學(xué)好空間幾何沒有那么難

安徽省馬鞍山市當(dāng)涂第一中學(xué) 陶愛華

空間想象能力和空間觀念是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握計(jì)算公式，提高解題能力不可忽視的素質(zhì)。

1.培養(yǎng)空間想象能力需要一定的方法

要多觀看一些基本幾何體的三維動(dòng)畫，比如：棱錐、棱柱、球體等。在腦海中建立空間和立體的概念?？梢宰寣W(xué)生自己動(dòng)手制作一些基本的幾何體實(shí)物，在動(dòng)手的過程中仔細(xì)觀察其形狀?？梢阅靡粋€(gè)立方體橡皮，用小刀水平地去截它，觀察其截面，然后在腦海中想象隨著截面的位置變化，所得到的有哪些不同的截面?；蛘吣脕硪恍缀误w實(shí)物，如：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、多面體等，從不同的角度去觀察所看到的各個(gè)形狀并嘗試去畫出它們的直觀圖。也可以把基本幾何體置于投影空間中，想象當(dāng)平行光線從不同的方向投影，觀察得到的投影平面圖形是什么樣子，然后在稿紙上畫草圖。用以上這些方法，可以有效培養(yǎng)其較強(qiáng)的空間想象能力。

2.重視學(xué)生空間知覺的獲得

不難想象，一個(gè)點(diǎn)沿著某一方向運(yùn)動(dòng)就會(huì)形成一條線段，一條線段沿著某一方向運(yùn)動(dòng)就會(huì)形成一個(gè)平面。同樣，一個(gè)矩形面沿著某一方向運(yùn)動(dòng)一段就會(huì)形成立方體，而運(yùn)動(dòng)的程度決定了形成的立方體的大小。因此，從一維的線到二維的面，二維的面到三維的體，整個(gè)變化有著一個(gè)重要的過程：運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)的形式有多種，常見的規(guī)則運(yùn)動(dòng)有：平移、旋轉(zhuǎn)、平拋。比如我們常見的棱柱、棱錐、球體可以看出是由三角形、矩形、圓在某種特殊位置條件下旋轉(zhuǎn)得到的。在“運(yùn)動(dòng)”的過程中，培養(yǎng)學(xué)生獲得空間知覺。

3.努力形成空間觀念

對(duì)于幾何圖形,建立周長(zhǎng)、面積、體積的概念時(shí)，必須運(yùn)用直觀演示和實(shí)踐的方法，讓學(xué)生獲得周長(zhǎng)的長(zhǎng)度感、面積的大小感、體積的立體感，真正明確周長(zhǎng)、面積、體積的意義。

例如一個(gè)橢圓的賽道，走完一圈的路程就是這個(gè)橢圓的周長(zhǎng)。同樣，一個(gè)圓形的水池，水面所占的面積就是這個(gè)圓的面積。對(duì)于一個(gè)酒瓶，它裝滿水時(shí)的總?cè)萘烤褪瞧康捏w積。在理解物體所占空間大小的教學(xué)時(shí)，可以充分發(fā)揮直觀演示的作用：一個(gè)紙箱占據(jù)了一定的位置，箱子所占的位置就是空間，在箱子旁邊再放一個(gè)較大的長(zhǎng)方形紙片，讓學(xué)生走一走，使學(xué)生知道因?yàn)橄渥诱紦?jù)了空間，我們只能繞道走，長(zhǎng)方形紙片面積再大，沒占據(jù)空間，不用繞道走，從對(duì)比中獲得空間知覺。在這個(gè)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察物體所占的空間有大有小，這就是物體的體積。這不僅使學(xué)生正確地理解了幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，而且獲得了空間知覺，培養(yǎng)了空間觀念。從一定角度看，周長(zhǎng)是線的長(zhǎng)度，面積是面所占的地方，體積是空間的反映。形成空間觀念的手段有很多，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中需要花點(diǎn)時(shí)間探索在不同的載體中，點(diǎn)和線、線和線、線和面以及面面的位置關(guān)系是怎樣的，逐步建立空間想象能力和空間觀念。

二、學(xué)生應(yīng)該如何去學(xué)習(xí)空間幾何

1.搞清學(xué)習(xí)空間幾何的步驟

高中階段空間幾何體的認(rèn)識(shí)主要涉及兩個(gè)方面：空間幾何體的認(rèn)識(shí)；點(diǎn)線面的位置關(guān)系。生活中接觸到的各種幾何體，例如：金字塔棱、油桶、磚分別可以聯(lián)想到圓錐體、圓柱體、長(zhǎng)方體，這些都可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體。

學(xué)好空間幾何體的關(guān)鍵在于掌握點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。點(diǎn)是一切幾何體的構(gòu)造元素，這是前提?？臻g中談到位置關(guān)系主要涉及：（1）線線關(guān)系，包括共面（平行、相交）、異面。（2）線面關(guān)系，包括線在面內(nèi)、線在面外（線面平行、線面相交）（3）面面關(guān)系，包括面面平行、面面相交（二面角）。在所有的位置關(guān)系中，平行、垂直是非常重要的兩個(gè)關(guān)系，學(xué)生更要花時(shí)間去掌握它們的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用它們的性質(zhì)定理、判定定理。在表現(xiàn)位置關(guān)系的過程中還有兩個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，就是夾角和距離。夾角包括線線角、線面角、二面角。距離包括點(diǎn)到面、兩異面直線、線到面、面到面的距離。通常距離問題都轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離問題來解決，這兩個(gè)問題同樣也是空間幾何的核心問題。

2.掌握好解決問題的兩個(gè)方法：綜合法、向量法

綜合法的特點(diǎn)是借助輔助線，把空間問題平面化，運(yùn)用平面幾何的知識(shí)來解決問題。一般如果沒有把握好空間線面關(guān)系和平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用，想用綜合法解決問題會(huì)比較困難。但是，如果有較好的平面幾何知識(shí)，能靈活運(yùn)用平行垂直判定與性質(zhì)，有空間問題平面化的解題思維，那掌握綜合法也是可以做到的。

空間向量作為新的內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。向量學(xué)習(xí)的目的之一是"重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力",將幾何題中的邏輯推理轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算.溝通代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系,如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角、求距離問題轉(zhuǎn)化為用向量解決，使問題解決顯得模式化、程序化,減少輔助線的添加，降低解題的難度。當(dāng)然，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找點(diǎn)的坐標(biāo)，算向量的坐標(biāo)也是一個(gè)過程，找到所論證的平行、垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來表達(dá)也是問題的關(guān)鍵。

在學(xué)好空間幾何的道路上掌握某些方法是非常必要的，但也不是幾個(gè)方法就能解決所有問題，重要的一點(diǎn)就是要做到融會(huì)貫通所有的知識(shí)點(diǎn)，在解決問題的過程中才能做到得心應(yīng)手，靈活應(yīng)用。