“面積的意義”前概念調(diào)查研究

□ 周君斌

在學(xué)習新的數(shù)學(xué)概念之前，學(xué)生的頭腦中并非一片空白。通過日常生活的各種渠道和自身的實踐，學(xué)生對許多數(shù)學(xué)概念已經(jīng)形成了初步的認識和觀念，建構(gòu)了大量樸素的“前概念”。也就是說，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習，總是建立在“前概念”的基礎(chǔ)之上。由此，在設(shè)計“面積的意義”教學(xué)活動前，為了更全面、準確地了解學(xué)生的“前概念”，筆者采用問卷調(diào)查的方式，對班級47名學(xué)生進行了“前概念”調(diào)查研究，以便設(shè)計出更加合理、更加有效的教學(xué)流程，從而提高課堂教學(xué)的有效性。

一、調(diào)查內(nèi)容及結(jié)果

調(diào)查題1：你聽說過“面積”嗎？你能用自己的話來說一說什么叫面積嗎？

調(diào)查意圖：

考查學(xué)生對“面積”一詞的知曉率和認知程度。

調(diào)查結(jié)果：

調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，在對“面積”一詞的知曉度上，有21.3%的學(xué)生從不同場合聽說過。從他們的表述來看，基本上是用“占地”“一樣?xùn)|西的范圍”“地方的大小”等生活化的語言來描述面積的概念。此外，還有學(xué)生知道“平方米是一個面積單位”?？傮w來看，一部分學(xué)生在日常生活中對“面積”已經(jīng)有了初步的感知，但缺乏深入觀察和思考。

調(diào)查題2：下面六個圖形中，哪些圖形可以看出它的大小，哪些圖形沒有大??？先在你認為有大小的圖形下面的（）里面打“√”，然后從中選一個圖形，用你喜歡的方式表示出該圖形的大小。

調(diào)查意圖：

教材都是用“物體表面或封閉圖形的大小”來定義“面積”。在這個定義中，首先要抓住面積的度量對象：物體表面或封閉圖形，然后是“大小”。那么，學(xué)生在學(xué)習面積之前，他的直覺或者說他原有的知識積累，能否對“怎么樣的圖形才有大小”做出正確的判斷？并且，在他們的心目中，圖形的大小指的是哪里呢？帶著這樣的疑問，筆者設(shè)計了這道調(diào)查題，意在考查學(xué)生對“面積”概念的內(nèi)涵和外延的原始認知。

調(diào)查結(jié)果：

首先，在判斷圖形有無大小上，只有15人做出了正確的選擇，占樣本總?cè)藬?shù)的31.9%。而在錯誤選擇上，主要是“葉片實物圖”和“曲邊不規(guī)則圖形”。需要注意的是，只有2人選擇了角，說明在先前的“周長”概念學(xué)習里，學(xué)生已經(jīng)對“封閉圖形”有了較為豐厚的經(jīng)驗。故而，課堂上不需要做太多的解釋。

其次，在表示圖形的大小上，21.3%的學(xué)生表示正確。這部分學(xué)生是用涂一涂或畫一畫的方式表示出大小。而在錯誤表示中，多數(shù)學(xué)生是用粗線描出圖形的一周，認為圖形的大小指的就是圖形的一周。需要注意的是，筆者通過訪談發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生雖然描畫了圖形的外緣邊線，但他們心里想著的是“邊線里邊的一整片”。在他們看來，“我把外圍邊線描畫一遍，也就是把邊線里面的整片區(qū)域包圍進來了”。不僅如此，相對于內(nèi)部區(qū)域的白色，外緣邊線的黑色也在視覺上給學(xué)生帶來了強烈的刺激。

調(diào)查題3：如下圖所示，將正方形甲割成兩片，然后再拼成乙圖。請問甲、乙兩圖，哪一個比較大？（）

A.甲圖比較大 B.乙圖比較大

C.甲圖和乙圖一樣大 D.無法比較

調(diào)查意圖：

面積是一個幾何量。在皮亞杰看來，“守恒是獲得數(shù)和量概念的重要條件，兒童沒有守恒概念就不能真正認識數(shù)和量?！苯橛诖?，為了考查學(xué)生是否具有守恒概念，筆者安排了這道調(diào)查題。

調(diào)查結(jié)果：

調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，有70.2%的學(xué)生不受形狀變化的影響，做出正確判斷。而有27.7%的學(xué)生受知覺變化的影響，認為“當形狀改變時，圖形的大小也改變了”。

調(diào)查題4：小明用同樣長的兩根鐵絲圍成了甲、乙兩個圖形，那么（ ）。

A.甲比乙大 B.乙比甲大

C.一樣大 D.無法比較

調(diào)查意圖：

一個封閉圖形，不僅有面積，還有周長。面積與周長是同時存在于一個封閉圖形的兩個幾何量。經(jīng)驗告訴我們，教完面積之后，經(jīng)常有學(xué)生混淆圖形的周長與面積。那在沒有學(xué)習面積之前，學(xué)生是否也會出現(xiàn)這樣的問題？帶著這樣的思考，筆者設(shè)計了這道調(diào)查題，意在考查學(xué)生對圖形大小與周長關(guān)系的原始認知。

調(diào)查結(jié)果：

按照預(yù)想，這兩個圖形的形狀差距較大，學(xué)生利用已有的生活經(jīng)驗，應(yīng)當能輕易得出圖形甲比圖形乙大的結(jié)論。但結(jié)果表明：有80.9%的學(xué)生認為圖形甲和圖形乙一樣大。究其原因，這部分學(xué)生是從周長的角度去思考圖形的大小，認為周長相等即大小相等。實際上說明學(xué)生受先前“周長”概念學(xué)習的負遷移，會更加關(guān)注圖形的外緣邊線，而不是所圍平面區(qū)域的大小。

調(diào)查題5：在方格紙上數(shù)一數(shù)，然后填寫在橫線上。（不滿一格的都按半格計算）

調(diào)查意圖：

方格紙是比較或度量圖形面積的重要工具。這道題讓學(xué)生用格子個數(shù)來刻畫圖形的面積，考查學(xué)生能否在方格紙上正確數(shù)出一個圖形所占的單位個數(shù)，是否具有基本測量單位的觀念。

調(diào)查結(jié)果：

從統(tǒng)計結(jié)果來看，有36人能在方格紙上正確數(shù)出每個圖形所占的格子數(shù)，占樣本總數(shù)的76.6%。對于不完整的方格，學(xué)生想到可以從圖中切出一個三角形并將它拼補到另一個三角形，從而得到基本測量單位。可見，多數(shù)學(xué)生不僅具有面積守恒的觀念，而且能運用正方形作為基本測量單位來進行度量。而在錯誤答案中，有12.3%的學(xué)生認為甲圖占3個方格，丙圖占6個方格；另有2人認為丙圖占8個方格。不難看出，這部分學(xué)生只計數(shù)了圖形里的完整方格，沒有認識到三角形與正方形所表示的基本測量單位之間的聯(lián)系。對他們來說，還沒有基本測量單位的觀念。

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調(diào)查題6：兩個長方形，都被信封遮住了一部分。猜一猜哪個長方形大，寫一寫你的想法。

調(diào)查意圖：

面積是對“面”的度量。因此，學(xué)習面積，肯定要研究面的大小。而研究面的大小，學(xué)生就要經(jīng)歷比較兩個或多個面的大小。需要追問的是，學(xué)生是采用什么策略來判斷兩個圖形的大小呢？由此想到設(shè)計這樣一道調(diào)查題，意在考查學(xué)生在圖形大小判斷上所采用的認知策略。

調(diào)查結(jié)果：

調(diào)查顯示，有17人只給出了猜想，沒有陳述理由。而在給出理由的學(xué)生中，將近20%的學(xué)生是用部分代替了整體。他們之所以認為②號比①號大，是因為②號長方形露出來的部分要比①號的大；其次，30%左右的學(xué)生是以兩個長方形的某一個維度作為判斷圖形大小的標準。其中，有8人是從寬的角度去考慮大小，認為②號長方形的寬比①號的寬一些，所以②號比①號大；有7人是從長的角度去考慮大小，猜想①號長方形的長會比②號長，所以①號比②號大。此外，還有5人是從長方形的兩個維度綜合考慮，具有辯證意識。

二、教學(xué)建議與思考

（一）直面學(xué)生認知現(xiàn)實，在舉例與對話中，修正原有認知經(jīng)驗

從前測調(diào)查中可以看到，有學(xué)生早已從買房、搬家等渠道了解面積、面積單位等詞匯。不僅如此，對于小學(xué)三年級的學(xué)生而言，已經(jīng)在前期的生活和學(xué)習中積累了“大小”的觀念，無論是在區(qū)分哪些圖形有大小上，還是在用自己的方式表示某一圖形的大小上，都為本節(jié)課的學(xué)習提供了鮮活的學(xué)習素材和學(xué)習資源，關(guān)鍵在于我們?nèi)绾纬尸F(xiàn)并處理學(xué)生的錯誤資源（或錯誤的理解）。筆者想到，以學(xué)生認知現(xiàn)實為切入口，上課伊始，開門見山，直接揭題，通過“你們聽說過面積嗎？在哪兒聽過？”“我們身邊哪兒有面積？”等問題，激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗。在這個過程中，通過學(xué)生的舉例和對話，既實現(xiàn)了對學(xué)生原有認知經(jīng)驗的提取和檢驗，也實現(xiàn)了學(xué)生對物體面積的認識。而在學(xué)生認識物體的面積后，讓學(xué)生試著用自己喜歡的方式表示出一組圖形的面積（見下圖）。接著，通過“并聯(lián)反饋”的方式（既呈現(xiàn)正確的做法，也呈現(xiàn)錯誤的做法），引導(dǎo)學(xué)生在討論、辯論中對原有認知進行修正和重構(gòu)，逐步實現(xiàn)面積概念的同化和學(xué)習方式的轉(zhuǎn)變。

（二）在“線”與“面”的辨析中，區(qū)分面積與周長

從前測調(diào)查中不難發(fā)現(xiàn)，在相當一部分學(xué)生的心目中，“線的長短”即“面的大小”。對于他們來說，“線”與“面”混為一談。鑒于此，在建立“面積”概念時，教師就要強化“面積”的本質(zhì)，注意面積與周長的概念區(qū)分。如當有學(xué)生舉例介紹數(shù)學(xué)書封面的面積時，可以讓學(xué)生置身于“指周長”與“摸面積”的辨析活動，使學(xué)生結(jié)合具體材料初步感知“面積在物體內(nèi)部，周長在外圍邊線”。此外，在用自己的方式表示圖形的面積時，再次安排辨析，通過對不同作品的比較和討論，凸顯面積是對“面”的度量的核心本質(zhì)。概念建立的過程是比較、辨析伴隨的過程。為了強化兩者的區(qū)分，教師可以適時呈現(xiàn)一道概念辨析練習。例如，有一個長方形花壇，現(xiàn)在要在花壇的四周圍上柵欄，還要在花壇內(nèi)鋪上草坪（見右圖）。想想看，哪個情形需要考慮花壇的面積？面積和周長有什么區(qū)別？

①在花壇的四周圍上柵欄②給花壇鋪上草坪

（三）在“一維”與“二維”的感悟中，發(fā)展空間觀念

學(xué)生在判斷兩個圖形的大小時，多數(shù)是以圖形的某一維度（長或者寬）作為判斷標準。那么，怎樣引導(dǎo)學(xué)生的思維從沿著一個方向延展走向沿著兩個方向延展呢？筆者想到，在練習中可以設(shè)計一個猜一猜的游戲環(huán)節(jié)。先讓學(xué)生根據(jù)“每行擺了幾個，擺了幾行”的直觀圖示猜想長方形的面積，再讓學(xué)生根據(jù)“長和寬”猜想長方形的面積，接著讓學(xué)生思考“只看到一條邊，能不能想象這個長方形的面積”，使學(xué)生直觀而又深刻地感悟到：要想象一個長方形的面積，至少要知道長與寬兩個元素。顯然，這樣的應(yīng)用拓展，不僅有助于加深學(xué)生對面積概念的理解，而且也為接下來長方形面積計算的學(xué)習進行了有機的滲透。

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[1]劉加霞,易玫.運用定義辨析,生成對“面積”的理解:“面積”課例研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)，2012（6）.

[2]張穎穎.概念，在“線”與“面”的行進中明晰[J].小學(xué)教學(xué)參考，2016（6）.