合律，即a÷b÷c=a÷（b÷c），為了避免這一情況的發(fā)生，在教學(xué)時(shí)，筆者巧設(shè)了一個(gè)辯點(diǎn)，除法到底有沒(méi)有結(jié)合律，收到了較好的效果。

【課堂回放】

師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律，想想其他的運(yùn)算是否也有這樣的規(guī)律?

生:我想，除法可能有結(jié)合律。

短暫的沉默之后，學(xué)生各抒己見(jiàn)，產(chǎn)生兩種對(duì)立觀點(diǎn)，教師引發(fā)學(xué)生進(jìn)行爭(zhēng)辯。

師:除法到底有沒(méi)有結(jié)合律？請(qǐng)正、反雙方闡述自己的觀點(diǎn)。

正方:我認(rèn)為除法有結(jié)合律，如15÷5÷3=15÷（5×3）=1，它們的結(jié)果都是一樣的。

反方:我反對(duì)，剛才那位同學(xué)運(yùn)用的是除法的性質(zhì)。

反方:結(jié)合律的特點(diǎn)是運(yùn)算順序變了，運(yùn)算符號(hào)沒(méi)有變，運(yùn)算結(jié)果也沒(méi)有變。15÷5÷3結(jié)合律的形式應(yīng)該是15÷（5÷3），這樣它們的結(jié)果就發(fā)生了改變，所以我認(rèn)為除法沒(méi)有結(jié)合律。

反方:我也贊成這種觀點(diǎn)，乘法結(jié)合律一般表示為a×b×c=a×（b×c），相應(yīng)的除法結(jié)合律也應(yīng)表示為a÷b÷c=a÷（b÷c），但它們的結(jié)果并不相等。

正方:我反對(duì)，8÷2÷1=8÷（2÷1）也符合結(jié)合律的特征，所以除法有結(jié)合律。

反方:我們舉了很多例子，如24÷6÷2不等于24÷（6÷2），40÷4÷2不等于40÷（4÷2），都說(shuō)明除法沒(méi)有結(jié)合律。

反方:剛才正方提出的例子只是個(gè)別的，存在偶然性。并不是所有除法都符合結(jié)合律的特征，所以，我認(rèn)為除法沒(méi)有結(jié)合律。

師:同學(xué)們真了不起!在數(shù)學(xué)世界里，確實(shí)有一部分除法算式符合結(jié)合律的特征，但并不是所有除法算式都符合這一特征，它有很大的局限性，正如反方同學(xué)所猜想驗(yàn)證的一樣，除法沒(méi)有結(jié)合律。

【思考】

在以上的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師以“除法到底有沒(méi)有結(jié)合律”這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生展開(kāi)辯論，尊重學(xué)生的觀點(diǎn)，鼓勵(lì)他們暢所欲言，善于撥動(dòng)學(xué)生思維之弦，將思維不斷引向深入，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和批判性得到持續(xù)的發(fā)屐。

四、在出現(xiàn)意外時(shí)辯論，培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性

在數(shù)學(xué)課堂上，經(jīng)常會(huì)有一些意外的情況出現(xiàn)，主要是因?yàn)閷W(xué)生的思維角度與教師的預(yù)設(shè)角度不一樣，數(shù)學(xué)課堂上的意外，很多是學(xué)生別具一格的思維表現(xiàn)，從某種意義上來(lái)說(shuō)，它是學(xué)生創(chuàng)新思維的萌芽，巧妙地利用這些意外，能更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

記得在復(fù)習(xí)“長(zhǎng)方體和正方體體積”時(shí)，筆者不經(jīng)意的一句話，引發(fā)學(xué)生思維碰撞的火花。上課開(kāi)始，筆者說(shuō):“每人拿出一張長(zhǎng)方形紙來(lái)?！睂W(xué)生紛紛準(zhǔn)備，突然，有個(gè)學(xué)生提問(wèn):“老師，長(zhǎng)方形的紙是不是長(zhǎng)方體?”面對(duì)這突如其來(lái)的問(wèn)題，筆者沒(méi)有直接回答，而是抓住機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)辯論。

【課堂回放】

正方:我們認(rèn)為長(zhǎng)方形的紙具有長(zhǎng)方體的特征，所以它是長(zhǎng)方體。

反方:它是長(zhǎng)方形的形狀。

正方:請(qǐng)問(wèn)，它有沒(méi)有高?有沒(méi)有側(cè)面?

反方:那么薄的一張紙，哪有啊?

正方:有!請(qǐng)看（正方幾個(gè)同學(xué)每人拿一本作業(yè)本壘起來(lái)成為長(zhǎng)方體），這不是長(zhǎng)方體嗎?

反方:對(duì)。

正方:在日常生活中像一捆書(shū)、一令紙是不是都是長(zhǎng)方體?

反方:是。

正方:就拿這一疊作業(yè)本來(lái)說(shuō)，每本作業(yè)本是50頁(yè)，這10本一共是500張長(zhǎng)方形疊成的，它的高是8厘米，那么，一張作業(yè)紙的高是多少?

反方:是0.016厘米。

正方:0.016厘米不是高度嗎?所以，我們認(rèn)為這張紙是高為0.016厘米的長(zhǎng)方體。反方啞口無(wú)言，心服口服。

【思考】

盡管原定的教學(xué)方案被這場(chǎng)激烈的辯論打亂了，但在雙方精彩的辯論中，學(xué)生的收獲更大了，體會(huì)更深了，學(xué)生的個(gè)性被放飛了。在辯論中，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)得以分享，書(shū)本知識(shí)得以拓展，在辯論中思維的靈活性、創(chuàng)造性得以提升。

真正精彩的課堂不是異口同聲的課堂，而是經(jīng)常能聽(tīng)到不同聲音的課堂，能用一石激起千層浪，打破平和、順暢的課堂。因此，在教學(xué)中教師要善于找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，選擇恰當(dāng)?shù)霓q題，讓學(xué)生的想法在交鋒中形成認(rèn)知的共識(shí)，思維的共振。在“短兵相接”“唇槍舌戰(zhàn)”的過(guò)程中，學(xué)生收獲的不僅是知識(shí)，更重要的是他們的思維品質(zhì)得到鍛煉和提升。數(shù)學(xué)課堂因數(shù)學(xué)思維的碰撞迸發(fā)出耀眼的火花而更加精彩。